§3. Параметрическое и каноническое уравнения прямой

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

П усть в афтой системе координат (0, X, Y) задана прямая l, ее

направлящий вектор =(m,n) u точка M₀(x₀,y₀) принадлежащая l (Рис. 41). Тогда для произвольной точки M(x,у) этой прямой имеем

и так как то

. (2.13)

Рис.41

где t-какое-либо число, называемое параметром. Очевидно. что для любой точки прямой выполняется равенство (2.13). Обратно, если t-произвольное число и выполняется равенство (2.13). то

точка M лежит на прямой l. Если обозначить и

• радиус-векторы соответственно точек M и M₀, то равенство (2.13) примет вид

(2.14)

• уравнение прямой в векторной форме.

51

Так как =(х,у), =(х₀,у₀), то уравнение (2.14) равносильно следующей систем равенств:

x=x₀+mt,

(2.15)

y=y₀+nt

- параметрическое уравнение прямой.

Равенство (2.15) можно записать в следующем виде;

(2.16)

- каноническое уравнение прямой. Заметим, что равенство (2.16) является отношением пропорциональности, поэтому одно из значений m или n может быть нулевые.

Наконец, если на прямой l заданы две точки M₁(х₁,у₁) и

M₂(x₂,у₂), то вектор =(х₂-х₁,y₂-у₁) является направленным вектором прямой l и уравнение (2.16) принимает вид:

(2.17)

- уравнение прямой проходящей через две заданные точки.

§4. Взаимное расположение двух прямых.

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы своими общими уравнениями

А₁х+В₁у+С₁=0, (l₁)

(2.18)

А₂х+В₂у+С₂=0, (l₂)

Исследуем все возможные случаи их взаимного расположения в зависимости от значений коэффициентов А_i,B_i и C_i, i= 1, 2.

ЛЕММА 2.1. Угловые коэффициенты прямых l₁ и l₂ либо равны, либо не существуют тогда и только тогда, когда

А₂=λA₂, В₁=λB₂ (2.19)

52

для некоторого действительного числа 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть угловые коэффициенты

L₁ и l₂ равны. Тогда -A₁/B₁=-A₂/B₂. Если А не равно 0, то

A₁/A₂=B₁/B₂=λ и, значит, имеют место равенства (2.19). Если же A₂=О, то и А₁=0. В этом случае λ=B₁/B₂, т.е. равенства (2.19)

выполняются. Пусть теперь угловые коэффициенты прямых не существуют. Тогда В₁=В₂=0. Следовательно, λ=A₁/A₂ и равенства 9)

(2.19) выполняются. Заметим, что случай, когда A₂=0, невозжен так как B₂=0. Итак, необходимость доказана.

Достаточность. Пусть имеют место равенства (2.19).

Если Следовательно,

Это и означает, что угловые коэффициенты прямых l₁ и l₂ равны. Если же В₁=0, то и В₂=0, т.е. угловые коэффициенты прямых не существуют. Лемма доказана.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть пряже l₁ и l₂ заданы уравнениями (2.18). Тогда и только тогда:

1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что

A₁=λA₂, В₁=λB₂;

2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что

А₁=λA₂, B₁=λB₂, С₁=λС₂;

3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что

А₁=λA₂, В₁=λВ₂, С₁ λС₂.

Доказательство. Необходимость. 1) если прямые пересекаются

53

то, очевидно, их угловые коэффициенты не равны, либо один из них существует. Значит, по лемме 2.1 не существует такого числа λ,

что А₁=λА₂,а В₁=λB₂.

2) пусть прямые l₁ и l₂ совпадают, следовательно, по лемме 2.1 А₁=λA₂, B₁=λB₂ для некоторого числа λ. Тогда для любой

общей точки М₀(х₀,у₀) этих прямых из (2.19) следует, что

λA₂x₀+λB₂y₀+C₁=0,

λA₂x₀+λB₂y₀+C₂=0.

Вычтем из первого равенства второе. Получим

С₁-λС₂=О т.е. С₁=λС₂.

Достаточность. 1) пусть не существует такого числа λ, что

А₁=λA₂ и В₁=λВ₂. Тогда, в силу леммы 2.1, угловые коэффициенты прямых не равны, либо один из них существует, и, значит, прямые пересекаются.

2) уравнение прямой l₂ можно записать в виде

λA₂x+λB₂y+λC₂=0, т.е. A₂x+B₂y+C₂=0.

Это и означает, что прямые l₁ и l₂ совпадают.

Докажем необходимое и достаточное условие п. 3) теоремы. Если прямые l₁ и l₂ различны и параллельны, то по лемме 2.1

А₁=λA₂ и В₁=λB₂.

Если С₁=λС₂, то из п. 2) следует, что прямые совпадают. Противоречие, которое показывает, С₁ λC₂.

Пусть теперь А₁=λA₂, В₁=λB₂ и C₁ λС₂. Тогда из леммы 2.1 следует, что прямые параллельны. Если они совпадают, то, в силу п. 2), С₁=λC₂. Противоречие с условием. Итак, прямые параллельны и не совладеют. Теорема доказана.

54