Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

лекции по спец. курсу(лубочкин)

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
25.03.2015
Размер:
464.24 Кб
Скачать
2 2
2 2

/3'# %5, )'"#3'%&+! &, , -&'+ ')'3 ( 4,4 + )3'# %5, )'"#3'%&+! &,/

, -&'"' )

,&,( '#&'"+#"! 4 )%3('+ ! ,7% 5%#' , % %"- #$ %5 " +#,#-( #'

)%3% &, ,

'5 3,#'# 5%#' , +7(%"#%& &, , -&+ ')'3& + ) ,&

,3! $ " ')'3& 5 ) ,&'5 {x, J } 3,""5'#3+5 )3'+7(' $ '( %#('3! ++ '"&'(&'5$ '"3,&+ %&+ 6 :8 Ax = /' ', +5 x = x − x + )' " +#,%5 )3+3, %&+%

4

-&+ n/(%4#'3 x( b( # % )"%( ') ,&

 

 

f (x) = f (x) − f (x) = c 0x − c 0x = c 0

x.

 

6 . :

'" ,"&' ) .) ( (%4#'3

x '

 

 

,%& $ '(

%#('3!#- 3,(%&"#($ 6 ': '" ,

+7 6 . : )' $ +5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c 0 QA − c 0

 

 

0%4#'3

 

f (x) = c 0

x + c 0

 

 

x = −

x .

6 .0:

 

 

0

= c

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QA − c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&,7'(%5 &%')'3&'+ 4'5)'&%'+ (%4#'3, '*%&'4

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

"&' ( #'

 

 

= c

QA − c

 

.

 

 

 

6 .):

 

 

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

6 . :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+" ,

 

j ( j J ( &,7 (, #"! '*%&4,5+ &%')'3&& 4'5)'&% xj ( j J (

')'3&'"' )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,&, {x, J }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! )' " %#, (%4#'3, '*%&'4 $ '#&' )'

-7'(,#-"! m/(%4#'3'5 )'#%&*+/

, '(

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

= c Q.

 

 

 

 

%

 

6 .9:

'" , &%')'3& % '*%&4+ 5', &' ( +" !#- )' ! '35$

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

6 .$:

 

 

 

 

 

 

= u

 

A − c

 

 

 

 

 

+ + ( )'4'5)'&%&' (

j = u

0

aj

 

− cj , j J .

 

 

6 .-:

 

 

 

 

 

 

 

)'5'

 

- (%4#'3, '*%&'4 6

.$: !'35$

, )3+3, %&+! 6 .0: )3+&+5,%#

'4'& ,#%

-&+ (+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

f (x) = −

 

 

0

 

 

 

x = −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j xj .

 

 

6 .':

 

 

 

 

 

 

 

j J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0!"&+5 ! +7+ %"4++ "5 "

'*%&'4

j ( j J

!

#'"' )' ', +5

x = (0, . . . , 0,

xk, 0, . . . , 0) ( " % k

J

&%4'#'3 +

+& %4" 6'5)'/

&%$

 

x &,+ %5 +7 6 ':8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = QA x = xkQak .

 

 

'" ,( "'"

,"&' 6 .': )' $ +5 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = − k xk.

 

 

 

 

7 )'"

% &%"' 3,(%&"#(, &%#3$ &' 7,4

+#- ( #'

k (7!#,! " )3'#+/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(')'

', & 5 7&,4'5 "4'3'"#- +75%&%&+! *%

%('+ !$&4*++ )3+ $(% + %&++

k/'+ &%')'3&'+ 4'5)'&% )

,&, x( %"

+ )3+ #'5 '"#,

-& % &%')'3& %

4'5)'&% ) ,&, &% +75%&!

 

#"! ( , ')'3& % +75%&! #"! #,4 ( #'# ( /

)' &!

'"- '"&'(&'% '"3,&+ %&+%

 

 

 

 

%('+ !$&4*++ )' $ +5

/3+

4

,""+ %"4'5

( +"

%&++ )3'+7(' &'+ *%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂f (x)

= ck .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂xk

 

 

 

 

 

 

 

.# + +% k '# ck

"'"#'+# ( #'5 ( #' k

$"

'(&,! )3'+7(' &,! ( '&,

( +" !%#"! )3+ "'

#

%&++ ')3% % %&&&

$" '(++

6'"&'(&'"' '"3,&+ %/

&+!:

,4+% )3'+7(' & % &,7 (, # )3+(% %&& 5+

0 % ')' &+#% -&'%

$" '(+% ( )' &!

