лекции по спец. курсу(лубочкин)
.pdf
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
5,"#%3"4$ |
|
)' +7 |
" |
'#'( %&+ |
|
& |
+ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
&%4'#'32 5,#%3+,+7, % +! +7)'"#"'#'($),%#%&+!5,#%3+,4,, '"'( |
||||||||
3$ '&,& ( ( 4,, '5 +7 4'#'3 & α |
|
|
|
|
|||||||||
+7 % |
+! #3%#$ #"! 7,"'#'(4+ m (+ '( )' γi |
2 4,, ,! ( i = |
|
, 4,, '% |
|||||||||
1, m |
|||||||||||||
+7 % |
+% #3%#$%#"! βi |
6i = |
1, m |
: 7,"'#'('4 i/"' (+ , 7(%"#& n ")'"'#'( |
3,"43'! ' &'"' 3$ '&, &, 7,"'#'(4+ 6,, + j/+ ")'"'# &,3,4#%3+7$%#"! 4' + %"#('5 aij 7,"'#'('4 i/"' (+ , 6i = 1, m:( 4'#'3'% )' $ ,%#"! )3+ j/'5 3,"43'% 6j = 1, n: %'#&' +5' ')3% % +#- ( 4,4'% 4' + %"#(' 3$ '&'( 5,#%/
3+, , " |
% $%# 3,"43'+#- 4,, |
5 +7 |
$4,7,&& & |
")'"'#'( |
! +7"'#'( %&+! |
|
N +7 % |
++ ( #'# '#&' # |
+ 5+&+5, -& 5+ |
|
|
|
|
/'"#3'+5 5,#%5,#+ %"4$ 5' % |
- 7, , + .#'7&, +5 |
%3%7 |
xj 4' +/ |
|||
%"#(' |
3$ '&'( 5,#%3+, ,( 4'#'3'% |
&%'#&' +5' 3,"43'+#- j/5 |
")'"'#'5 |
6j = 1, n: "&' ( #' xj ≥ 0 ( j = 1, n 63$ '& j/5 ")'"'#'5 5', &' 43'+#- + + &% 43'+#-: 6' + %"#(' 7,"'#'('4 i/"' (+ ,( )' $ %&&'% ( 3%7$ -#,#% 3,"43'! xj 3$ '&'( )' j/5$ ")'"'#$( 3,(&' aij xj ( , 4' + %"#(' 7,"'#'('4 i/"' (+ ,( )' $ %&&'% ( 3%7$ -#,#% 3,"43'! ("%& 3$ '&'( 6("%5+ ")'"'#,/
5+: |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
6i = 1, m: /'"4' |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
j=1 aij xj |
-4$ &, |
+7"'#'( %&+% ' &'"' +7 % +! |
||||||||||||
|
|
7,"'#'('4 |
i |
/"' (+ ,( #' ! |
N |
+7 % ++ &%'#&' +5' |
bi = N βi 7,"'#'/ |
||||||||||
+ %# βi |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
('4 6i = |
1, m |
: /' |
|
$ %&&'% 4' + %"#(' 7,"'#'('4 i/"' (+ , &% 5',%# # #- |
|||||||||||||
5%&- % #'+ (% + +& 8 |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aij xj ≥ bi, i = |
1, m. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
,+ %5 (% + +&$ '#& |
' '( &, |
, , '#&' ,5+ #$ %5 " +#,#- 4$"4+ 5,#%/ |
||||||||||||||
3+, ,( 4'#'3 % &% !( |
! #"! 7,"'#'(4,5+ / |
|
' , - 7,"'#'('4 i/"' (+ , )3+ |
||||||||||||||
j/'5 3,"43'% ' &'"' 3 |
$ |
'&, 3,(&, aij γi ( , ) |
' , - 7,"'#'('4 ("%& (+ '( |
||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
'&, 3,(&, α |
|
|
|
|
|
||
|
i=1 aij γi ( |
) ' , - 3$ |
% '(,#% -&' ( '#&' )3+ 3,"43'% |
||||||||||||||
' &'"' |
3$ |
'&, )' j/5$ ")'"'#$ 3,(& |
|
|
|
|
|||||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
m |
||
cj = α − |
X |
|
|
aij γi, j = |
1, n, |
||
|
i=1 |
6. 9:
'#&' )3+ 3,"43'% xj |
3$ |
'&'( )' j/5$ ")'"'#$ cj xj ( "$55,3& % '#&' |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
'# 3,"43'! ("%& 3$ '&'( |
6("%5+ ")'"'#,5+: |
|
Pj=1 cj xj |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
#$ "$55$ &%'#/ |
|||||
&' +5' 5+&+5+7+3'(,#- |
,4+5 ' |
#3,7'5 ( 5,#%5,#+ %"4,! 5' % - 7, , + ' |
||||||||
3,"43'% ( 3,""5,#3+(,%5'5 " $ ,% +5%%# (+ 8 |
|
|
|
|
|
|||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cj xj → min, |
|
aij xj ≥ bi, i = |
1, m |
; xj ≥ 0, |
j = |
1, n |
|
|||
j=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + ( (%4#'3&'/5,#3+ &'+ !'35% |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c 0x → min, |
Ax ≥ b, x ≥ 0. |
|
|
|
, %% '#&' ,5+ |
#$ %5 " |
+#,#- #,4,% + 7,"'#'(4+ ( |
4'#'3 % &% +")' -7 |
$/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
#"! |
! +7"'#'( |
%&+! N +7 % |
++ ( # % |
|
+ &+% 7,"'#'(4+ 6,4 # |
' )' / |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bi % '(,#% P |
n |
|
4' |
+ %"#(' |
+ &+& |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
" +#,&' ( %( 7,"'#'('4 i/"' (+ , #$ %# )' |
$ %&' |
|
|
|
j=1 aij xj ( , ! +7"'#'(/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
%&+! |
|
|
+7 % ++ +& #3%#$%#"! |
|
+ - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-&' ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
/"' (+ , 3,(&' |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7,"'#'('4 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
6i = 1, m:( +& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
Pj=1 aij xj − bi |
) ' , - 3,(&, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aij xj |
− bi |
· γi |
(i = 1, m), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
, ) ' |
|
, - ("%& |
+ |
|
&+ |
& |
7, |
" |
'#'('4 |
|
− bi γi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m n aij xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
