7.2. Методы исследования операций в управлении инновационными проектами

Рассмотрим особенности применения теории исследования операций на примере трех известных методик прогнозирования изменений неких переменных как функций времени:

• прогнозирование с использованием скользящего среднего;

• прогнозирование путем экспоненциального сглаживания;

• регрессионное прогнозирование.

Используем следующие основные обозначения:

y_t - действительное (или наблюдаемое) значение случайной величиныyв момент времениt,

y^*_t- расчетное значение (оценка) случайной величины y в момент времениt,

_t- случайный компонент (или шум) в момент времениt.

Прогнозирование с использованием скользящего среднего. При использовании этой методики основное предположение состоит в том, что временной ряд является устойчивым в том смысле,что его члены являются реализациями следующего случайного процесса:

y_t = b + _t,

где b -неизвестный постоянный параметр, который оценивается на основе представленной информации. Предполагается, что случайная ошибка_tимеет нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию. Кроме того, предполагается, что данные для различных периодов времени не коррелированны.

Предполагает, что последние nнаблюдений являются равнозначно важными для оценки параметраb.Другими словами, если в текущий момент времениtпоследниеn наблюдений естьy_t-n+1, y_t-n+2 , ... , y_t,тогда оцениваемое значение для моментаt+1вычисляется по формуле:

y^*_t+1 = (y_t-n+1 + y_t-n+2 + ... + y_t) / n.

Не существует четкого правила для выбора числа n- базы метода, использующего скользящее среднее. Если есть весомые основания полагать, что наблюдения в течение достаточно длительного времени удовлетворяют моделиy_t = b + _t, то рекомендуется выбирать большие значенияn.Если же наблюдаемые значения удовлетворяют приведенной модели в течение коротких периодов времени, то может быть приемлемым и малое значениеn. На практике величинаn обычно принимается в пределах от 2 до 10.

Пример 1.

В таблице представлены объемы спроса на некое изделие за прошедшие 24 месяца. Необходимо с помощью метода скользящего среднего дать прогноз объема спроса на следующий месяц (здесь t = 25).

Месяц t	Спрос yt	Месяц t	Спрос yt
1	46	13	54
2	56	14	42
3	54	15	64
4	43	16	60
5	57	17	70
6	56	18	66
7	67	19	57
8	62	20	55
9	50	21	52
10	56	22	62
11	47	23	70
12	56	24	72

Чтобы проверить применимость метода скользящего среднего, проанализируем приведенные данные. На рис. 20 нанесены значения временного ряда y_t.График показывает, что наблюдается тенденция к возрастанию значенийy_tс течением времени. Это, вообще-то, означает, что скользящее среднее не будет хорошим предсказателем для будущего спроса. В частности использование большой базы n для скользящего среднего неприемлемо в этом случае, т.к. это приведет к подавлению наблюдаемой тенденции в изменении данных. Следовательно, если мы используем небольшое значение для базыn,то будем находиться в лучшем положении с точки зрения отображения упомянутой тенденции в изменении данных.

Если мы используем значение n = 3 в качестве базы скользящего среднего, то оценка спроса на следующий месяц (t = 25) будет равна средней величине спроса за 22, 23 и 24 месяцы:

y^*₂₅ = (62+70+72)/3 = 68 единиц.

Оценка величины спроса в 68 единиц для 25 месяца будет использоваться также при прогнозе спроса для t = 26:

Рис.20

y^*₂₆ = (70+72+68)/3 = 70 единиц.

Когда значение реального спроса в 25 месяце будет известно, его следует использовать для вычисления новой оценки спроса для 26 месяца в виде средней величины спроса 23, 24 и 25 месяцев.

Метод экспоненциального сглаживанияпредполагает, что вероятностный процесс определяется модельюy_t = b + _t; это предположение использовалось и при рассмотрении метода скользящего среднего. Метод экспоненциального сглаживания разработан для того, чтобы устранить недостаток метода скользящего среднего, который состоит в том, что все данные, используемые при вычислении среднего, имеют одинаковый вес. В частности, метод экспоненциального сглаживания приписывает больший весовой коэффициент самому последнему наблюдению.

Определим величину  (0 <  < 1) как константу сглаживания, и пусть известны значения временного ряда для прошедшихtмоментов времениy₁, y₂, ... , y_t. Тогда оценкаy^*_t+1для момента времениt+1вычисляется по формуле:

y^*_t+1 = y_t + (1 - )y_t-1 + (1 - )²y_t-2 + ... .

Коэффициенты при y_t, y_t-1, y_t-2, ... постепенно уменьшаются, тем самым эта процедура приписывает больший вес последним (по времени) данным.

Формулу для вычисления y^*_t+1можно привести к следующему (более простому) виду:

y^*_t+1 = y_t + (1 - ){y_t-1 + (1 - )y_t-2 + (1 - )²y_t-3 + ... } = y_t + (1 - )y^*_t.