'"- " )'5' - ')'3 /' #'5$

k &,7 (, # ')'3&'+

)3'+7(' &'+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/$"#- {x, J } ')'3& + ) ,& /' " +#,%5 ! &%"' (%4#'3 )'#%&*+,

'(

u )' !'35$ % 6 .9: + '*%&4+

 

 

j ( j J ( )' ! '35$

% 6 .-:

 

2

 

x

 

 

 

 

 

{x, J }

 

 

 

 

 

 

 

 

j ≥ 0 xj = d j ;

 

j ≤ 0 xj = dj ;

 

 

 

 

 

 

j = 0 d j < xj < dj , j J .

6 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{x, J }

 

 

 

 

x {x, J }

 

 

/$"#- &,

')'3&'5 ) ,&% {x, J }

"''#&' %&+! 6 1: ( )' &!

#"! ,""5'#3+5 )3'+7(' -& + 6 3$"'+: )

,&

x /3',&,

+7+3$%5 &%')'3& % 4'5)'&% (%4#'3,

x = x − x

 

" +

" +

xj = d j , xj = dj ,

#'

#'

xj = xj − xj = xj − d j ≥ 0;

xj = xj − xj = xj − d ≤ 0, j J . 6 .:

j

7

'" ,"&' 6 1: 7&,4+ +"%

j ( j J ( #,4, % "'"

,"'(,& "' 7&, %&+!5+

4'5)'&% xj ( j

J 3,(&+(,!

6 1: +

6 .:(

)'

$ ,%5

j

xj ≥ 0

j J /' "#,(+5 #+ 7&, %&+! ( ! '35$

$ )3+3, %&+! 6 .':

 

 

 

f (x) = −

j J

 

j

xj ≤ 0.

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,4+5 '#3,7'5 ( f (x) ≤ f (x) !

#'"' ) ,&, x( #' + '7&, ,%# ')#+/

5, -&'"#- ) ,&, x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 '4,7,#%

-"#(' '# )3'#+(&'"': /$"#- {x, J } &%/

( 3', %&& + ')'3& + ) ,& ( , x ')#+5,

-&+ ) ,& 7, , + 6 .:2 6 0:

' ( (')3%4+ $#(%3, %&+ ( "''#&' %&+!

6

1: &% (

)'

&! #"!

 

! ')3%/

% %&&'"#+ )3% )' ', +5 ( #' j0

 

J

#,4'+ ( #'

j0

< 0 )3+ xj0 = d j0

/'"#3'+5 (%4#'3

x "' " % $ +5+ 4'5)'&%,5+

 

 

 

 

xj0 = θ > 0;

xj = 0

j J \ {j0}

 

6 :

 

x = −QA

 

x = θQaj0

 

 

 

6,4 )'4,7,&' ( ) .) 6"5 6 '::( (%4#'3 x = x+Δx )3+ ("%& θ $ '( %#('/

3!%# '"&'(&'5$ '"3,&+ %&+ /3'(%3+5 &, &%5 )3!5 % '"3,&+

%&+! /'/

"4' -4$ xj0 = d j0 ( #' )3+ ("%& '"#,#' &' 5,

& θ > 0 #$ $# ( )' &!#-"!

&%3,(%&"#(, d

j

0 < x 0 +

x 0

≤ d

x(J \ j ) = 0 )3+

#'5 θ #$/

 

j

j

j0 0 "+ $

 

0

 

$# ")3,(% +( &%3,(%&"#(, d (J \j0) ≤ x(J \j0)+Δx(J \j0) ≤ d (J \j0)

 

 

 

 

 

 

 

 

,""5'#3+5 ')'3&$ 4'5)'&%$ x = x +

x 0 "+ $ &%( 3', %&&'/

"#+ 6 ..: ')'3&'"' ) ,&, {x, J } &, (%4#'3% x ( )' &%& "#3'"+% &%3,/

(%&"#(, d

< x

< d 0%4#'3

 

x

+&%+&' 7,(+"+# '# θ 6"5 6 ::

/'

 

 

 

 

 

 