,4+5 '#3,7'5 |
( ( #'5 " |
|
$ ,% *% |
%(,! |
!$&4*+! |
7, , + 1 / #$ %# +5%#- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
" % $ |
|
++ (+ |
|
|
|
|
|
cj xj |
+ m |
n |
aij xj − bi γi → min. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
! )3'+7(' "#(, &%4'#'3'"' ") ,(, +")' |
|
-7$ # n 3,7 + & & +&#'( & |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5,#%3+, '( Aj ( j = |
1, n |
|
+5+ %"4++ |
"'"#,( ") ,(, ')3% % !%#"! "' %3/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
,,&+%5 ( &%5 &+5+ %"4+& %5%'( 6+ |
+ "'% +&%&++: Bi ( i = |
1, m |
7/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(%"#&, ' ! aij &+5+ %"4'"' %5%, Bi |
( % +&+*% +&#'('"' 5,#%3+, |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Aj . %(+ &' ( #+ ),3,5%#3 ( )'"#,&'(4% 7, , + ' |
, & $ '( %#('3!#- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
&%3,(%&"#(,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aij ≤ 1, |
|
j = |
1, n, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# 4 ( +&#'('5 5,#%3+, |
|
|
% Aj 5'"$# "' %3,,#-"! + 3$"+% &+5+ %"4+% |
%/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5% ( |
43'5% $4,7,&& & |
|
|
'#'( |
+ |
") ,( ' ,%& +5%#- "#3'"' ')3% % %&/ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
& + "'"#,( ( 4'#'3 + 7, ,%#"! ' |
!5+ βi |
&+5+ %"4+& |
%5%'( Bi ( i = 1, m |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"&' ( #' #+ ),3,5%#3 7, , + ' |
, & $ '( %#('3!#- $" '(+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
βi = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
/3+ 7, ,&&'+ "#'+5'"#+ cj % +&+* |
+&#'( & |
|
5,#%3+, |
'( Aj ( j = |
1, n |
( |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
&,+#+ 4' + %"#(' 4, |
, |
'" |
' +7 &+& ( |
' |
#%")% |
+(, %% )' $ |
%&+% 7, ,&&' |
"' |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4' + %"#(, ") |
,(, ( '# %5% α )3+ 5+&+5, |
-&'+ '# %+ "#'+5'"#+ +")' |
-/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7$%5 & |
+&#'( |
& |
5,#%3+, |
'( |
|
|
|
- 7, , + .#'7&, +5 %3%7 xj |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
/'"#3'+5 5,#%5,#+ %"4$ 5' % |
|
4' + %/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"#(' +&#'('"' 5,#%3+, |
|
|
, Aj ( +")' |
|
-7$%5'"' ! )' |
$ %&+! 7, ,&&'"' 4'/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
≥ 0 ( j = |
|
64,, + +7 +&#'( & |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ %"#(, ") ,(, 6j = |
1, n |
: "&' ( #' xj |
1, n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,#%3+, '( 5',%# +")' -7'(,#-"! + |
+ &% +")' |
-7'(,#-"!: |
6' + %"#(' &+/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5+ %"4'"' %5%, Bi |
( $4,7,&&'5 |
4' + %"#(% +&#'('"' |
5,#%3+, , Aj |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,(&' aij xj ( , "$55,3&'% 4' |
+ %"#(' &+5+ %"4'"' |
|
%5%, Bi (' ("%& +&/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
#'( & 5,#%3+, ,& |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
j=1 aij xj |
#' 4' + %"#(' ' |
, &' # #- 3,(&' (% +/ |
||||||||||||||||||||||||||||
+&% bi |
= αβi ( 4'#'3,!P)3% "#,( !%# "'#'+ 4' |
+ %"#(' &+5+ %"4'"' %5%&/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
#, Bi (' ("%5 ") ,(% '# %5, α8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
aij xj = bi, i = |
1, m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#'+5'"#- +&#'('"' 5,#%3+, , Aj |
3,(&, cj xj ( "#'+5'"#- ("%& +&#'( & |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5,#%3+, '( |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Pj=1 cj xj |
% &%'#&' +5' 5+&+5+7+3'(,#- |
,4+5 '#3,7'5 ( |
||||||||||||||||||||||||||||||
5,#%5,#+ %"4,! 5' % |
- 7, , + ' ") |
|
,(,& +5%%# (+ 8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cj xj → min, |
|
|
aij xj = bi, |
i = 1, m; |
xj ≥ 0, |
|
j = |
1, n |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ + ( (%4#'3&'/5,#3+ &'+ !'35% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c 0x → min, |
|
|
Ax = b, |
x ≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
,""5'#3+5 &%4'#'3 % +75%&%&+! ( )'"#,&'(4% 7, , |
+ 0'/)%3( & ( #$ %5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
" +#,#-( #' 4' + |
%"#(' ") |
,(,( |
|
4'#'3'% &%'#&' +5' )3'+7(%"#+ ( ' , &' |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
# #- &% 5%&- % '# %5, α + &% #' |
|
- % α 0% |
|
+ +&, α 5', %# &,3,4#%3+/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
