pechat_33

1.Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка в точке (в области). Особенности классификации в случае …

2.Приведение к каноническому виду линейных уравнений II-го порядка в случае 2-ух независимых переменных. Канонический вид уравнений …

3.Приведение к каноническому виду линейных уравнений II-го порядка в случае n независимых переменных.

4.*Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской.

5.Корректность постановки задачи. Примеры некорректно поставленных задач для ур-й гиперболического и параболического типа. Пример Адамара.

6.Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера. Выражение формулы Даламбера через среднее на отрезке.

7.*Осреднение функции на сфере и трехмерное волновое уравнение.

8.Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула Кирхгофа.

9.Задача Коши для двумерного вол-го ур-я. Метод спуска. Фор-а Пуассона.

10.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для волнового уравнения.

11.*Элементарное (фундаментальное) решение уравнения теплопроводности.

12.Задача Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона.

13.Принцип экстремума для уравнения теплопроводности.

14.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

15.Постановка смешанных задач для уравнений параболического и гиперболического типа.

16.*Формулы Грина. Формулы Грина для оператора Лапласа. 17.*Самосопряженность дифференциального оператора. 18.Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций.

19.Метод Фурье решения смешанных задач для однородных уравнений гиперболического и параболического типа.

20.Реш-е смешанных задач для неоднородных уравнений гиперболического и параболического типа. Задачи с неоднородными граничными условиями. 21.Распределение температуры в прямоугольной области. 22.*Уравнения Бесселя. Функции Бесселя. 23.Радиальные колебания круглой мембраны.

24.Единственность решений смешанных задач для волновых уравнений и уравнений теплопроводности.

25.Ур-я эллиптического типа. Фундаментальное реш-е урав-я Лапласа. Связь аналитической фун-и комплексного переменного и гармонической … 26.*Интегральное представление произвольной и гармонической

функций (Интегральная теорема Гаусса).

27.Свойства гармонических функций: аналитичность, теорема о среднем на сфере.

28.Принцип максимума-минимума для гармонических функций.

29.Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона. 30.Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге и вне круга методом разделения переменных. Формула Пуассона. 31.Внутренняя и внешняя задача Неймана для круга. Необходимое условие существования решения. Теорема Гаусса.

32.Функции Грина задач Дирихле и Неймана.

33.Формула Пуассона решения задачи Дирихле для шара.

34.Формула Пуассона решения задачи Дирихле для круга.

35.Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля

36.Уравнение колебаний струны.

37.Уравнение колебания мембраны.

38.*Уравнение колебаний электромагнитного поля.

39.Уравнение теплопроводности.

40.Объемный потенциал. Потенциал простого слоя. Потенциал двойного слоя.

41.*Свойства объемного потенциала.

42.*Свойства потенциала простого слоя.

43.Свойства потенциала двойного слоя.

44.*Использование потенциалов для решения задач Дирихле и Неймана

1.Классификация уравнений в частных производных в точке (в области). Особенности классификации в случае двух независимых переменных.Будем изучать лин. ур-ния в частных производных 2-го порядка.Любое ур-ние может быть записано в виде

(1

,затем после подстановки в ур-ние (1) получим

Если зафиксируем точку ()то последнее ур-ние можно переписать в виде

-квадратичная форма.Если

,а то

способ классификации.Из алгебры известно,что любая кВ.ю форма может быть приведена к виду: Q= ,где

принимает значения 1,0 и -1.

Ур-ние типа наз ур-нием

характеристик.

Если имеют одинаковый знак, то уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа. Если все

и n-1 из них имеет одинаковый знак, а оставшийся одинпротивоположный, то тип уравнения гиперболический. Если среди один равен 0, оставшиеся n- 1 имеют один знак, то уравнения параболического типа. Рассм.ур-ние 2-го порядка в случае двух переменных:

.Составим квадратичную формулу:

Q=a(x,y)+2b(x,y)p1p2+c(x,y)=a[+2 p1p2 + -

+]=a[].Обозначим δ=b*b-ac

и назовем его дискриминантом. Если δ<0,то ур-ние эллиптического типа. Если δ=0 то параболического и если δ>0 то гиперболического типа.

2.Приведение к каноническому виду уравнения 2 – го порядка в случае 2 – х независимых переменных. Канонический вид

уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа.

Рассмотрим уравнение

U xy U ( x y ) U ( x y y x ) U ( x y ) U xy U xy .

Подставим найденные значения производных в уравнение

(1) и выпишем коэффициенты при вторых производных по

, .

что уравнение (1) мы рассматриваем в области, где 0.

рассматриваемой области отличен от нуля, если же a 0 , то считаем, что c 0.

случай, когда 0- уравнение параболического типа. каноническому виду уравнения параболического типа

U ( , ,U ,U ,U ) 0.

Рассмотрим теперь случай 0. Тогда уравнение характеристик примет вид:

a x (b i ) y 0 ady (b i dx.) канонический вид уравнения эллиптического типа Уравнение гиперболического типа:

U U ( , ,U ,U ,U ) 0.

a(a11 )2 2ba11a12 c(a12 )2

aa11a21 b(a11a22 a21a12 ) ca12 a22

a(a21 )2 2ba21a22 c(a22 )2

a11 b11 , a12 b21 , a21 b12 , a22 b22 . То есть, A BT .

4.*Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской

Будем рассматривать линейное урние 2-го порядка. Любое линейное ур-ние можно записать в

без самопересечений поверхность Γ ур-нием g()=0. Причем будем считать что ф-ция g является дважды

Будем предполагать, что область D с поверхностью Γ разбиваеться на две подобласти D(1) и D(2).На поверхности зададим два условия на неизвестную функцию U(x) удовлетворяющую уравнению

1: (2).Функции и

считаються замкнутыми ,n-единичная длина поверхности.Условие 2 наз.начальными условиями. Таким образом требуется найти функцию U ,которая удовлетворяет ур-нию 1 в области D и начальным условиям 1 на поверхности .В частности, если поверхность Γ являеться плоскость ,то начальное условие принимает вид:

Функция удовлетворяющая

уравнению 1 и начальным условиям 2 наз.классическим решением задачи Коши. Отметим что не для всех функций и такое решение

существует:,f(x,y)=

некоторая окрестность, в которой решение задачи 1 и 2 и ! в классе аналитических функций.

5. Корректность постановки задачи. Примеры некорректно поставленных задач для уравнений гиперболического и параболического типа. Пример Адамара.

Задача считается корректно поставленной, если:1)решение этой задачи существует;2)решение должно быть единственным;3)решение должно быть устойчиво. Приведем пример задачи, не корректно поставленной.

поставленная задача Приведем пример задачи, в которой нарушается

устойчивость решений (пример Адамара). Рассмотрим задачу :

этого уравнения. Составим разность U2 (x,t) U1 (x,t) V (x,t), тогда V (x,t) - решение задачи