 

 

- $"' &' 5, , )3+ '"#,#' &' 5, '5

#'5$ %"' &'35, 5',%# ##- "4'

θ % '(,#%

-&' ( )3+ '"#,#' &' 5,

& θ #$ $# ( )' &!#-"! &%3,(%&"#(,

d ≤ x ≤ d #,4 ( θ > 0 ( #,4'%( #' )3+ 0 ≤ θ ≤ θ

(%4#'3 x !( !/

%#"! ) ,&'5 7, , + 6 .:2 6 0: 0+" +5 )3+3, %&+% *%

%('+ !$&4*++

 

f (x) = f (x) − f (x) = − j0

xj0 = −θ

j0 > 0 ( "+ $

j0 < 0.

%3,(%&"#('

 

f (x)

> 0( # % f (x) > f (x) )3'#+('3% +#

')#+5, -&'"#+

) ,&, x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&, '"+ &'

+""

% $ #"!

 

'"#,

-& % "

$ ,+ &,3$ %&+!

"''#&' %&++

6

1: %'3%5,0 0

0 '4,7,&,

 

 

 

 

 

 

 

 

/,3, {x , J

}( &, 4'#'3'+ ( )'

&! #"! "''#&' %&+! 6 1:( &,7 (,%#"!

')#+5, -& 5 ')'3& 5 ) ,&'5

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

% 5%&%% (,, &'+ )3'# %5'+ !(

!%#"! )3'#

%5, 3,")'7&,(,&+! ε/')#+5, -/

&& ) ,&'(

*"

'(+! "$#')#+5,

-&'"#+ )'7('

! # &% #' -4' + %+! +*+/

3'(,#- &, ,

-& + ε/')#+5,

 

-& + )

,& ( &' + ('(3%5! '"#,&'(+#- )3'*%""

3%

%&+! 7, , + ( &% 7,#3,

+(,! ')' &+#%

-&& 3%"$3"'( &, )'

$ %&+% 3%/

7$

-#,#, " +7 + &%+

#' &'"#-

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

) . # ' ( +"

%&' )3+3, %&+%

6 .': *% %('+ !$&4*++ 7, , + 6 .:2

6 0: )3+ )%3%&' % '# ) ,&, x 4 )"%( ')

,&$ x = x +

x )3+ &%+75%&&'+

')'3% J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3% + 5&',%"#(, ('75'

, &&

)"%( ')

,&'( 3,""5'#3+5 )' 5&', %"#(' (

"'"#'! %% +7 (%4#'3'( x(

+ - &%')'3& % 4'5)'&% 4'#'3 & $ '( %#('/

3! # )3!5 5 '"3,&+ %&+!5 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d j ≤ xj = xj + xj ≤ dj , j J .

 

 

6 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#' )' 5&',%"#(' "' %3, +# ( "%#% ("% 5&',%"#(' )

,&'( X ( + ( ( ,"#/

&'"#+ ( ')#+5, -&+ ) ,& x0

 

 

 

 

 

 

 

7 6 0: +5%%5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d j − xj ≤ xj ≤ dj − xj , j J .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,4"+5, -&'% 7&, %&+% )3+3, %&+!

6 .': &, 3,""5,#3+(,%5'5

)' 5&'/

,%"#(% '"#+",%#"! &, (%4#'3%

x(

! 4'#'3'"'

 

 

 

 

 

 

xj = d j − xj

)3+

 

j ≥ 0;

 

 

 

 

 

 

xj = dj − xj

)3+

 

j ≤ 0, j J ,

 

6):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3,(&'

β(x, J ) =

 

 

 

max

 

f (x) =

d j −xj ≤ xj ≤dj −xj , j J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= d j −xj ≤ xj ≤d −xj , j J

 

 

X

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

j J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

j J

d j −xj ≤ xj ≤dj −xj , j J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

(xj − d j ) +

 

 

 

 

 

=

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

j J

 

:

 

>0

 

 

 

j

 

J

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j xj =

j xj ) =

j (xj − dj ). 6 :

j <0

+" ' β = β(x, J ) +7 6 : &,7'(%5 '*%&4'+ "$#')#+5, -&'"#+ ')'3&'"' ) ,&, {x, J } ,4'% &,7(,&+% +" , β ')3,( ,&' #%5 ( #' )3+ x = x0 +7 6 .':( 6 : " % $%# &%3,(%&"#('

f (x0) − f (x) ≤ β(x, J ),

 

6 9:

4'#'3'% '*%&+(,%# "(%3&$ '#40

'&%&+% )' 7&, %&+

*%

%('+ !$&4*++ ) ,&,

x '# ')#+5, -&'"' ) ,&, x

 

 

 

2

ε ≥ 0 ε

 

x

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

β(x, J )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β(x, J ) ≤ ε.

