§2. Оценка погрешностей результатов действий над приближенными значениями чисел.
(Строгий учет погрешности)
Пусть
,
где
– число с заданными своими приближениями
с точностью до
:
.
Обозначим через
.
,
где
- граница погрешности суммы приближенного
значения
.
Утверждение 1. Сумма границ погрешностей приближенных слагаемых является границей погрешности их алгебраической суммы.
Доказательство:
.
ЧТД.
Утверждение 2. Среди границ относительной погрешности суммы приближенных слагаемых существует такая, которая не превосходит наибольшей из границ относительной погрешности слагаемых:
.
Утверждение 3. Сумма границ относительных погрешностей сомножителей является границей относительной погрешности их произведения:
.
Следствие 1.
При умножении приближенных значений
числа на точный множитель к, граница
относительной погрешности не меняется,
а граница абсолютной погрешности
увеличивается в
раз.
Следствие 2.
Произведение границы относительной
погрешности приближенного значения а
числа х на
является границей относительной
погрешности результата возведения
числа а в целую положительную степень
n:
.
Следствие 3. Частное границы относительной погрешности приближенного значения а числа х и n является границей относительной погрешности корня n-й степени из а:
.
Следствие 4. Сумма границ относительных погрешностей приближенных значений делимого и делителя является границей относительной погрешности частного.