2.3 Закон Био – Савара – Лапласа

dl



I r

A

d

Рисунок 2.2

Проводник с током I, элемент dl создаёт в некоторой точке А индукцию поля d.

(2.3.1),

где - вектор, по модулю равный длинеdl и совпадающей по направлению с током;

- радиус-вектор, проведённый из элемента dl в точку А поля. Направление перпендикулярнои, т.е. перпендикулярен плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Модуль вектора определяется

(2.3.2),

где  - угол между и.

Французские учёные Жан Батис Био и Феликс Савар В 1820г. экспериментально определили, а французский физик и математик Пьер Симон Лаплас проанализировал и получил закон Био – Савара – Лапласа.

Магнитное поле прямого тока (тока текущего по тонкому прямому проводнику) равно:

(2.3.3),

где R – расстояние от точки поля до оси проводника.

Магнитное поле в центре кругового проводника с током равно:

(2.3.4)

2.4 Сила Лоренца

Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле.

Сила, действующая на электрический заряд q, движущегося в магнитном поле со скоростью , называетсясилой Лоренца и выражается формулой

(2.4.1)

Направление силы Лоренца определяется с помощью правила левой руки: если ладонь расположить так, чтобы в неё входил вектор магнитной индукции , а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора скорости(еслиq0 направление I и совпадают, дляq0 – противоположны),то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд.

Рисунок 2.3

Модуль силы Лоренца равен

F=qVBsin (2.4.2),

где  - угол между и

Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с индукцией действует электрическое поле с напряжённостью, то результирующая сила, приложенная к заряду, равна векторной сумме сил электрического поля и сил Лоренца

формула Лоренца

(2.4.3),

здесь- скорость электрического заряда относительно магнитного поля.

Пусть два заряда (одноименные) движутся параллельно. V c$

;

т.е. магнитная сила слабее кулоновской силы на .

2.5 Закон Ампера

Французский ученый Андре Мари Ампер установил, что сила , с которой магнитное поле действует на элемент проводникаdl с током, находящегося в магнитном поле, прямо пропорционально силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длиной проводника на магнитную индукцию

(2.5.1) или в основной форме

dF=IBdlsin (2.5.2 ),

 - угол между и.

Можно вывести для двух токов:

в магнитном поле 

на действует сила

;

;

2.6 Дивергенция и ротор магнитного поля.

Т.к. в природе нет магнитного заряда, то вектор магнитной индукции не имеет начала и конца, тогдачерез замкнутую поверхность

следовательно,

,

тогда

(2.6.1)

(2.6.1) означает, что магнитное поле имеет вихревой характер, т.е. силовые линии магнитного поля являются замкнутыми.

Для поля переменного тока вычислим циркуляцию:

Пусть контур в плоскости перпендикулярен току (ток за чертёж)

Рисунок 2.4

Вектор магнитной индукции направлен по касательной к окружности

dl_B – произведение на

dl_B=rd (d опирается на )

Для прямого тока

следовательно,

,

т.к.

(2.6.2) - Закон полного тока

Циркуляция вектора индукции магнитного поля по произвольному замкнутому контуру не зависит от формы контура и определяется суммарным токомI, охватывающим контур.

Полный ток I равен алгебраической сумме токов, проходящих внутри контура.

При этом сила тока I_к , берётся со знаком «+», если направление обхода контура и направление тока связаны правилом правого винта, и со знаком «-»в противном случае.

Если контур не охватывает ток то

Закон полного тока можно записать в дифференциальной форме

по теореме Стокса

,

тогда

(2.6.3),

где - вектор плотности тока.

Из (2.6.1) и (2.6.2) отсюда следует, что вектор индукции магнитного поля циркулирует вокруг электрических полей.