7'(,#- "$55,3& + 7,4,7 '# )'#3%#+#% |
|
%+ ( , (% |
|
|
+ +&, α )3'"&'7+3$%5 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||
"# # )3'+7(' +5'"' ") |
,(, 6α ≥ α : '" , )' $ +5 " % $ +% '"3,&+/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
%&+! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
b |
i |
≤ a x |
j |
≤ b , i = 1, m, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= α β ( b = α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
" % b |
i |
β ( i = |
1, m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
i |
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0'/(#'3 & ( )3% )' |
', +5 ( #' +&#'( + 5,#%3+, |
Aj |
5', &' 7,4$),#- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dj ( |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
( 4' + %"#(% ( |
&% )3%( , %5 |
(% |
+ +&$ |
j = |
1, n |
( |
43'5% #'"' ( $ |
||||||||||||||||||||||||||||||
",5'"' )3% )3+!#+! |
+5%%#"! 4, |
, |
|
+ + |
'( + |
|
5,#%3+, |
( 4' + %"#(% |
|||||||||||||||||||||||||||||
d j ( j = 1, n( |
4'#'3'% &%'#&' +5' |
|
)' |
&'"#- +73,"&' '(,#- '" , )' $/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
+5 '"3,&+ %&+! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, j = 1, n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d j ≤ xj ≤ dj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
/#3%#-+& ( |
)$"#- (5%"#' |
"#'+5'"#+ |
+'( |
& |
5,#%3+, |
'( 7, ,&, )3+/ |
||||||||||||||||||||||||||||||
# |
- cj |
&, % +&+*$ +")' |
-7 |
$%5'"' +&#'('"' 5,#%3+, |
|
, Aj 7, , , "'/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
"#'+# ( 5,4"+5+7,*++ "$55,3&'+ )3+# +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X cj xj |
→ max. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1
2 |
|
|
|
|
|
||||||
%4'#'3 % 5%#, |
$3"+ %"4+% )3'*%"" |
"'"#'!# +7 ($& |
'"&'(& & |
')%3,/ |
|||||||
*++ 8 "'"#,( %&+% " |
3-%('+ "5%"+ |
6 +&# |
: + ) ,(4+ 6,4 )3,(+ ' ( |
(#'3$ |
|||||||
')%3,*+ " +#, # |
! +4"+3'(,&&' |
+ )' 7,#3,#,5 + ( )$"4$ |
'" , )3'# |
%5, |
|||||||
) ,&+3'(,&+! 5%#, |
$3"+ %"4'"' )3'*%"", "(' +#"! 4 7, , % "'"#,( |
%&+! |
|||||||||
+&# |
" &,+5%&- |
+5+ 7,#3,#,5+ |
|
|
|
|
+ & & (+ '( |
||||
')$"#+5 ( #' |
|
! "'"#,( %&+! +&# +")' -7$%#"! n 3,7 |
|||||||||
" 3-%( & 5,#%3+, |
|
'( %3%7 xj ( j = |
1, n |
'#'7&, +5 +")' |
-7 |
$%5'% 4' |
+ %/ |
"#(' " 3-! j/"' (+ , /3% )' ,",%#"! 7, ,&& 5 " % $ %%8 )'4'5)'&%/ & + "'"#,( 4,, '"' (+ , " 3-! ( # % (% + +& αij ( i = 1, m( j = 1, n( 4'#'/ 3 % 3,(& ' % i/+ 4'5)'&% 6&+5+ %"4'"' %5%, + + "'% +&%&+!: (
% +&+*% j/"' (+ , " 3-! #3%#$%5+ |
! ) ,(4+ "'"#,( +&# ( (+ % '/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
%( & 4' !! +*+%'( γi ( i = |
1, m |
#+& 4'5)'&% 0 "(!7+ " #+5 ' , & |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( )' |
|
&!#-"! $" '(+! 5,#%3+,n |
|
|
-&' |
"'n#, ,&", |
! 4,, '+ 4'5)'&% 8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αij xj |
= γi |
|
|
|
xj , i = |
1, m |
|
|
|
|
|
|
6. $: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
/'5 " |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
67 %"- γi |
j=1 xj |
4' |
+ %"#(' i/+ 4'5)'&% ( ") ,(%( αij xj 4' |
|
+ %"#(' |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:( ,( " |
% '(,#% -&' ( |
P |
n |
|
|
|
|
|
||||||||
4' |
|
|
|
|
i/+ |
|
|
|
|
|
|
|
("%& |
|
|
|
|
|
|
|
" 3-!: /%3%)+ %5 |
|
|
: ( (+ % |
||||||||||||||||||
i |
/+ 4'5)'&% |
( |
|
|
3-% |
|
|
i = 1, m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 αij xj |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
+ |
%"#(' |
|
4'5)'&% (' |
|
|
|
|
|
|
|
(+ ,& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. $ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(αij − γi) xj = 0, i = |
1, m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/'"4' |
-4 |
$ |
')%3,*+! ) |
,(4+ |
! |
+4"+3'(,&, |
( #' ! |
+4"+3'(,& |
+ 7,#3,# +&/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
# b( 4'#'3 % 3,(& '# %5$ )3+"'#,( |
+(,%5'+ +&# 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
xj = b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
/$"#- R ! +4"+3'(,&& + '&' '# )3' $4#'( ) ,(4+ 7, ( %#'5 ! +4/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
"+3'(,&&& 3,"&' '(( cj ( j = |
1, n |
*%& &, " 3-%( % 5,#%3+, |
'" , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
)3+# |
- '# 3%7$ |
-#,#'( 5%#, |
|
|
|