Т.о., значение y^*_t+1можно вычислить рекуррентно на основании значенияy^*_t.Вычисления в соответствии с этим рекуррентным уравнением начинаются с того, что пропускается оценкаy^*_tдляt= 1 и в качестве оценки дляt= 2 принимается наблюденная величина дляt= 1, т.е.y^*₂ = y₁. В действительности же для начала можно использовать любую разумную процедуру. Например, часто в качестве оценкиy^*₀берется усредненное значениеy_iпо “приемлемому” числу периодов в начале временного ряда.

Выбор константы сглаживания является решающим моментом при вычислении значения прогнозируемой величины. Большее значениеприписывает больший вес последним наблюдениям. На практике значениеберут в пределах от 0.01 до 0.30.

Пример 2.

Применим метод экспоненциального сглаживания к данным из прим. 1 при  = 0.1.

В таблице содержатся результаты вычислений. При вычислениях пропускается y^*₁и принимается, чтоy^*₂ = y₁ = 46единиц.

i	yi	y*i	i	yi	y*i
1	46	-	13	54	0.156+0.951.63 = 52.07
2	56	46	14	42	0.154+0.952.07 = 52.26
3	54	0.156+0.946 = 47	15	64	0.142+0.952.26 = 51.23
4	43	0.154+0.947 = 47.7	16	60	0.164+0.951.23 = 52.50
5	57	0.143+0.947.7 = 47.23	17	70	0.160+0.952.50 = 53.26
6	56	0.157+0.947.23 = 48.21	18	66	0.170+0.953.26 = 54.93
7	67	0.156+0.948.21 = 48.98	19	57	0.166+0.954.93 = 56.04
8	62	0.167+0.948.98 = 50.79	20	55	0.157+0.956.04 = 56.14
9	50	0.162+0.950.79 = 51.91	21	52	0.155+0.956.14 = 56.02
10	56	0.150+0.951.91 = 51.72	22	62	0.152+0.956.02 = 55.62
11	47	0.156+0.951.72 = 52.15	23	70	0.162+0.955.62 = 56.26
12	56	0.147+0.952.15 = 51.63	24	72	0.170+0.956.62 = 57.63

Из приведенных данных следует, что оценка для t = 25 равна

y^*₂₅ = y₂₄ + (1 - )y^*₂₄= 0.172 + 0.957.63 = 59.07 единиц.

Эта оценка значительно отличается от полученной с помощью метода скользящего среднего (68 единиц). Большее значение для даст оценку, более близкую к оценке метода скользящего среднего.

Регрессионный анализопределяет связь между зависимой переменной (например, спросом на продукцию) и независимой переменной (например, временем). Часто применяемая формула регрессии, описывающая зависимость между переменнойy и независимой переменнойx,имеет вид:

Y = b₀ + b₁x + b₂x² + ... + b_nxⁿ + ,

где b₀, b₁, ... , b_n- неизвестные параметры. Случайная ошибкаимеет нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию (т.е. дисперсия случайной величиныодинакова для всех наблюдаемых значенийу).

Самая простая регрессионная модель предполагает, что зависимая переменная линейна относительно независимой переменной, т.е.

y^* = a + bx

Константы aиbопределяются из временного ряда с использованием метода наименьших квадратов, в соответствии с которым находятся значения этих констант, доставляющих минимум сумме квадратов разностей между наблюденными и вычисленными величинами. Пусть(y_i, x_i)представляет i-ю точку исходных данных временного ряда,i= 1,2,...,n. Определим сумму квадратов отклонений между наблюденными и вычисленными величинами.

_n

S =  (y_i – a - bx_i)²

ⁱ⁼¹

Значения коэффициентов aиbопределяются из соответствующих условий минимума функцииS, которые представимы в виде следующих уравнений.

_n

S/a = -2  (y_i – a - bx_i) = 0

ⁱ⁼¹

_n

S/b = -2  (y_i – a - bx_i)x_i = 0

ⁱ⁼¹

После алгебраических преобразований получим следующее решение данных уравнений

_n __ _n _ _ _

b = ( y_ix_i – nyx) / ( x²_i - nx²) ; a = y - bx,

^{i=1 i=1}

где

_ _n _ _n

x =  x_i / n, y =  y_i / n.

^{i=1 i=1}

Приведенные соотношения показывают, что сначала необходимо вычислить b, а затем величину коэффициентаa.

Вычисленные значения aиbимеют силу при любом вероятностном распределении случайных величинy_i.Однако еслиy_iявляется нормально распределенной случайной величиной с постоянным стандартным отклонением, можно установить доверительный интервал для среднего значения оценки приx = x⁰ (т.е. дляy⁰ = a + bx) в виде интервала

_________________________

__ / _ _

(a + b⁰)  ta / 2, n-2   n_i = 1(y_i - y^*_i)² / (n-2)  1/n + (x⁰ - x)² / (n_i = 1x_i² - nx²)

Выражение (y_i - y^*_i)представляет собой отклонениеi-го наблюдения зависимой переменной от его соответствующей оценки.

