§2, Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть прямые l₁иl₂заданы каноническими уравнениями

Обозначим ==(х₂-x₁,y₂-у₁,z₂-z₁), =(m₁,n₁,р),

(m₂,n₂,р₂), и рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения этих прямых.

1) если прямые совпадают, то все три вектора ,,коллинеарны (Риc.60,а).

2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора иколлинеарны, а векторим не коллинеарен (Рис.60,б).

3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов ,

77

,не коллинеарны, и все три вектора компланарны (Рис.60,в) 4) ecли прямые скрещиваются, то векторы,,некомпланарны.

Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых l₁ иl₂ равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и.

Следовательно,

(4.8)

необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.

M₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=0 (4.9)

- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Если прямые l₁иl₂пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо (^,) либо (-^,). Следовательно,

(4.10)

ПРИМЕР 4.2. При каком значении λ пересекаются прямые

РЕШЕНИЕ. Обозначим M₁(-2,0,1),М₂{3,1,7). Тогда условием пересечения прямых является компланарность векторов =(2,3,4),=(0,4,2) и=(5,1,6). То есть

, откуда λ=3.

78

§3. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Пусть требуется найти расстояние от точкиM₁(x₁,у₁,z₁) до;

данной прямой ,

проходящей через точку M₀(х₀,у₀,z₀) направляющим вектором= (m, n, p)

(рис.61)следует, что.

Так как , то окончат

телыю получим

(4.11)

ПРИМЕР 4,3. Найти расстояние между параллельными прямыми

РЕШЕНИЕ. Очевидно, что искомое расстояние равно расстоянию от произвольной точки, лежащей на первой прямой, до второй прямой. Тогда, согласно (4.11), возьмем M₀(-7,5,9),M ₁(-12,

0,-34) и=(3,-1,4). Следовательно,(-5,-5,43), ||==. Нетрудно подсчитать, что, т.е. искомое расстояние

79

§4. Уравнение плоскости, проходящей через две заданные пряные

Пусть плоскость α проходят через прямые l₁иl₂, заданные соответственно уравнениями

, (4.12)

Обозначим М₂(x₂,y₂,z₂), =(m₁,n₁,р₁),=(m₂,n₂,p₂)

(Рис. 82). Возьмем произвольную точку М(х,у,z), принадлежащую плоскости α.

Тогда векторы икомпла-

арны, следовательно их смешанное произведение равно нулю. Итак

(,,) = 0 (*)

и соотношению (*) удовлетворяют те и только те точки пространства, которые принадлежат α. Равенство (*) в коорди

натной форме примет вид

(4.13)

уравнение плоскости, проходящей через две прямые.

80

§5. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые l₁и l₂, заданные уравнениями вида (4.12),

являются скрещивающимися. Тогда расстоянием d между ниш называется АЛИН перпендикуляра, проведенного из одно прямой на другую. Заметим, что искомое расстояние равно отрезку перпендикуляра, закаченного между плоскостями α₁и α₂, где плоскости α₁и α₂одновременно параллельны векторами, и проходят соответственно через прямыеl₁иl₂(Рис.63). Согласно (4.13) уравнение плоскости и имеет вид

Найдем теперь и как расстояние от точки M₁(х₁,у₁,z₁) до

плоскости α₂. По формуле (3.8)

(4.14)

Заметим, что (4.14) можно записать в равносильной форме так;

(4.15)

81

ПРИМЕР 4.4. Найти расстояние между прямыми

РЕШЕНИЕ. Обозначим =(-28,1,-5),=(3,4,-2),= (6,-4,-1) Тогда

следовательно, прямые l₁иl₂являются скрещивающимися. Нетрудно подсчитать, что

Значит, d = 507/39=13.