$3"+ %"4'"' )3'*%"", #$ %# 3,(&, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R − |
X |
cj xj . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/'"4' -4 |
$ |
R ! +4"+3'(,&&'% +" ' ( #' 5,4"+5+7,*+! )3+# + 3,(&'/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"+ |
-&, 5+&+5+7,*++ 7,#3,# &, " 3-% 0(% %5 '#'7&, %&+! 8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aij = αij − γi, i = |
1, m, |
j = 1, n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
0 3%7 |
$ -#,#% 5,#%5,#+ %"4,! |
|
5' % - 7, , + |
$)3,( |
%&+! |
5%#, |
|
$3"+ %/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
"4+5n )3'*%""'5 )3+&+5,%#n |
(+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
X |
cj xj → min, |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
X |
xj = b; |
xj |
≥ 0, |
|
j = |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
aij xj = 0, |
i = |
1, m |
|
|
|
1, n. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
!! %4#+(&'"#- ('7 % |
(,&+! n 4$ -#$3 Aj ( j = |
1, n |
6( 3," %#% &, ' +& |
||||
"%4#,3 )'"%(&'+ ) ' |
, +: &,3,4#%3+7$%#"! )!#- )'4,7,#% |
!5+8 $3',,+/ |
|||||
&'"#- αj ( 7,#3,#,5+ 5%&,&+7+3'(,&&'"' a1j + 3$ &'"' #3$/ |
|||||||
, a2j |
( )3+5%&%&+%5 '3",&+ %"4+& a3j + &%'3",&+ %"4+& |
||||||
$ '#3%&++ a4j 6j = |
1, n |
: 5% #"! + 3$"+% )'4,7,#% |
+ ( 4'#'3 % &% |
||||
#$ %5 $ +# (,#- 7(%"#&' ( #' 4' + %"#(' ), &+ 3,(&' b0 |
( , 3%"$3" |
5%&,&+7+3'(,&&'"' + 3$ &'"' #3$ , "'"#,( ! # "''#(%#"#(%&&' b1 + b2 ( '3",&+ %"4+& + &%'3",&+ %"4+& $ '#3%&++ "''#(%#"#(%&/
&' b3 + b4 |
7(%"#&, #,4,% )3+# - pj |
'# 3%, |
+7,*++ ' &'"' *%&%3, |
|||||||
4$ -#$3 |
Aj ( j = |
1, n |
3%#$%#"! &,+#+ |
')#+5, |
-&'% "' %#,&+% )'"%('( |
|||||
("%& 4$ -#$3 ( '#%")% +(, %% 5,4"+5, -&$ )3+ |
# - '# 3%, +7,*++ )3'/ |
|||||||||
+7(% %&&'+ )3' $4*++ 6)3% )' |
,",%#"! ( #' ("! )3'+7(% %&&,! )3' $4*+! |
|||||||||
3%, +7$%#"!: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/'"#3'+5 5,#%5,#+ %"4$ 5' % - 7, , + .#'7&, +5 %3%7 xj 4' + %/ |
||||||||||
"#(' ), &+ 6 :( 7,&!#'% )' 4$ |
-#$3$ Aj ( j = |
1, n |
"&' ( #' |
|||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
; xj ≥ 0, j = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
xj = b0 |
1, n |
|
j=1
6("% )'"%(& % ) '
#$3, 5',%# +#' +5%%5 ' %(+ & %
, + ' , & ##- +")' -7'(,& ( )3+ ('7 % (,#-"! ( +#' &%#: ! '"#, &%3,(%&"#(,
n
X aij xj ≤ bi, i = 1, 4
j=1
#'5 4,, ,! 4$ -/
-&& )'4,7,#% %+
6.-:
63%"$3" &% 5'"$# ##- )3%( %& : /3+ $4,7,&&'+ $3',,+&'"#+ αj 4 |
$ |
-/ |
||||||||||
#$3 Aj |
+ (% + +&% pj |
)3+# |
+ '# 3%, +7,*++ ' &'"' *%&%3, #'+ 4 |
$ |
-/ |
|||||||
#$3 (% |
+ +&, cj = αj pj '7&, ,%# )3+# - '# ' &' "%4#,3, ), &+ ( %" + '&, |
|||||||||||
#$ %# +")' -7'(,&, )' 4$ -#$3$ Aj ( j = |
1, n |
'" , "$55,3&,! )3+# |
- |
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,(&, |
Pj=1 cj xj ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ %% " |
% $%# 5,4"+5+7+3'(,#- ,4+5 '#3,7'5 ( )' $ +5 |
||||||||||
5,#%5,#+ %"4$ 5' % |
- 7, , + ' )'"%(,& 8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
||||
X |
|
|
X |
|
X |
|
|
|
|
|
||
cj xj → max, |
xj = b0; |
aij xj ≤ bi, i = |
1, 4; xj ≥ 0, j = 1, n. |
|||||||||
j=1 |
|
|
j=1 |
|
j=1 |
|
|
|
75%&+5 )'"#,&'(4$ 7, , + /$"#- "% )3'+7(' ! %% )3' $4*+ ( +5%%# '#!7,#%4$ -#$3 ( 3,75%3% γ j ( j J1 J
(%"#&' )3'"&'7+3$%5'% 4' + %"#(' γj
-"4'&'7!+"#(%&&'% )3% )3+!#+%( -&+ "'"7,4,7 &, &%4'#'3 % (+/ = {1, 2, . . . , n} 63'5% #'"' ( +7/
Aj ( j J2 J ( 4'#'3'%
)3% )3+!#+% "5',%# 3%, |
|
+7'(,#- |
|
/' |
,",! γ j = 0( j J \ J1 γj = 0( |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j (J \ J2) \ J1 = J \ (J1 |
S |
J2) γj |
|
= γ j ( |
j J1 \ J2 ( |
(5%"#' &%3,(%&"#( |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xj |
≥ 0 ( |
j = |
1, n |
)3+ %5 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&%3,(%&"#(,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d j ≤ xj ≤ dj , j = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, n, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
" % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
d |
j |
= γ |
j |
/α ; d |
= γ |
/α , j = 1, n, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4'#'3'% " |
% $%# +7 &%3,(%&"#( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
≤ α x |
|
≤ γ |
, j = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
j |
1, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
67 %"- αj xj '# %5 )3'+7(% %&&'+ 4 |
$ |
|
