pechat_33
.pdf34.Формула Пуассона решения задачи Дирихле для круга
U |
xx |
|
U |
yy |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G x, G x, y, , E2 x, q x, 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g x, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
U | |
|
2 |
|
2 |
R |
2 |
|
|
|
|
|
E2 x, |
|
|
|
|
|
ln |
|
, |
|
|
r x |
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
|
2 |
n |
r |
|
n |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
R2 r 2 2 |
|
|
|
|
1 |
R2 r 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
2Rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
2Rr |
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
R2 r 2 |
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 R2 r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2Rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
2 R2 r 2 |
|
|
|
|
2 R2 r 2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 2 2R2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
R2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Rr |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Rr |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
U x |
, |
G |
|
|
|
|
|
|
|
2 R2 |
|
g , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dk Запишем формулу |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пуассона в полярной системе координат x cos , |
|
|
y sin ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Rcos , |
|
|
Rsin |
|
r |
|
|
|
|
|
x 2 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 R cos cos 2 Rsin sin 2
R2 2 2R cos cos sin sin
R2 2 2R cos
U , |
2 R2 |
|
|
g R cos , R sin R |
|
|
|
|
|
d |
|
R |
R2 |
2 2R cos |
|||
|
|
|
|
|
|
35.Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля
Пусть функция |
U x -гармоническая внутри шара и |
|||||||||||||
неотрицательна |
U x 0 |
R r R |
|
|||||||||||
U x |
R2 2 |
|
g |
ds |
R 3 r3 R 3 |
|
||||||||
4 R |
3 |
|
||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим оценку для |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
.Умножим |
||||||
|
|
R 3 |
|
R 3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r 3 |
|
r3 |
|
последнее неравенство на |
R2 2 |
g и проинтегрируем по |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 R |
|
|
|||
поверхности SR . Получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
g ds |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
R |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R2 |
2 |
|
|
g |
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4 R |
|
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
R |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
g ds |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 R |
|
|
|
|
|
R |
S |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R R |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
g ds U x |
|
1 |
g ds |
||||||||||||||||||
|
2 |
|
4 R |
2 |
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
S |
R |
|
|
|
|
R |
4 R |
S |
R |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Последнее неравенство носит название неравенство |
||||||||||||||||||||||||||
Харнака |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из неравенства Харнака легко получить теорему Лиувилля. Теорема: Если функция является гармонической во всем пространстве и ограничена или сверху,или снизу, то она постоянна.
В неравенстве Харнака при R U x U x0 const
|
U x |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
U x |
|
c, n 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
n2 |
|
|
0, |
|
x |
|
, n 3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n 3 |
|
|
x |
|
|
|
U x 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36. Уравнения колебания струны
Под струной мы будем понимать упругую нить, не сопротивляется изгибу.
Будем считать колебания струны малыми. Малость колебаний означает, что квадратами величин отклонения точек струны от
равновесия и квадратами производных по x можно пренебречь. В положении равновесия струна совпадает с осью Ox . При возмущении точек струны будут отклоняться от этой оси. Величину этого отклонения обозначим через
U (t, x) .
|
(x x) |
(x) x1 |
x2 |
|
x x |
длину АВ
Выделим участок струны заключенный между x1 и
x2 . В положении равновесия длина этого участка
l x2 x1 . Выведем этот участок из положения равновесия и посчитаем
x2 |
|
|
|
lAB |
1 ux2 (t, x)dx x2 x1 |
||
x1 |
|
|
|
Впроцессе колебаний длина невозмущенного участка струны не изменяется.
Всилу закона (удлинение пропорционально приложенной силе) приходим к выводу, что в процессе колебаний сила натяжения струны не меняется.
Обозначим T(x) сила натяжения в точке струны с
координатой x . Выделим участок струны x -m (x) x, (x) линейная плотность струны.
Если мы зафиксируем точку х, тогда u(t, x) дает закон движения точки х. ut (t, x) -скорость движения, utt - ускорение, (x) xutt (t, x) FUi .
