Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Белоногов. Задачник по теории групп

.pdf
Скачиваний:
69
Добавлен:
25.03.2015
Размер:
1.35 Mб
Скачать

# A GL(2, Q) # G : a !

( G E 4 :

!

. a G!

0 a Z(G) ! a Y* G a1

> ! & %& C # p = C

!$ A E G = D(A) E 4 :

> G " A1 . "!

( A1 AD

. G \ A1 # A1 "$#D 0 G = A1λ t , t E " # : G \ A1 ;

% H ≤ D(A),

H ≤ A1 H G!

|H : H ∩ A1| = 2 H D(H ∩ A1).

2 # Z(G) CG(t) t G \ A1

! G = D2n E : 2n, G = a b ,

o(a) = n, o(b) = 2, b1ab = a1. )

CG(a)! CG(b) Z(G)!

4 : G!

4 G

! r E 4 : D2n >

r =

1

 

 

21 (n + 3),

n 4 !

2 n + 3,

n 4

 

 

 

! ( < " n ≥ 3

! n 4 :

. < " n N !

n 4

! n

D2n

!

D2n "$ #!

Z(D2n) = 1 ?

! A D# 4 :

! 3 "

G H

( G

 

4 "$ !

. G D2n 4 n

!! 3 "

G H

( G

 

4 "$ D

. G D2n 4 n! G D.

 

A ≤ G ;

 

 

 

 

 

 

!"

 

H

 

a

 

AD

( G = Aλ b ! o(b) = 2 ab = a1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. A G D(A)

!# G E ! " A "!

: G \ A E "$ > G E !

: # E "$! A

G D(A).

' ( #) * )

"

! ! $ * E : # K = (M, +, ·)!

(M, +) E ! · E $ $ M (+, ·)

! a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca "

: a, b, c M $

 

!

E ! + ·

"

 

 

 

 

: (M, +) K+

 

 

K I $ K : (

#! 1·x = 1 = x x M! &

M : a

 

xa = ax = 1

M $#

!

K

K·

5 ( A ! # # : a K

# : ! # a1. I a, b K \ {0}ab = 0! # : a b

K

$ K = (M, +, ·) ! (M \ {0}, ·) E

+ K char(K), "!

n 1 = 0 n N ( E $ !

n N n 1 = 0

, $ R $ K

f :

R → K !

 

f (x + y) = f (x) + f (y) f (xy) = f (x)f (y)

x, y R.

J Ker (f ) = {r R | f (r) = 0}

f $ R $ I !

r I I r I r R " ,

R/I $ R I 5 &&

) "

$!

: , H

C E !

R E !

Q E $ !

Z E $ $ !

Zn E $ " n (n N)!

H E $ !

Mn(K) E $ (n × n) $ $ K!

GLn(K) := Mn(K)· E ! n K! SLn(K) E n KD

Diagn(K)! Tn(K)! U Tn(K)! On(K) E ! !

! GLn(K)

# " ! K E $ $#n N 5 .(! 5 0( + " : H

GL(n, K)! SL(n, K)

J$ x Mn(K) ! x = ke! k K e E $ A : GLn(K) "

$

tij (α) 5 %- < " # $ x

H

xij E : ! # i# j $ x! x E $! x

J ! # #

2 -

F E : V $ (u + v V u, v V )

(f v V f F v V ) ! ( V E

"D . f (u+v) = f u+f v, (f1 +f2)v = f1v +f2v;

0 (f1f2)v = f1(f2v), 1v = v " u, v V ; f, f1, f2 F ; ( E

$ F ; V

dim(V )! α :

V → V

V

V !

(u + v)α = uα + vα (f v)α = f vα u, v V f F. J

# V $#

vα+β = vα + vβ vαβ = (vα)β $!

End (V ) GL(V ) := End (V )· H Aut(V )

B = (v1, . . . , vn) E V ( α

B $ αB ! :,,$

 

v1α, . . . , vnα B! !

viα = fi1v1 + . . . + finvn,

 

fij F, (i = 1, . . . , n),

 

 

f11 . . . f1n

 

 

aB =

 

 

 

 

.

 

 

f

n1

. . . f

nn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n F !

! , V (n, F )!

# n : F ! $ !

. F M

$ $# :F ! $# $!

E ! 4

f (ab) = (f a)b = a(f b) f F a, b M

A : , $ 5-/ !

# 5-( # $ 5 5%

N K E $ $# ( K $

. J : $ K

$ K·

0 I a, x, y E : K ! xa = 1 = ay, : a

x = y = a1.

M E !

$ > M $

C! R Q

( J $ $

$ $ Z

. L $ Z G ! " $

$

0 2 # Z! $

"

L $ K $ K

! (L, +) ≤ K+ L $

p E M = {ab

| a, b Z p b}

> M $ Q p& &

{a1, . . . , an} E n > 1

# > a1 + . . . + an = 0.

 

!

m, n

N,

E # n (

$

C

 

2πi

 

2π

i

 

2π

m

|

n m < n >

!