 

 

 

 

6 $:

 

 

 

" % $%# +7

! '35$

 

 

6 09: "

+

)3+ &%4'#'3'+

')'3%

J ( )' &!%#"! &%3,(%&"#('

6 $:( #' f (x )

− f (x)

≤ β(x, J ) ≤

ε( #' (

"'" ,"&' 6 ):( + '7&, ,%# ε/')#+5,

-&'"#- )

 

,&, x

 

 

2 2

 

 

 

4 4

 

 

 

 

 

/$"#-

{x0, J 0

} ')#+5, -& +

')'3& +

)

 

,& 7, , + 6 .:2 6 0: 6#,4'+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

"

) ,& 7, 4'&%

 

&'%

+" '

+#%3,*+

5'

&'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)'"#3'+#0 "''#(%#"#(- " $)'5'++ -%5$+7(%4#'3, ,%/

5'"' , %% , "'3+#5,: .#'7&, +5 %3%7 u

 

 

 

 

 

 

)'#%&*+,

'(( # %

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

0 0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

= c Q

.

 

 

 

 

 

6 -:

''#&' %&+! 43+#%3+! ')#+5,

-&'"#+ " $ %#'5 6 .-: 7,)+ %5 ( " % $/

%5 (+ %8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

0 u0

− c

j

≥ 0

)3+

x0

 

= d

j

;

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

6 ':

 

 

 

 

a

0 u0

− cj

≤ 0

)3+

x0

 

= d ;

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

j

< d , j J 0.

 

 

 

 

a

0 u0

− c

j

= 0

)3+

d

j

< x0

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

63'5% #'"' ( +7 6 -: +5%%5 c0

0

 

= u0 0 P 0 = u0 0 A0

+ + cj = u0 0 aj (

# %

 

0

 

0

− cj = 0, j J

0

 

 

 

 

a

u

 

 

.

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0(% %5 (%4#'3

 

0

 

 

 

0

 

 

0

u

0

− c.

 

 

 

 

δ = δ (J ) = A

 

 

 

7

6 -:2 6 01: " % $%#

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ0

= 0, δ0 0

= c0 0 Q0A0

− c0 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/'"#3'+5 (%4#'3 v0 ( w0 "' "

% $ +5+ 4'5)'&%,5+

 

vj0 = δj0,

wj0 = 0

)3+

δj0 ≥ 0;

 

 

 

vj0 = 0,

wj0 = −δj0

)3+

 

 

δj0 < 0,

j J.

'"

,"&' 6 0.:2 6 00: "'('4$)&'"#- λ0 = (y = u0, v = v0, w = w0)

#('3!%# "''#&' %&+!5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 0 y − v + w = c, v ≥ 0, w ≥ 0.

j J 0 (

6 01:

6 0.:

6 0 :

6 00: $ '( %/

6 0):

$ %#'5 6 -:(

6 0 :( 6 00:( 6 1:( 6 .1: ( +"

+5 &, &%+ 7&, %&+% !$&4/

*++

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(λ0) =

b 0 u0 − d 0 v0 + d 0 w0 = {(2.28), (2.32), (2.33)} =

 

 

 

 

 

 

 

 

=

c0 0 Q0b −

 

 

 

 

 

d j δj0

 

 

 

 

dj δj0 = {(2.20)} =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j J

0

: δ0

 

0

 

 

j J

0

: δ0<0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xj

 

 

 

 

Xj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

b − c0

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Q0b − j J

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

0

 

0

 

 

=

c0

 

0

xj

δj = {(2.32)}

= c

 

Q

 

 

Q0A − c

 

x =

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {(2.10)} = c0 0 x0

 

+ c0 0 x0

 

 

 

 

 

 

= c0 0 Q0(b − A0 x0 ) + c0 0 x0

 

