5.Высказывания. Операции над высказываниями.

под высказыванием понимается такое предложение, которое либо истинно, либо ложно. Высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным.

Операции

Отрицанием высказывания называется новое высказывание, обозначаемое(читается: "не" или "не верно, что"), которое истинно, если высказываниеложно, и ложно, если высказываниеистинно.

 Конъюнкцией двух.высказываний иназывается новое высказывание, обозначаемоеили(читается: "и"), которое истинно лишь в единственном случае, когда истинны оба исходных высказыванияи, и ложно во всех остальных случаях.

Дизъюнкцией двух высказываний иназывается новое высказывание, обозначаемое(читается "или"), которое истинно в тех случаях, когда хотя бы одно из высказыванийилиистинно, и ложно в единственном случае, когда оба высказыванияиложны.

Импликацией двух высказываний иназывается новое высказывание, обозначаемое(читается: "если, то", или "изследует", или "влечет", или "достаточно для", или "необходимо для"), которое ложно в единственном случае, когда высказываниеистинно, а— ложно, а во всех остальных случаях — истинно.

Эквивалентностью двух высказываний иназывается новое высказывание, обозначаемое(читается: "эквивалентно", или "необходимо и достаточно для", или "тогда и только тогда, когда", или ", если и только если"), которое истинно в том и только в том случае, когда одновременно оба высказыванияилибо истинны, либо ложны, а во всех остальных случаях — ложно.

6.Булевы функции. Теорема о числе булевых функций.

Функцией алгебры логики от переменныхназывается функция, принимающая значения 1, 0 и аргументы которой также принимают значения 1, 0. Обычно функции алгебры логики называют булевыми функциями.

Теорема 1. Число Булевых функций от переменных=;

В алгебре логики особое значение имеют следующие булевы функции, которые называют элементарными булевыми функциями:

– константа 0; – константа 1;– тождественная функция;

– отрицание х; – конъюнкция x и y;– дизъюнкция х и у;

– импликация х и у; – эквивалентность х и у;

– сложение х и у по mod2; – функция Шеффера;

– стрелка Пирса.

7.Формулы алгебры логики и их классификация, примеры

1) каждая «элементарная» булева функция – формула;

2) если некоторое выражение N есть формула, то тоже формула;

3) если некоторые выражения M и N есть формулы, то выражения ,,,тоже формулы;

4) других формул, кроме построенных по п.п.1), 2), 3), нет.

Формулы алгебры логики мы будет обозначать большими N, M, … Например, следующие выражения являются формулами алгебры логики:

,.

Две формулы N и M называются равносильными, если они определяют одну и ту же булеву функцию (запись N = M будет означать, что формулы N и M равносильны).

Классификация:

1)тафтология(если знач. Ф-лы истено при ɏ наборах переменных);

2)противоречие(если знач. Ф-лы ложно при ɏ наборах переменных);

3)выполнимая(если сущ. хоть 1 набор при котором знач. выполнимо);

) алгебры логики. Эти равносильности выражают свойства логических операций.

8.Законы равносильности.

Приведем перечень важнейших равносильностей (законов) алгебры логики. Эти равносильности выражают свойства логических операций.

– закон тождества;

– закон противоречия;

– закон исключительного третьего;

– закон двойного отрицания;

, – законы идемпотентности;

, – законы коммутативности;

, – законы дистрибутивности;

, – законы ассоциативности;

, – законы де Моргана;

,

,

, – законы поглощения;

, – законы склеивания.