Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

pechat_33

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2015

Размер:

2.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

10.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для волнового уравнения.

(1)

Теорема. Задача Коши для волнового уравнения имеет не более одного решения.

Док-во. Допустим противное. Пусть

	различные решения (1).Обозначим
их разность через	. Тогда	решение задачи:
		(2). Очевидно, что задача

(2) имеет нулевое решение. Нам нужно показать, что других решений эта задача не имеет. В пр-ве возьмем т.

и через нее как через вершину проведем конус

Воспользуемся тождеством:

Проинтегрируем это тождество по объему усеченного конуса . Тогда

Если функция решение задачи (2), то в левой части последнего равенства подынтегральное выражение равно нулю,сумма интегралов, стоящих в правой части обращается в нуль.

, где

вектор нормали. Тогда

.Но на нижнем основании согласно нач. условиям (2): и Рассмотрим поверхность :

(3)

На боковой поверхности направляющие косинусы вектора нормали удовлетворяют соотношению:

Образующие усеченного конуса наклонены к плоскости основания под углом 45 .

(4)

С учетом равенства (4) преобразуем выражение стоящее под знаком интеграла по боковой поверхности:

.Но

Покажем, что решение задачи Коши

устойчиво, т.е.

Обозначим через	. Тогда
решение задачи:
	(5)

11.Элементарное (фундаментальное) решение уравнения теплопроводности.

Рассмотрим сначала одномерное уравнение теплопроводности Ut a2U xx . Среди всех решений свёртка этого решения с единицей должна давать единицу, т.е.

E(t, )d 1.Воспользуемся преобразованием Фурье, и


будем искать решение E(t, x) V (t, y)eixy dy .Найдём его:

				1		e	x2
Et (t, x) Vt (t, y)eitxdy	И	E(t, x)		1			4a2t	–
			2a				4a2t

					t

фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Заметим, что чаще используется не это решение, а функция

		1			( x )2
E(t, x )		1		e	4a2t
E(t, x )				e	4a2t	, которая называется функцией
	2a		t			, которая называется функцией
	2a		t

Грина (функцией источника).

Определим теперь фундаментальное решение уравнение теплопроводности в случае произвольного числа

n	2
пространственных решение, т.е. Ut a2 U , U U2 .
i 1	x
	i

Рассмотрим уравнение Ut a2 (Uxx Uyy ) . Покажем, что функция E(t, x, y) E(t, x)E(t, y) является фундаментальным решением этого уравнения и покажем,

что

E(t, , )d d 1

x2 y2

E(t, x, y)

–

2a t

фундаментальное решение для двух пространственных переменных.

		1				( x )2	( y )2
E(t, x , y )					2 e	4a2t		.
E(t, x , y )					2 e	4a2t		.
				)
	(2a		t	)

12.Задача Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона.

Пусть имеем задачу U

a2 U f (t, x)		t 0
	(x)	x	(1)
t 0

Решение задачи (1) есть сумма решения двух задач:

U a

U f (t, x)

UО

(x) (2)

UН

(3)

t 0

Решение задачи (2) есть свёртка начального условия и соответствующей функции источника (функции Грина).

UО

( )E(t, x )d

... ( 1,..., n )E(t, x1 1,..., xn n )d 1...d n

4a2t

(2a

t )

-формула Пуассона.Покажем, что UО удовлетворяет уравнению задачи (2) и для него выполняется начальное условие этой задачи.

( )d

Uоt ( )Et (t, x )d	Uо ( ) E(t, x )d
n	n

( )[Et (t, x ) a2 E(t, x )]d 0

Начальное условие выполняется формула Пуассона остаётся верной.

Для решения задачи (3) воспользуемся принципом Дюамеля, согласно которому, если V (t, , x) – решение

(4) x

n . То

вспомогательной задачи

f ( , x)

t 0

решение задачи (3) определяется формулой

V (t, , x)d V (t,t, x)

UН (t, x)

V (t, , x)d

(5).

;

Нt

UН V (t, , x)d . Если подставить решение задачи (3)

получим:

t	V
		t	a2 V d f (t, x) f (t, x) . Функция U	удовлетворяет
0		t

решению уравнения (3). И решение (3) UН t 0 Vd 0 .

Для нахождения функции V (t, , x) во вспомогательной

задаче сделаем замену S t .

задачи Коши можно определить

f ( , )e

4a2S dS [S t

V V

f ( , x)

(6). Решение

S 0

с помощью формулы:

]

f ( , x)e 4a

(t ) d

(t )

13.Принцип экстремума для уравнений теплопроводности.

При рассмотрении процесса распространения тепла в областях, ограниченных необходимо учитывать не только начальное распределение температуры, но и те процессы, которые происходят на границе этой области. Границу области в пространстве любой размерности будем обозначать через Γ, а саму область Ω. В

зависимости от задания условий на границе различают три типа граничных (смешанных) задач.

1)	U	Г	g(t, x) – первая граничная задача.
1)	U		g(t, x) – первая граничная задача.


2)	U				U	–
2)	n		g(t, x) – вторая граничная задача. Где			–
			Г		n
			Г		n
нормаль в точках границы.
3)	U			g(t, x) – третья краевая задача.
	U
			U
	n			Г
	n			Г

	U	t	a2 U f (t, x)
		t
					(x)
Рассмотрим задачу:	U		t 0		(x)	, где x	n	.
Рассмотрим задачу:						, где x		.

	U			g(t, x)
	U			g(t, x)
			Г
			Г

Обозначим через	Q R	,	R [0;T ]	.
	T

Принцип: Функция U (t, x) удовлетворяющая уравнению

Ut a2 U в цилиндре и непрерывна вплоть до его границы QT принимает своё наибольшее и наименьшее значение либо на нижнем основании цилиндра (область Ω ), либо на его боковой поверхности.

14.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Утверждение: Задача Коши для уравнения теплороводности не может иметь более одного ограниченного решения.

U	t	a2 U f (t, x)
	t
Пусть имеем задачу			(x)	(1)
Пусть имеем задачу				(1)
U
		t 0
		t 0

Решение задачи (1) есть сумма решения двух задач:

	U	t	a2		U
		t
UО	:			(x)		(2)
UО	:					(2)
	U
			t 0
			t 0

	U	t	a2 U f (t, x)
		t
UН	:			0	(3)
UН	:				(3)
	U
			t 0
			t 0

Решение задачи (2) есть свёртка начального условия и соответствующей функции источника (функции Грина).

UО

( )E(t, x )d

... ( 1,..., n )E(t, x1 1,..., xn n )d 1...d n

4a2t ( )d

(2a

t )

Теорема: Решение задачи Коши устойчиво т.е. малое изменения начальных условий влечёт за собой малое изменение решений.

Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

U	a2 U f (t, x)	(t,x)=[0,T]×Ω Rn
Рассмотрим задачу t		(t,x)=[0,T]×Ω Rn
U \|t 0 (x)

Эта задача имеет бесконечное множество решений. Рассмотрит подмножество решений, будем рассматривать |V(t,x)| M (т.е. будем рассматривать ограниченные

		V a2	U
решения).	Рассмотрим задачу	t		(2).Задача
		V \|t 0	0

(2) имеет нулевое решение. Докажем, что других решений нет. Для этого рассмотрим вспомогательную

функцию:	и подберём теперь и	таким
образом, чтобы ф-я W удовлетворяла однородному
уравнению теплопроводности:		.