=

e n

= cos

n +

sin

n !

 

 

 

n

 

 

 

 

1 + m + 2m + . . . + (

 

1)m = 0.

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

" " $ K K[x] f (x)

K :,,$ K $

$

# J xn 1 xm 1 $ K[x]

! m | n

$ I F E ! " # n (n N) F

F n #

n E

( J " n $

$ " n

[0], [1], . . . , [n −1]! [i] E $

! " n iD [i] + [j] = [k]! k E

n i + j, [i][j] = [s]! s E

n ij

$ Zn

n

. Z+n Zn

( G $ :

$ Zn n ≤ 8 A

: ! Z·8 Z2 × Z2

. Z·16 Z4 × Z2.

n N # f (x) . Zn

#!

( f (x) # Zn!

. f (x) = (x − a)(x − b) = (x − c)(x − d) = (x − a)(x − c), {a, b} ∩ {c, d} = (a, b, c, d Zn)

) # : $ 4

A $ $# # # :

!

[a] Zn (a Z).

( [a] Z·n (a, n) = 1.

. Z·n ϕ(n), ϕ E ,$ #

! k, m, n N a Z. ; "

Z·n $ Zn! "

( I ak 1(mod n) am 1(mod n), a(k,m) 1(mod n).

. > # I (a, n) = 1, aϕ(n) 1(mod n).

" $ Zn

 

! n E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# Z F4 # (M, +, ·)! M = {0, 1, x, y}! +

· E $ M! " $H

 

 

 

 

[

 

(

x

y

 

 

·

 

/

(

x

y

 

/

 

 

 

/

/

(

x

y

 

/

 

/

/

0

0

 

(

(

/

y

x

 

(

 

/

(

x

y

 

 

x

x

y

/

(

 

 

x

 

0

x

y

(

 

 

y

y

x

(

/

 

 

y

 

0

y

(

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( F4 E

. =" 4 : , " F4

$ # E $

A ! E $

> n N K E $

( J (n × n) $ K $

$ $ $ Mn(K)

. K $ >

GLn(K) := Mn(K)· = {x Mn(K) | det(x) K·}!

{x Mn(K) | det(x) = 1} GLn(K)

SLn(K)D

 

" n ≥ 2 GLn(K) SLn(K)

 

K E $ $# G E

 

a

b K a2

= b2. F G #

 

b

a

 

GL2(K)?

K E $ $# a K. >

Ga

$

 

x

y

,

x, y K,

ay

x

 

# $

$

 

 

 

 

g E

$ GL2(K), K E

$ $# x M2(K). ; H

( xg = gx,

 

 

 

 

. x = k1g + k2e, k1, k2 K

 

e E $

( A M : $ M2(Z2)

. A $ M2(Z2) # $ : ! "

0 GL2(Z2) = SL2(Z2) S3

( ) GL2(Z3) SL2(Z3)

. A G = SL2(Z3) # Q! , " Q8 . .8 G = Q A! A Z3

! GL2(C)! 4 $

0

1

0

i

,

1

0

i

0

 

i2 = 1! , Q8

" ( n E ! n ≥ 2 >

GL2(C)! 4 $

0

1

α

0

1

 

,

1

0

0

α

 

 

 

α E # n $! ,

D2n

. A GL2(C) # ! , " D

# A GLn(K) n > 1 # # n

! , GLn−1(K)

SLn(K)

$ A GLn(K) " # (s, t)

! s+t ≤ n! ! , GLs(K)×GLt(K)

K E $ $# (

GLn(K) " " 4 H

$ Diagn(K))D

$ # "

Tn(K))D

$ Tn(K) $ #

U Tn(K))D

$! $ a !

aa = e! a E $! a! e E

$ On(K))D

$! #

$ $! E !

, # Sn

GLn(K) = SLn(K) A! A K·

Tn(K) = U Tn(K) Diagn(K)

I A E GLn(K)! $!

$ A! " GLn(K)!

, " A

M E $

a

0

, a, b

 

 

b

1

 

Zn, n > 2, a {1, −1} > M # GL2(Zn)!

, # D2n

 

T E #

( )

x1 + x2i + x3j + x4k,

{x1, x2, x3, x4} R, i, j, k E : !

R A 4 T $ + · " H

(x1 + x2i + x3j + x4k) + (y1 + y2i + y3j + y4k) =

=(x1 + y1) + (x2 + y2)i + (x3 + y3)j + (x4 + y4)k,

T

" #H

1x = x1 = x x T, i2 = j

2 = k2 = 1,

ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki =

−ik = j.

 

< : x ( ) 4 # :

 

= x1 − ix2 − jx3 − kx4 |x| =

 

 

=

x12 + x22 + x32 + x42

 

 

 

 

x

xx

 

( H := (T, +, ·) E $

 

. # # : T

 

 

 

0

 

=

 

 

 

x, y T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

y

x

x

 

= 1 H·

 

 

% J x

 

T

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

) 4 :

4