-#$3 Aj )3+ $3',,+&'"#+ αj + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
) |
' , + xj |
7,&+5,%5'+ 4 |
$ |
-#$3'+ Aj |
), &+: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7! |
, %%( %" |
|
+ +"4 |
+#- |
|
#%73, |
#'#+*$ + |
#%")3+ +&& + |
|
)3'"#'+ |
"% -"4'&'/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+"#(%&&'+ |
#%& |
&+4+ ( #' |
&%% |
( $ |
%"#- )' |
|
&'% +73,"&' '(,&+% #3$ '(& 3%/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"$3"'( ( |
#' ( '"3,&+ %&+!& |
6. -: )%3( % (, &%3,(%&"#(, " % $%# 7,5%&+#- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
&, 3,(%&"#(, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
. &' |
+ |
+7 |
)3'# |
|
%5 |
, |
+('#&'(' "#(, !( |
!%#"! |
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
#, 7, , , '#&'"+#"! |
4 #+),5 7, , |
' +%#% |
( ' "5%"!& |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.&+ |
|
# + $,% 3,""5'#3%& |
|
( % . &,4' 7 %"- )'!( ! #"! &%4'#'3 % |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
'"'#%&&'"#+ |
( 4'#'3 % ( %4$# 7, "'#'+ |
')' |
|
&+#% -& % '"3,&+ %&+! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/$"#- &'7!+"#(' 3,")' |
|
,",%# n (+ ,5+ 4'35'(( 7,)," 4'#'3& &, ) ,/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
! # d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
&+3$%5+ )%3+' "'"#,( |
|
|
|
|
|
|
|
j = |
1, n |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
7(%"#& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j % +&+* 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
" % $ |
+% & |
,3,4#%3+"#+4+8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
a0j |
4' |
+ %"#(' 4'35'(& % +&+* ( % +&+*% 4'35, j/"' (+ , 6j = 1, n: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
aij |
4' |
|
+ %"#(' % +&+* i/"' )+#,#% |
|
-&'"' (% %"#(, |
6#% 4+ ( (+#,5+& ( |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4, |
-*++ + # : ( % +&+*% 4'35, j/"' (+ , 6i = |
1, m |
( j = |
1, n |
: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b0 5+&+5, |
-&,! )+#,#% |
-&,! &'35, &, "#, ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
bi 5+&+5, |
-&'% 4' + %"#(' i/"' )+#,#% -&'"' (% %"#(, &, "#, ' 6i = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1, m |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cj "%#%"#'+5'"#- % +&+* 4'35, j/"' (+ , 6j = |
1, n |
: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
#'# 3,7&''# |
3,7+#- 3,*+'& ( |
)3% "#,( |
|
!%#"! *% |
%"''#3,7& 5 +5%#- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4'35, j/"' (+ , &% 5%&%% d j |
% +&+* |
6j = 1, n: '" |
,"&' 7''#%&&+ %"4+5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
&'35,5 |
( "' |
& % + |
"3$ |
#% 4'35, ' |
|
|
, |
& ##- ( "''#(%#"#($ %+ )3')'3/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
*++ /3% )' ', +5 ( #' 4' |
+ %"#(' "' && 4'35'( ' |
|
|
, &' ##- ( α 3,7 |
#' - % "3$# &
/'"#3'+5 5,#%5,#+ %"4$ 5' % - 7, , + .#'7&, +5 %3%7 xj 4' + %/ "#(' 4'35'( j/"' (+ ,( &%'#&' +5'% ! 7,"'#'(4+ &, ) ,&+3$%5+ )%3+'
6j = |
1, n |
: /$"#- x1, x2, . . . , xn1 |
|
4' |
|
+ %"#(, "' && 4'35'(( xn1+1, . . . , xn |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4' + %"#(, "3$#& 4'35'( "&' ! +7 )'"#,&'(4+ 7, , + ( )' |
$ ,%5 5'/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
% |
- 8 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cj xj → min, |
|
|
|
aij xj |
≥ bi, |
|
|
i = |
0, m |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ dj , j = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
= α |
|
|
xj ; d j ≤ xj |
1, n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
j=n1+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/"' 4'35,( |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4'35'(( %% &$, &' 5+&+5+7+3'(,#- a0j xj P4' |
|
+ %"#(' 4'35'(& % +&+* ( |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
67 %"- cj xj |
"%#%"#'+5'"#- j |
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 cj xj |
"%#%"#'+5'"#- ("%& |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/'5 4'35%( |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b0 |
|
|
|
|
|
|
aij xj 4' + %"#(' |
|||||||||||||||||||
j |
|
5',%# #P |
j=1 a0j xj 4' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ %"#(' 4'35'(& % +&+* (' ("%& 4'35,& ( '&' |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
&% |
|
|
|
|
|
|
#- 5%&- % $4,7,&&'+ &'35 ( |
n |
|