= c 0 x0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,4+5 '#3,7'5 ( +5%%5

 

 

 

0

 

 

0

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(λ ) = f (x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/$"#- #%)%3- λ = (y, v, w) )3'+7('

-&,! "'('4$)&'"#- ( $ '(

 

%#('3!/

,! 6 0):( x )3'+7('

-&+ )

,& 7, , +

 

6 .:2 6 0: .*%&+5 7&, %&+%

ϕ(λ)8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

(2.2),(2.3)

 

0

 

0

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(λ) = b

 

y − d v + d

 

w

 

x

 

A

 

y − x

 

v + x

 

w =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x 0 (A 0y − v + w) = {(2.34)} = x 0 c = c 0 x,

 

# %

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(λ) ≥ f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 09:

!

#'"' )

 

,&, x + ( ( ,"#&'"#+ ( ! ')#+5,

 

-&'"'8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(λ) ≥ f (x0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 0$:

3,(&+(,!

 

6 0 : + 6 0$:( 7,4

 

,%5 ( #' λ0

= (u0, v0, w0) 3% %&+%

" % $ %+ 4"#3%5,

-&'+ 7, , +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(λ) = b 0 y − d 0 v + d 0 w → min,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 0 y − v + w = c, v ≥ 0, w ≥ 0.

 

 

 

 

 

 

 

6 0-:

#' 7, , , 1 / %, , $

6 .:/ 6 0: #$ %5 &,7 (,#- )3!5'+ ( , 7, , $

6 0-:

('+"#(%&&'+

4 &%

+

 

 

 

 

 

$ '(

%#('3! ,! '"3,&+ %&+!5

('+/

'('4$)&'"#- λ

 

= (y, v, w)(

 

"#(%&&'+

7, , +

6 0-:( &,7 (,%#"! ('+"#(%&& 5 )

 

,&'5 ( 3% %&+% λ0 =

(y0, v0, w0) 7, , + 6 0-: ')#+5,

-& 5 ('+"#(%&& 5 )

,&'5

 

 

 

0

6 0 : +

6 09: 7,)+",& #%"& % (&$#3%&&+% "(!7+ )3!5'+

6 .:2 6 0: +

('+"#(%&&'

+

 

6 0-: 7, , 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,&'( ( )' &!%#"! &%3,(%&/

1)

!

# & )3!5'"' x + ('+"#(%&&'"' λ )

"#('

6 09:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%(& !$&4/

2) ')#+5,

-& % 7&, %&+! )3!5'+ f (x) + ('+"#(%&&'+ ϕ(λ) *%

*++

3,(& ( # % 6 0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0%4#'3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ = A

0

y − c

 

 

 

 

 

 

 

6 0':

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&,7'(%5 4') ,&'5 0 % 4'5)'&% v0 ( w0 ('+"#(%&&'"' )

,&, λ0 "#3'/

+

+"-

"'

" ,"&' 6 00:

0

 

,

 

 

-&%+ %5

#$ %5 3,""5,#3+(,#- #' -4' #,4+%

('+"#(%&& % ) ,& λ

= (y, v, w)(

!

4'#'3 & ( )' &! #"! #,4+% ,%

$" '(+! ( # %

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vj = δj ,

 

 

wj

 

= 0

)3+

δj

≥ 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vj = 0,

 

 

wj = −δj

 

)3+

 

δj < 0,

j J.

 

6 )1:

1 %"4' )3'(%3+#-( #' (%4#'3 λ( $ '(

%#('3! ++

6 )1:( !(

!%#"! ('+/

"#(%&& 5 ) ,&'5 .& &,7

(,%#"! "'"

 

,"'(,&& 5 ('+"#(%&& 5 ) ,&'5 ( ,

",5+ $"

 

 

'(+! 6 )1: $"

 

'(+!5+ "'"

 

,"'(,&+!

