Лекция тема: дифференциальные уравнения.

Опр. Дифференциальным называется уравнение содержащее независимые переменные, функцию этих переменных и ее производные.

Опр. Если диф уравнение относительно функции одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным диф. уравнением.

Опр. Если функция зависит от одной, двух и более переменных, то его называют уравнением частных производных.

Опр. Порядком диф. уравнения называют порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Примеры:

–обыкновенное диф.уравнение 1-го порядка.

–обыкновенное диф. уравнение 2-го порядка.

, где z=f(x,y) – уравнение 2-го порядка в частных производных.

Диф. уравнение можно записывать в производных и дифференциалах:

заменив

Пример: -диф уравнение в дифференциалах.

Опр. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в верное тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой диф. ур.

Пример:

Проверим является ли функция решением диф уравнения

тоже решение ()

тоже решение диф уравнения (проверить самостоятельно дома)

Для диф уравнения второго порядка , легко заметить решением является.

Таким образом для диф уравнения существует бесконечное множество решений.

Опр. Общим решением диф.ур. называется функция вида

Т.е. для диф.ур. 1-го порядка

для диф.ур. 2-го порядка

для диф.ур. n-го порядка

Если вместо постоянных подставить конкретные значения, то полученная функция будет называться частным решением.

Опр. Решить диф. ур. значит найти его общее решение.

Очень часто решение диф.ур. получается в неявном виде. Т.е. неявно заданное решение диф.ур. – называется интегралом уравнения.

Некоторые типы диф.ур. первого порядка

1. Диф.Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

Опр. Уравнения вида , называются уравнениями сразделенными переменными.

Решение таких уравнений находится непосредственным интегрированием.

Пример:

На первый взгляд кажется что решение у=х, но это только частное решение

Опр. Уравнения вида , называются уравнениями сразделяющимися переменными.

Сводится к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих частей уравнения на

Пример:

2. Однородные уравнения.

Функция называется однородной степениm, если имеет место тождество:

Уравнение называется однородным дифференциальным уравнением, если функцииоднородные функции одной оной и той же степени.

Решаются путем подстановки

Пример:

Функция однородная второй степени

Функция однородная второй степени

Следовательно, это однородное дифференциальное уравнение.

Применим подстановку,

3. Линейные дифференциальные уравнения.

Опр. Диф.ур. называется линейным первого порядка, если его можно представить в виде.

, Р(х) и Q(x)–функции от х и могут быть постоянными.

Решаются такие уравнения с помощью подстановки у= UVвместо функции у, которую нужно найти.

1. Подставим вместо у и у’ у= UV,

2. Сгруппируем 1-е или 2-е слагаемое с третьим

3. введем условие, что выражение в скобках было равно нулю – ЛОДУ 1-го порядка которое мы решали выше и его решением будет

4. Вернемся к брошенному уравнению (в пункте 2). Подставим в уравнение:

решим полученное диф.уравнение:

/dx

получим

5. – решение уравнения в общем виде.

Пример: Решить уравнение вида

Это уравнение линейное, т.к. у и у’ входят в него в первой степени и нет члена с произведением уу’

Положим у=UV, тогда наше уравнение примет вид:

сгруппируем второе и третье слагаемое

Приравняем выражение стоящее в скобках к нулю получим ЛОДУ 1-го порядка.

, проинтегрируем обе части

положим с=0

потенцируем обе части

От первоначального уравнения осталось

запишем решение уравнения у=UV=