% +&+* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i/"' )+#,#% |
-&'"' (% %"#(, ( j |
/'5 4'35% ( |
Pj=1 aij xj |
4' + %"#(' i/"' )+/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
#,#% |
-&'"' (% %"#(, (' ("%& 4'35,& ( #, (% |
+ +&, &% n5'1 ,%# ##- 5%&- % |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"' && 4'35'( ( '&' |
|
' , &' ##- ( |
|
3,7 |
#' - % |
P |
+ %"#(, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
$4,7,&&'"' |
5+&+5, -&'"' 4' |
|
+ %"#(, bi ( |
i = 1, m |
|
j=1 xj 4' + %"#(' |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4' |
|
|
|
|
|
|
Pj=n1+1 xj |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
"3$#& 4'35'(: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
% ' &'+ 7, , %+ , +('#&'(' "#(, !( |
|
!%#"! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( + |
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
# |
/ |
$"#- 7, ,& 3,*+'&, |
-& + |
,""'3#+5% |
, +('#&'(' %"4'+ |
)3' $4*++ |
( |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
% |
|
|
#3% |
#$%5'% "''#&' |
%&+% 5% |
, $ 3,7 + |
& |
5+ #+),5+ )3' $4*++ |
65!"' |
( |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5' |
|
'4' |
( %3"#- + # :( + +7(%"#& |
('75', &'"#+ 4'35'(' |
+ #,7 |
3% |
#$%#"! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
')3% % +#- "#3$4#$3$ '#3," %+ , |
+('#&'(' "#(, |
|
6# % +" |
%&&'"#- 4,, '"' |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(+ , "4'#,: +"&' ! +7 5,4"+5+7,*++ )3' $4*++ |
|
|
|
& (+ '( "4'#, $,% |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/ |
3% )' , |
",%#"! ( #' 4'&'5& + |
3,*+'& '#4'35, 3,7& |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
')3% % %& ( &,)3+5%3 ( ( "''#(%#"#(++ " 7, , %+ ' 3,*+'&%( 3,""5'#3%&&'+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
% |
|
|
" % $ |
+% (% + +& |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
7(%"#& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
aij &'35, )'#3%# %&+! 4'35, i/"' "'3#, ( 3," %#% &, ' &$ % +&+*$ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"4'#, j/"' (+ , 6j = |
1, n |
( i = |
1, m1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
bi |
7,)," 4'35, i/"' "'3#, 6i = |
1, m1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
αsj '# %5 )3' $4*++ , +('#&'(' "#(, s/"' #+), '# ' &'+ "' |
'( "4'#, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j/"' (+ , 6j = |
1, n |
( s = |
1, m2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
λ1 : λ2 : . . . : λm2 7, ,&& + ,""'3#+5% 3,7 |
|
+ && #+)'( )3' $4*++ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/'"#3'+5 5,#%5,#+ %"4$ 5' % - 7, , + .#'7&, +5 %3%7 xj 6j = |
1, n |
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4' |
+ %"#(' "' '( "4'#, j/"' (+ ,( xn+1 "$55,3&+ '# %5 ("%+ )3' $4*++ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, +('#&'(' "#(,( 4'#'3 + " |
|
% $%# 5,4"+5+7+3'(,#- '" , λsxn+1 4' +/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
%"#(' )3' $4*++ s/"' #+),( ) |
|
,&+3$%5'% 4 )3'+7(' "#($ 3 |
$"'+ |
"#'3'/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
& ( +"&' ! |
+7 ,&&& 7, , + ( %% 4' |
+ %"#(' |
3,(&' |
Pj=1 αsj xj ( |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# % +5%%5 |
'"3,&+ %&+! |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αsj xj = λsxn+1, s = |
1, m2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
."#, |
-& % '"3,&+ %&+! ' %(+ & 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
X |
aij xj ≤ bi, i = |
|
|
|
; xj ≥ 0, j = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, m1 |
1, n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6)'#3%# |
%&+% 4'35, 4,, ' |
"' "'3#, &% 5',%# )3%( |
"+#- +5% |
+ |
&"! 7,),/ |
|||||||||||||||||||||||||||||
"'( "4'# 4,, '"' (+ , 5' |
, &' 3,7(' +#- + + &%#: |
,4+5 ' |
#3,7'5 ( )' $/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
,%5 5,#%5,#+ %"4$ |
5' % - 7, , + ' 3,*+'&, -&'+ "#3$4#$3% , +('#&'/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(' "#(,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn+1 → max, |
|
aij xj ≤ bi, |
|
i = |
1, m1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
− λsxn+1 = 0, s = |
|
|
|
; xj ≥ 0, j = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
αsj xj |
1, m2 |
1, n. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 &%4'#'3& " $ |
,! |
& 5', &' $4,7,#- &%"4' -4' #%&&' '"+ %"4+& |
")'"'#'( |
|||||||||||||||||||||||||||||||
6#%&&' ' |