Обозначим через F (t, x) величину силы, приложенную в точки х в момент времени t. Считают что эти силы расположены в плоскости XU и параллельны оси U.
Fiu F(t, x) x -силы натяжения точек струны, найдем теперь проекцию сил натяжения на ось U.
Fu ñèëí àò T (x |
x) sin(x |
x) T (x) sin (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
ux |
|
|
|
||||
sin |
cos tg cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tg |
2 |
1 u2 |
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
T (x x)u (t, x x) T (x)u (t, x) |
|
|
|
(T (x)u (t, x)) x |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x) xu F (t, x) |
x |
|
(T (x)u |
) x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
tt |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения колебаний струны. |
||||||||||||||||||||
(x)u |
|
(T (x)u |
) F (t, x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
tt |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если струна однородная, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
a2u |
|
|
|
f (t, x) ãäå a2 |
T |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x) const |
f (t, x) |
F (t, x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
T (x) T const . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u |t 0 (x), ut |t 0 (x) |
|
|
|
|
|
|
37. Уравнение колебания мембраны
Опр. Мембрана – свободно изгибающаяся упругая пленка. Будем считать, что в положении равновесия мембрана расположена в плоскости XOY, занимает некоторую
область и ограничена кривой Г.
Будем считать, что колебания мембраны являются малыми, причем все точки движутся перпендикулярно XOY. Величину отклонения мембраны от положения
равновесия будем обозначать U(t,x,y). Малость колебаний означает, что величинами U y2 можно пренебречь. Выделим часть мембраны в положении равновесия , ограниченной контуром , Найдем площадь поверхности
: S1 : z f (x, y) |
S |
|
|
|
|||
1 fx'2 f y'2 ds ; |
|||||||
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
S |
1 Ux'2 U y'2 d dxdy Sw. |
||||||
|
|
|
|
w |
|
|
|
Вывод. В процессе малых колебаний изменение площади выделенной части мембраны не происходит в процессе колебаний силы натяжения не меняются.
T(x,y) – сила натяжения, F(t,x,y) – величина внешней силы приложенной в момент времени t к точке (x,y).
Введем элементарную площадь мембраны dxdy (Эл. участок), с плотностью пленки (x, y) , тогда массой будет(x, y)dxdy . F(t,x,y)dxdy – величина силы приложенной к площадке. Сумма всех сил инерции приложенных к контуру
(или участку мембраны) будет равна
w
Сумма всех внешних сил F(t, x, y)dxdy . Будем считать, что
w
силы натяжения лежат в плоскости касательной к поверхности и перпендикулярны векторам касательной к
нормали в выбранной точке '. Найдем теперь сумму проекций на ось Ou сил приложенных к контуру ' участкамембраны. Для этого через dS обозначим элемент дуги
кривой '.T(x,y) – сила, приложенная в каждой точке этого элемента, тогда сила натяжения будет T(x,y)dS. Учтем теперь, что TTdS –вектор , направление которого перпендикулярно касательной к середине элемента dS и нормали к поверхности в этой же точке.Если уравнение поверхности есть z f (x, y) , то направление косинуса вектора нормали есть
cos( ) |
|
|
f ' |
f '2 |
, cos( ) |
|
fy' |
f '2 , |
||||
1 f '2 |
1 f '2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
x |
y |
|
cos( ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. В нашем случае в роли f(x,y) выступает |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
f '2 |
f '2 |
||||||||||
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
функция U(t,x,y) и учитывая, что U x2 и U y2 можно пренебречь n ( Ux , U y ,1) . Вектор касательной можно представить в
виде idx+jdy+kdz. Тогда направление вектора TdS совпадает с вектором равным векторному произведению векторов касательной и нормали.