,4'% '"3,&+

%&+% ')3,(/

,&' #%5

( #' "'" ,"'(,&&

% ('+"#(%&& % ) ,&

'#

, , # (,, & 5 4"/

#3%5,

-& 5 "('+"#('5 8 %"

+ λ = (y, v, w) "'"

 

,"'(,&& + ('+"#(%&& +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

,& (

, λ = (y, v, w) &%"'"

,"'(,&& + ( #' ϕ(λ) ≤ ϕ(λ) 0

",5'5 % %(

" $ %#'5 "'" ,"'(,&&'"#+ λ + 3,(%&"#( δj

vj + wj

= 0( j J ( 4'#'3 %

"

% $ # +7 '"&'(&'"' '"3,&+ %&+! 7, , +

6 0-:( +5%%5

 

 

 

 

 

ϕ(

 

) − ϕ(λ) = d 0 (v − v) + d 0 (w − w) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xj

 

 

j d j

vj d j + wj dj ) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

J : δ

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

Xj

 

(−vj d j + wj dj + δj dj ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

J : δ <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xj

 

 

 

 

 

vj d j + wj d j wj d j + wj dj ) +

 

 

 

 

 

=

J : δ

 

0

j d j

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

Xj

 

 

j dj vj dj + wj dj + vj dj vj d j ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

J : δ <0

 

 

 

 

 

 

Xj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

wj (dj − d j ) +

 

 

vj

(dj − d j ) ≥ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

j J : δ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

j J : δ <0

 

 

 

 

 

 

 

/$"#- J ')'3,( δ 4')

 

,& /'"#3'+5 )"%( ')

,& = (J ) = ( (

) 7, , + 6 .:2 6 0: "' "

% $ +5+ 4'5)'&%,5+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j = d j , %" + δj > 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j = dj , %" + δj < 0;

 

 

 

 

 

 

6 ) .:

 

 

 

 

 

 

 

j = d j

dj , %" + δj

= 0, j J ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Q(b − A ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%')'3& 5 4'5)'&%,5 j ( j J

 

( )3+ δj = 0 5', &' )3+"('+#-

# %

7&, %&+! +7 '#3%74'( [d j , dj ] ( j J

 

0

6 ) .:

 

! )3'"#'#

, -&%+ %"'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+7

',%&+! #,4+5 4'5)'&%,5 )3+"(,+(,%#"! ' &' +7 43+#+ %"4+&

7&, %/

&++ /3+ #'5 ( )' ,",! ( 6 ) .: j

= d j

)3+ δj

= 0 ( ! ,4#+ %"4+ " +#,%5 (

#' δj #%"4'&% &' 5,

'% )' ', +#% -&'%

+" ' ( # % δj = +0 ( "

$ ,%

j = dj

)3+ δj = 0 " +#,%5 ( #' δj = −0 /' #'5$ ((% %5 '#'7&, %&+!

 

 

 

 

 

J + = {j J : j = d j }, J = {j J : j = dj }.

6 ) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 % )' ')'3% J 0 #

' )'"#3'%&' ")%*+,

 

-&'% 3% %&+% λ0 = (u0, v0, w0)

('+"#(%&&'

+ 7, , + 0(% %5 ,&, '"+ &$

4'&"#3$4*+

 

! )3'+7('

-&'+

')'3 J /'"#3'+5 (%4#'3 )'#%&*+,

'( u 6 .9: 6')

,& δ 6 0':( )'"#3'/

%&&+ )3+ y = u( # %

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ = A 0 u − c,

 

 

 

 

 

 

 

 

6 )0:

&,7'(%5 4')

,&'5 ( "')3'(', , +5 ')'3$ J 643,#4'8 "')3'(', , +5

4')

,&'5: %#3$ &' (+ %#- ( #' "')3'(', , ++ 4')

,& δ 6 )0: "'(),/

,%# " (%4#'3'5 '*%&'4

6 .):( # %

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 )):

/' 4')

,&$ δ 6 )0: )'"#3'+5 (%4#'3 v + w "'"

,"&'

6 )1: ('+"#(%&/

& + ) ,& λ = (u, v, w) &,7'(%5 "')3'(', , +5 ('+"#(%&& 5 )

,&'5

/' )'"#3'%&+ ( ("!4+

+ "')3'(', , ++ ('+"#(%&& +

) ,& !( !%#"! "'/

"

,"'(,&& 5 ( &' &, &%5 ')'

&+#% -&' 6"5 6 . ::8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

6 ) :

 

/$"#- J

')'3,( δ "')3'(', , ++ 4')

,& /'"#3'%&& + )' &+5

)"%( ')

,&

6 )

.: &,7'(%5 "')3'(', ,

 

+5 )"%( ')

,&'5

-& 5

"('+/

 

 

')3'('

,

,

++

)"%( ')

,& #,4,%

'#

 

, ,%#

4"#3%5,

"#('5 8 '& !(

!%#"! 3% %&+%5 7, , +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c 0x → max,

Ax = b,

d

 

≤ x

 

≤ d ,

 

 

6 )9:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4'#'3,!