" |
+ %"4+ |
& |
|
)3'*%""'(:( 4'#'3 |
% )'/3,7&'5$ +")' -7$ |
# )3'+7(' / |
|||||||||||||||||||||||||||
"#(%&& % |
! ,4#'3 63%"$3" : |
! ( )$"4, ' &'3' &'+ )3' $4*++ /$"#- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
! +7"'#'( |
%&+! ' &'3' &'+ )3' $4*++ +")' |
|
-7$%#"! m ! ,4#'3'( )3'+7/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
(' "#(, |
%& |
&' |
'"+ %"4++ ")'"'# 5', &' )3% "#,(+#- 4,4 |
3%*%)# |
( $4,7 / |
|||||||||||||||||||||||||||||
(, |
++ |
)3')'3*++ ( |
( 4'#'3& |
3,7 + & % )3' $4# |
|
#3% |
#$ #"! |
)3+ ,&/ |
||||||||||||||||||||||||||
&'5 ")'"'#% )3'+7(' "#(, |
,4+5 '#3,7'5 ( )' |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+&'" , )'&+5,%#"! &,#'3 +7 m + 1 +" ,( 4'#'/ |
||||||||||||||||||||||||||||||
3 % ')3% % |
! # 7,#3,# m ! ,4#'3'( + ( )$"4 )3' $4*++ )3+ % +&+ &'+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
+%&"+(&'"#+ |
#' |
"' #%&&' |
'"+ %"4'"' ")'"'#, |
0 4, %"#(% |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, % ("%"' 3,""5,#3+(, |
|
# (3%5! 0 #'5 " $/ |
|||||||||||||||||||||||||||
,% 4,, + #%&&' |
'"+ %"4++ ")'"'# ')3% % !%#"! m +" |
,5+ ( &,3,4#%3+/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
$ |
+5+ 7,#3,# |
! |
,4#'3'( ( % +&+*$ (3%5%&+ ( + 4' |
|
+ %"#('5 )3' $4*++ ( |
||||||||||||||||||||||||||||
( |
)$"4,%5'+ 7, |
#'# |
,% )%3+' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
/3% )' |
', +5 ( #' )3% )3+!#+% +5%%# ('75', &'"#- +")' -7'(,#- n #%&/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
&' '"+ %"4+ |
& ")'"'# |
'( ! )3'+7(' "#(, ' &'3' &'+ |
|
)3' $4*++ ( |
)3+ #'5 |
|||||||||||||||||||||||||||||
7,#3, +(, #"! m ! ,4#'3'( .#'7&, +5 %3%7 aij 4' |
|
+ %"#(' i/"' ! ,4#'3,( |
||||||||||||||||||||||||||||||||
7,#3, +(,%5'"' )3+ |
3,#'#% )' |
j/5$ |
#%&&' '"+ %"4'5$ ")'"'#$ 7, % +&+/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
*$ (3%5%&+ |
6i = |
1, m |
( j = |
1, n |
:( qj |
6j = |
1, n |
: )3'+7(' +#% -&'"#- )3+ |
3,#'#% )' j/5$ #%&&' '"+ %"4'5$ ")'"'#$ 6'# %5 )3' $4*++ ( )3'+7(' +/ 5'+ )' j/5$ ")'"'#$ 7, % +&+*$ (3%5%&+: /$"#- bi '# %5 3%"$3"'( i/"'
)3'+7(' "#(%&&'"' ! ,4#'3,( 4'#'3 5 3,")' ,",%# )3% )3+!#+% 6i = 1, m:3%#$%#"! &,+#+ (3%5! ( ( #% %&+% 4'#'3'"' +")' -7$%#"! 4,, + #%&&' '/
"+ %"4++ ")'"'# ! )3'+7(' "#(, 5,4"+5, -&'"' 4' + %"#(, )3' $4*++
/3+ #'5 (3%5! 3,#'# )' j/5$ ")'"'#$ '"3,&+ %&' (% + +&'+ dj 6j = 1, n:
/'"#3'+5 5,#%5,#+ %"4$ 5' % - 7, , + .#'7&, +5 %3%7 xj 6j = 1, n: +%&"+(&'"#- j/"' #%&&' '"+ %"4'"' ")'"'#, 6(3%5! 3,#'# : '" , x =
(x1, x2, . . . , xn) (%4#'3 +%&"+(&'"#%+ ("%"' )3'+7(' "#(, 0(% %5 ( 3,"/
"5'#3%&+% 5,#3+*$ |
|
aij , j |
= |
|
|
, |
|
|
|
A = |
1, n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i = 1, m |
|
|
|
|||
4'#'3,! &,7 (,%#"! |
|
( + (%4#'3 |
z = Ax |
|
|||||
.#'7&, +5 %3%7 q = (q1, q2, . . . , qn) |
|
|
|||||||
'" , q 0x '# %5 |
( )$"4, |
)3' $4*++ )3% )3+!#+%5 "' " % $%# |
5,4/ |
"+5+7+3'(,#- 7 )'"#,&'(4+ 7, , + " % $%#( #' z ≤ b( 0 ≤ x ≤ d( " % b = (b1, b2, . . . , bm)( d = (d1, d2, . . . , dn) ,4+5 '#3,7'5 ( 5,#%5,#+ %"4,!
5' % - 3,""5,#3+(,%5' |
+ 7, , + )3+&+5,%# (+ |
q 0x |
→ max, Ax ≤ b, 0 ≤ x ≤ d. |
0 #'+ 7, , % )' +%&"+(&'"#- xj j/"' )3'*%"", 5', &' # ' # )'/ &+5,#- '# %5 ( )$"4, )3' $4*++ #+5 )3'*%""'5 '" , aij 7,#3,# i/"' ! ,4#'3, &, % +&+*$ )3' $4*++ ( ( )$"4,%5'"' j/5 ")'"'#'5 0 #'5 " $ ,%
qj = 1( j = 1, n
/3+(% %5 3$"$ |
+%3)3%#,*+ |
7, , + ')#+5, -&'"' +")' -7'(,&+! |
|||||||||||
#%& |
&' ' |
"++ ( 4'#'3,! 3,""5,#3+(,%# &% ' +& ( )$"4,%5 + |
)3' $4#( , &%/ |
||||||||||
"4' |
|
-4' |
0 4,, '5 #%&&' '"+ %"4'5 ")'"'#% ' &+ +7 #+& )3' $4#'( 5'"$# |
||||||||||
)3'+7(' +#-"! ( 3$"+% 7,#3, +(,#-"! /$"#- #,4+& )3' $4#'( #$ %# m( , |
|||||||||||||
#%&&' |
'"+ %"4+& ")'"'#'( n '" , )' j |
|
|||||||||||
|
|
)'&+5,%#"! &,#'3 aj = (a1j , a2j , . . . , amj ) +7 m +"% |
( )3+ %5 |
||||||||||
%" + aij > 0 ( #' i/+ |
#'(,3 ( #'5 )3'*%""% )3'+7(' +#"! ( %" + aij < 0 |
||||||||||||
)'#3%# |
|
!%#"! ,#3+*, A ( #'5 " |
$ ,% &,7 (,%#"! |
||||||||||
|
|
6+ + : j |
|
&,7 / |
|||||||||
|
|||||||||||||
(,%#"! #,4,! (% + +&, xj ( #' aij xj |
4' + %"#(' 7,#3, +(,%5'"' + + ( / |
||||||||||||
)$"4,%5'"' i/"' )3' $4#, j/5 #%&&' |
'"+ %"4+5 ")'"'#'5 ,4+5 '#3,7'5 ( |
||||||||||||
(% |
+ +&, aij '7&, ,%#( 4,4 + ( %( 4' |
+ %"#(' )3'+7(% %&&'"' + |
+ )'#3%#/ |
||||||||||
%&&'"' i/"' )3' $4#, )3+ % +&+ &'+ |
+%&"+(&'"#+ j/"' ")'"'#, |
||||||||||||
6,4 (+ &' +7 )'" |