i j k
|
|
i(dy U y dz) j( dx Uxdz) k( U y dx Uxdy) . |
ds n dx dy dz |
||
|
Ux U y |
1 |
Тогда проекция вектора силы натяжения приложенного к участку dS ограниченным ' будет T(x,y)(U x dy-U y dx). Сумма проекций всех сил натяжения приложенных к
контуру будет T (U x dy U y dx) ;
'
(x, y)Utt dxdy F(t, x, y)dxdy + T (U x dy U y dx) , тогда
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
||||
[ Pdx Qdy |
( Q |
|
P )dxdy ] |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
k |
|
|
|
|
S |
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
TUxdy TU y dx ( |
|
|
(TUx ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
(TU y ))dxdy . |
|
||||||||||||||||||||||
x |
y |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, y)U |
|
|
(TU ) |
|
(TU ) F(t, x, y) |
|
|||||||||||||||||||||
x |
y |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
tt |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gradf ( fx , fy , fz ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
div A div( A , A , A ) A1 |
A2 |
A3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
x |
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(x, y)Utt div(TgradU ) F (t, x, y) – уравнение колебания |
|||||||||||||||||||||||||||
мембраны. В случае однородной мембраны |
|
||||||||||||||||||||||||||
Utt a2 (Uxx U yy ) f (t, x, y) , a2 |
T |
, f |
F |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U |
|
t 0 |
(x, y),Ut |
|
t 0 |
(x, y) – задача Коши. ( U |
|
|
0 –силы |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
à |
|
||||
натяжения =0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39. Уравнение теплопроводности
Из термодинамики известно, что количестмсво тепла Q проходящее через площадку S за время t
u
пропорционально площади площадки, времени и n -
производной по нормали, где u - температура
Q k S t un . Коэффициент k(x, y, z) характеризует
плотность теплового потока, т.е. количество тепла, проходящее в единицу времени через единицу площади
q k(x, y, z) un - величина теплового потока. В трехмерном
пространстве выделим объем V и подсчитаем количество тепла, поступающего в этот объем за время t :
Qk udS t
ÏS n
Пусть внутри выделенного объема находятся источники тепла, объемная плотность которых F (t, x, y, z) , тогда
количество тепла Qâí . F(t, x, y, z)dV t
V
Поступившее тепло идет на изменение температуры тела в момент времени t t . Обозначим u(t, x, y, z) - температура во время t и u(t t, x, y, z) - температура во время
(x, y, z) - объемная плотность, c(x, y, z) - теплоемкость материала. Тогда количество тепла, необходимое для изменения температуры элементарного объема V за времяt будет равно
Q c(x, y, z) (x, y, z) V (u(t t, x, y, z) u(t, x, y, z))
u(t t, x, y, z) u(t, x, y, z) ut (t, x, y, z) t
Q c ut dV t
V
Запишем теперь уравнение теплового баланса Q QÏ Qâí .
c ut dV k |
uds |
F (t, x, y, z)dV |
|
|
|
||||||||||||
V |
|
|
|
S |
n |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u |
u cos(x n) u cos( y n) |
u cos(z n) |
|
|
|
|
|||||||||||
n |
x |
|
|
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
Q |
|
R |
(P cos Q cos R cos )dS |
x |
|
y |
|
)dv Тогда |
||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
z |
||
|
u |
|
|
|
|
u |
|
u |
|
|
u |
|
|
||||
k |
n |
ds |
|
k |
|
|
k |
y |
|
|
k |
|
dV div(k grad (u))dV |
||||
|
|
|
|
||||||||||||||
S |
|
V |
x |
|
x |
y |
|
z |
z |
|
V |
c ut |
div(k grad (u)) F (t, x, y, z) |
||||
|
В случае однородного тела c, , k const и уравнения |
||||
u a2 u f (t, x, y, z); a2 |
k |
; f |
F |
|
|
|
|
||||
t |
|
c |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
uxx |
ut |
|
a |
||
|
|
|
f (x) - задача Каши описывает процесс |
|
u | |
|
|||
|
t 0 |
|
|
распространения тепла
un |Ã g1 (t, x, y, z)
|
u |
|Ã |
g2 (t, x, |
u |
|
||
|
n |
|
|
u |Ã u |S g(t, x, y, z)
y, z)