&,7

(,%#"! )3'+7(' &'+ 7, , %+ 1 %

"4'

)3'(%3+#- ( #' $"

'(+!

6 )

.: '#%")% +(, # (

)' &%&+% "''#&' %&++

')#+5,

-&'"#+

6 1: " +

)3+

 

#'5 '4,, %#"! ( #'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#

%

 

 

)

,& )3!5'+

 

d ≤ ≤ d ,

 

!%#"! + %% ')#+5,

6 )$:

 

 

7, , +

6 .:2 6 0:( #'

!(

-& 5

)

,&'5

$ $4,7,&&'"' "('+"#(, ")3,(%

+(

"''#&' %&+! 8

 

 

 

0

"+

 

 

1) (%4#'3

x = − x

"'(), ,%# " (%4#'3'5

x

6 ):( &, 4'#'3'5

 

'"#+",%#"! 5,4"+5$5 )3+3, %&+! *%

%('

+ !$&4*++ 7, ,

+ 6 .:2 6 0:

 

)3+ (

+" %&++ '*%&4+ "$#')#+5, -&'"#+

6 :

",5, '*%&4, ')$"4,%#

 

4'5),4#&$ 7,)+"-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β(x, J ) =

(x − );

 

 

 

 

 

6 )-:

2)

 

!

#'+ ')'3 J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c 0 = ϕ(λ),

 

 

 

 

 

 

 

6 )':

" % λ "')3'(', , ++ ')'3$ J ('+"#(%&& + )

,& ( , "')3'(', /

, ++

)"%( ') ,& %+"#(+#% -&' ( c 0 = {(2.43)} = (u 0A − δ 0 ) =

u 0 b − δ 0 = {(2.40)} = b 0 u − d 0 v + d 0 w = ϕ(λ)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/$"#- {x, J } ')'3& + ) ,& 7, , +

6 .:2 6 0:( β(x, J ) %"' '*%&4,

"$#')#+5,

-&'"#+ 6 :( λ = (u, v, w) "')3'(', , ++ ('+"#(%&&+

) ,& '" ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β(x, J )

=

{(2.48)} =

0 (x

− ) = {(2.44), (2.45)} = δ 0 (x − ) =

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

0

A

 

 

0

) = u

0

 

 

 

0

 

0

x =

 

 

 

 

 

{(2.43)} = (u

− c

)(x −

 

(Ax − A ) + c

− c

 

 

 

 

 

= {(2.2), (2.41)} = c 0 − c 0 x = {(2.49)} = ϕ(λ) − f (x) =

 

 

 

 

 

 

=

{(2.35)} = [f (x0) − f (x)] + [ϕ(λ) − ϕ(λ0)], # %

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β(x, J ) = β(x) + β(J ),

 

 

 

 

 

6 1:

" % %3%7 β(x) '#'7&, %&, (% + +&,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β(x) = f (x0) − f (x)

 

 

 

 

 

 

 

6 .:

'#4

'&%&+% 7&, %&+! f (x) '# ')#+5,

-&'"' ( , %3%7 β(J ) (%

+ +&,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β(J ) = ϕ(λ) − ϕ(λ0)

 

 

 

 

 

6 :

'#4

'&%&+% 7&, %&+! ϕ(λ) '# ')#+5,

-&'"' 0 "''#(%#"#(++ " #+5 ( +"/

' β(x) 6 .: &,7 (, # 5%3'+ &%')#+5, -&'"#+ )

,&,( , β(J )

6 :

5%3'

+

&%')#+5,

-&'"#+ ')'3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-&'/

7 6 1: "

% $%#( #' β(x, J ) !( !%#"! #' &'+ '*%&4'+ "$#')#+5,

"#+ )

,&, x(

%" + β(J ) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

,& x0

!( !%#"! ')#+5, -& 5 )3+ β(x0) = 0 $ %5 &,7 (,#- ')'3$

0

')#+5,

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

-&'+ ( %" + β(J ) = 0 0"!4,! ')'3,( &, 4'#'3'+ ( "'('4$)&'"#+

" &%4'#'3 5 ) ,&'5 ( )'

&! #"! $" '(+! ')#+5,

-&'"#+ 6 1:( !(

!%#"!