Мы заинтересованы в установлении для прогнозируемых значений зависимой переменной y соответствующих им интервалов предсказания (скорее чем доверительного интервала для среднего значения оценки). Как и следовало ожидать, интервал предсказания для значения прогнозируемой величины является более широким, чем доверительный интервал для среднего значения оценки. Действительно, формула для интервала предсказания такая же как и для доверительного интервала, но с той лишь разницей, что член1/nпод вторым квадратным корнем заменен на(n+1)/n.

Чтобы проверить, насколько линейная модель y* = a + bxсоответствует исходным данным, необходимо вычислить коэффициент корреляцииrпо формуле:

____________________

_n __ / _n _ _n _

r = (y_ix_i - nyx) /  ( x_i² - nx²)(y_i² - ny²)

^{i=1 i=1 i=1}

где -1  r  1.

Если r =  1, тогда линейная модель идеально подходит для описания зависимости междуyиx. В общем случае, чем ближе| r |к 1, тем лучше подходит линейная модель. Если жеr = 0, величиныyиxмогут быть независимыми. В действительности равенствоr = 0 является лишь необходимым, но не достаточным условием независимости, т.к. возможен случай, когда для двух зависимых величин коэффициент корреляции будет равен 0.

Пример 3.

Применим модель линейной регрессии к данным из примера 1, которые для удобства приведены в таблице

Месяц, xi	Спрос yi	Месяц xi	Спрос yi
1	46	13	54
2	56	14	42
3	54	15	64
4	43	16	60
5	57	17	70
6	56	18	66
7	67	19	57
8	62	20	55
9	50	21	52
10	56	22	62
11	47	23	70
12	56	24	72

Из данных этой таблицы получаем следующее

_{24 24 24 24 24}

 y_ix_i = 17842,  x_i = 300,  x²_i = 4900,  y_i = 1374,  y²_i = 80254.

^{i=1 i=1 i=1 i=1 i=1}

Следовательно,

x = 12.5, y = 57.25,

b = (17842 - 2457.2512.5)/(4900 - 24(12.5)2),

a = 57.25 - 0.5812.5 = 50.

Таким образом, оценка спроса представляется формулой

y* = 50 + 0.58x.

Например, при x = 25 получаем y* = 50+0.5825 = 64.5 единицы.

Вычисляем коэффициент корреляции:

_________________________________

r = (17842 - 2457.2512.5) /(4900 - 24(12.5)²)(80.254 - 24(57.25)²) = 0.493

Относительно малое значение коэффициента корреляции r указывает на то, что линейная модельy*= 50 + 0.58x является не совсем подходящей для исходных данных. Считается, как правило, что линейная модель подходит для исходных данных, если 0.75| r |  1.

Предположим, что необходимо вычислить 95% доверительный интервал для полученной линейной оценки. Для этого надо сначала вычислить сумму квадратов отклонений от аппроксимирующей прямой. В таблице приведены результаты этих вычислений.

		*	( - *)
1	46	50.58	20.98
2	56	51.16	23.43
3	54	51.74	5.11
4	43	54.32	86.86
5	57	52.90	16.81
6	56	53.48	6.35
7	67	54.06	152.77
8	62	54.64	54.17
9	50	55.22	27.25
10	56	55.80	0.04
11	47	56.38	87.98
12	56	56.96	0.92
13	54	57.54	12.53
14	42	58.12	259.85
15	64	58.70	28.09
16	60	59.28	0.52
17	70	59.86	102.82
18	66	60.44	30.91
19	57	61.02	16.16
20	55	61.60	43.56
21	52	62.18	103.63
22	62	62.76	0.58
23	70	63.34	44.53
24	72	63.92	65.29
24  (yi - y*i)2 = 1088.70 i=1

Табличное значение критерия Стьюдента t_0.025,22= 2.074. Следовательно, искомый доверительный интервал имеет вид:

__________ _________________________________

(50 + 0.58x⁰)2.0741088.7/(24-2)1/24 + [(x⁰- 12.5)²/ (4900 - 24(12.5)²)].

Это выражение можно упростить, в результате получим следующее:

______________________

(50 + 0.58x⁰)14.590.042 + [(x⁰- 12.5)²/ 1150.

Чтобы продемонстрировать применение этой формулы, вычислим интервал предсказания для оценки спроса на следующий месяц (x⁰ = 25). В этом случае коэффициент 0.042 должен быть заменен на (1.042)², и соответствующий интервал предсказания определяется как (64.515.82) или (46.68, 80.32). Следовательно, можно сказать, что с вероятностью 95% спрос для x = 25 будет находиться между 46.68 и 80.32 единицами.

Выше рассмотрены три метода прогнозирования хода инновационного проекта, основанных на теории исследования операций. Применимость каждого из них связана с характеристиками временного ряда, представляющего исходные данные. Ознакомиться с другими методиками прогнозирования можно, например, по […].