% &+& ')3% % %&++ |
#%&&' '"+ %"4+& ")'"'#'( + +%&/ |
|||||||||||
"+(&'"#%+ ( ( &+& (% |
+ +& xj |
4'&43%#&' &% ')3% % %& + 5'"$# '7&, ,#- |
|||||||||||
3,7& |
% )'&!#+! ! 4,, '+ |
4'&43%#&'+ 7, , + #+ )'&!#+! $#' &! #"! |
|||||||||||
/3+ |
#'5 ("%" , +%&"+(&'"#- 4,, |
'" |
' #%& |
&' |
'"+ %"4'"' ")'"'#, !( !%#/ |
||||||||
|
|||||||||||||
"! &%'#3+*,#% -&'+ |
(% + +&'+ 8 xj ≥ |
0( j = 1, n |
|
|
|
7 #+& ,% ')3% % %&++ " |
% $%#( #' )3+ 7, ,&&& +%&"+(&'"#!& xj |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6j = |
1, n |
: #%&&' |
'"+ %"4+& ")'"'#'( '# ++ '# %5 )3'+7(% %&&'"' )3% )3+/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
!#+%5 i/"' )3' $4#, 3,(%& |
|
|
n |
|
aij xj " + #, (% |
+ +&, '#3+*,#% |
-&,( |
#' |
|||||||||||||||||||||||||||||
i/+ |
)3' $4# )'#3%# !%#"! ( ,P&% )3'+7(' +#"! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
/$"#- +5%%#"! ('75', &'"#- ( )$"4, m #'(,3'( + )3+ #'5 +")' |
-7$%#"! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 3,7&& #%&&' '"+ %"4+& |
")'"'#'( ( 4,4 )'#3%# |
! +& ( #,4 + 7,#3, +(,/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
+& #+ #'(,3 /3% )' |
', +5 ( #' ")3'" &, i/+ #'(,3 3,(%& bi ( , "#'+/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5'"#- 3,#'# )' )3'+7(' "#($ #'(,3'( j/5 #%&&' |
'"+ %"4+5 ")'"'#'5 )3+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
% +&+ &'+ +%&"+(&'"#+ |
3,(&, cj |
3%#$%#"! &,+#+ ) ,& |
|
)3'+7(' "#(,( |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
'#%")% +(, ++ $ '( %#('3%&+% ")3'", " 5+&+5, -& |
5+ 7,#3,#,5+ |
|
+ 7,/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
'&3,&!! '# |
'7&, %&+! )3% |
$ %"' )$&4#, ! +%&"+(&'"#% |
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
#3,#( |
((% %5 |
|
c |
= (c1, c2, . . . , cn) &, |
("% |
|
#%&&'/ |
||||||||||||||||||||||||||||||
' |
"+ %"4+% ")'"'# |
)3+ +& |
% +&+ &'+ |
+%&"+(&'"#+ + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
b = (b1, b2, . . . , bm) '" , )3+ ( #3,&&'5 (%4#'3% +%&"+(&'"#%+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x '# +% 7,#3,# "'"#,(!# (% |
|
|
+ +&$ c 0x( 4'#'3$ " % $%# 5+&+5+7+3'(,#-( |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
, )'"4' |
-4$ ")3'"( )' 43,+&%+ |
5%3%( " |
% $%# $ '( |
%#('3+#-( #' Ax ≥ b ,/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4+5 '#3,7'5 ( 5,#%5,#+ |
%"4,! 5' % |
- 3,""5,#3+(,%5'+ 7, , + +5%%# (+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
0x → min, |
Ax ≥ b, |
x ≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
/$"#- +5%%#"! ('75', &'"#- )3'+7(' "#(, n 3,7 |
+ && (+ '( + 5,3'4 *%/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5%, |
0%"- )3'*%"" "'"#'+# +7 #3% |
& |
'"&'(&& ')%3,*++ 8 .: +7"'#'( |
|
%&+% |
||||||||||||||||||||||||||||||||
)' $! ,#3+4,#, |
( &,7 (,%5'"' |
( |
|
( |
( " |
3-%('+ |
5% |
-&+*% |
6 ! #'" |
' #3%/ |
|||||||||||||||||||||||||||
#$%#"! " |
3-%8 +7(%"#-( " |
$ |
+&, |
(' ,: |
|
: '#, +" |
|
,5, (' (3, |
, %+"! *%/ |
||||||||||||||||||||||||||||
5%&'+ |
5% |
-&+*% + )' |
|
|
%&+% ( 3%7 |
$ |
-#,#% 3$"'"' )' $! , |
#3+4,#, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0: )'5' |
4 +&4%3, ( #3%#-%+ |
5% |
-&+*% " '#,( |
%&+%5 |
|
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
! |
)' |
$ %&+! *%5%, ')3% % |
%&&'+ |
5,34+ |
6,, ,! |
+7 5% |
|
-&+* |
||||||||||||||||||||||||||||
)3+ )3'+7(' "#(% *%5%, 3,"&' $%# |
|
%4#3' |
&%3"+ |
|
! |
+4"+3'(,& |
( |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
! $)3' |
%&+! 5' % |
|
+ " |
|
+#,%5 ( #' )%3( % (% ')%3,*++ |
||||||||||||||||||||||||||||||
# % ! |
+4"+3'(,& 7,#3,# |
" |
|
3-! + ( )$"4 )3' $4*++ )%3( |
& ($& |
|
5% |
-/ |
|||||||||||||||||||||||||||||
&+* |
$ %5 &,3,4#%3+7'(,#- +& ($5! ),3,5%#3,5+8 )3% % |
-& |
5 ' |
# %5'5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
r1 |
6 : ( )$"4, 4 +&4%3, + 7,#3,#,5+ |
p1 |
6 |
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3%#+ |
+ $ |
,"#'4 "'"#'+# +7 ' &'#+)& & |
5% |
-&+* ( 4'#'3 % 5'"$# ( )' / |
|||||||||||||||||||||||||||||||
&!#- n 3,7 |
+ & & ')%3,*++ |
|
6)' 4' |
+ %"#($ 5,3'4 *%5%,: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
/3+ #,4'5 $)3' %&&'5 ')+",&++ 7, , $ ) |
,&+3'(,&+! ( )$"4, *%5%, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,7 |
|
+ && 5,3'4 5', &' 3,""5,#3+(,#- 4,4 7, , $ ( #'3, +%&"+(&'"#%+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|