')#+5, -&'+

 

 

 

 

 

, # )3'73, & 5 (&$#3%&&++

"5 "

')'3

/

3+(% %&&

% ( +" %&+! %

/'

#'5$ ( 4, %"#(% &,

,

 

-&'+

$

% ( #+3,#- #,4$

')'3$

( "')3'(', ,/

 

++

('+

"#(%&&+ )

,& 4'#'3'

+ )' ('75', &'"#+

#

+7'4 4 ')#+5, -&'/

5$

 

 

#' ( " ' &'+

"#'3'& ( )'7('

!%# #' &%% '*%&+#- #%4$ ++ ) ,& x( ,( "

3$

"'+ ( 4,4 )'4,

, $# ,

-&%+ +% +"" % '(,&+! ( #

"#3%% )'"#3'+#- "$#')/

#+5,

-&+ )

,&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

7 3,7 ',%&+! 6 1: " % $%#

2

ε ≥ 0

 

 

β(x, J )

 

ε x J

/$"#- x ε/')#+5,

-&+ )

,& ! 4,, '+ 7, , +

6 .:2 6 0:( +5%

%

+

3% %&+! (

,

( 7&,

+#(

+ "$#')#+5,

 

-&) % ) ,& ( ')#+/

5,

-&,! ')'3, 5',%# ##- )'"#3'%&, )3+(' +5

5 ( )

 

, "'3+#5'5 7,

4'&% &'% +"

' +#%3,*++ /3+

 

#'5 &%'#&' +5 % $" '(+! ')#+5,

-&'"#+

+ "$#')#+5,

-&'"#+ &% +")' -7

$

#"!

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

'" , β(x, J

0

 

) =

0 4, %"#(% ')'3 J ( #%3%5 ')#+5, -&$ ')'3$ J

 

 

β(x) = f (x0) − f (x) ≤ ε %'3%5, '4,7,&,

 

 

 

 

 

 

 

 

'"#,#' &'%

6#%'3%5, ): + &%'#&' +5'% 6#%'3%5, : $"

'(+! "$#')#+/

5,

-&'"#+ "'"#,( !

# 43+#%3++

"$#')#+5,

 

-&'"#+

 

 

 

 

 

 

 

 

2

ε ≥ 0 ε

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

β(x, J ) {x, J } ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/3% ,",%5 +

,

"'3+#5 #$ %# +#%3,*+'&&

5 ( # %

 

3% %&+% 7, , +

1 / '&

"#3'+#( ( )' &!! ( *+4 % ')3% % %&&$

)3'*% $3

$

6+#%3,*+ : .# %4#'5

+#%3,*++ " $, +# ')'3& + ) ,& {x, J } 0 )3'*%""% +#%3,*++ '"$ %"#( !/

%#"! )%3%&'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{x, J } → {x, J }

 

 

 

 

 

 

6 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'# ' &'"' 6"#,3'"': ')'3&'"' )

,&,

4

3$"'5$ 6&'('5$: /%3% &,

, '5

+#%3,*++ " +#, #"! +7(%"#& 5+ &, ,

 

-& + ')'3&+ )

 

,& + +" ' ε #3%/

#$%5,! #' &'"#- )3+#

+, %&+! 4 ')#+5, -&'5$ ) ,&$ )' 7&, %&+ *%

%('+

!$&4*++

 

 

 

 

, ,)#+(&'

"' 5%#' , )' ', %& )3+&*+) $5%&- %&+!

0

'"&'($ +#%3,*++

'*%&4+ "$#')#+5, -&'"#+ ( # % )%3%&'

6 0: '"$ %"#(

!%#"! #,4 ( #'#

 

 

 

 

 

 

β(x, J ) ≤ β(x, J ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 "+ $ 3,7 ',%&+!

6 1: '*%&4+ "$#')#+5,

-&'"#+ )3+&*+) %% $5%&- %/

&+!

#$ %# 3%,

+7'(,& ( (+ % ($& )3'*% $3 (

"'"#,(

! +&

(% ,"#+ +#%/

3,*++8