10.5. МОДЕЛЬ ДОХОДНОСТИ АКЦИИ

Если доходность акции подчиняется нормальному распределению, то, согласно его свойству, она может принимать любые значения, как положительные, так и отрицательные. Однако, максимальные убытки инве- стора, купившего акцию, ограничиваются только 100% потерей его капитала, если курс бумаги упадет до нуля. Таким образом, максимальное отрицательное значение, которое может принимать доходность, равна минус 100%. Поэтому возникает первое расхождение между условием модели и реальностью.

Остановимся на другом несоответствии. Допустим, доходность акции за 1, 2, 3 и 4 кварталы составила со- ответственно 5%, 10%, 8% и 7%. Доходности за эти периоды времени распределены нормально. Согласно свойству нормального распределения, в результате сложения нормально распределенных величин также должна получиться нормально распределенная вели- чина. Таким образом, сумма доходностей за четыре квартала, то есть доходность за год, равна 30% и рас- пределена нормально. На самом же деле доходность за год составит другую величину, а именно:

1 0,05 1 0,1 1 0,08 1 0,07 1 0,3347 или

33,47%

Поэтому полученную в результате сложения цифру 30% сложно определить с экономической точки зре- ния.

Если в качестве доходности за каждый отдельный период взять не простую, а непрерывно начисляемую доходность, то их сумма будет равна непрерывно на- числяемой доходности за суммарный отрезок времени.

Непрерывно начисляемая доходность определяется как логарифм темпа роста доходности, то есть

367

ln 1 rn , где rn – процент, начисленный за n перио- дов. Она равна:

ln 1 rn ln Stn ,

St0

где: St0 – цена акции в начальный момент времени;

Stn – цена акции в конце n гопериода (предпола-

гается, что по акции не выплачиваются дивиденды, то есть доходность является только результатом измене- ния ее цены).

Тогда можно записать:

акции соответственно в конце 1,2,..., n периодов.

Отсюда согласно правилу сложения логарифмов, получаем:

сти на основе непрерывно начисляемого процента для

1,2,..., n периодов.

Таким образом, сумма непрерывно начисляемых процентов для каждого интервала времени дает значе- ние непрерывно начисляемой доходности за суммар- ный период. Отсюда следует: модель точнее отражает реальную действительность, если предположить, что нормально распределена не простая доходность акции за некоторый период, а ее непрерывно начисляемая доходность. Соответственно, согласно свойству нор- мального распределения, непрерывно начисляемые до- ходности за отдельные интервалы времени являются

368

одинаково распределенными и независимыми величи- нами.

Если логарифм случайной величины распределен нормально, то сама случайная величина имеет логнор-

пределена логнормально.

Логнормальное распределение характеризуется тем, что оно всегда положительно. Это означает: случайная величина, распределенная логнормально, может при- нимать только положительные значения

Распределение вероятности случайной величины характеризует такое понятие, как асимметрия. Нор- мальное распределение симметрично относительно среднего значения случайной величины, поэтому его асимметрия равна нулю. Асимметрия положительна, если длинная часть кривой распределения расположена справа от его среднего значения, и отрицательна, если слева. Логнормальное распределение имеет правосто- роннюю асимметрию.

Еще одной характеристикой распределения вероят- ности выступает эксцесс. Он говорит о степени заост- ренности графика плотности распределения относи- тельно нормального распределения. Для нормального распределения эксцесс равен нулю. Если он положите- лен, то данное распределение более заострено, чем нормальное. Это говорит о том, что значения такой случайной величины с большей вероятностью, чем при нормальном распределении, группируются вокруг своей средней и на концах распределения.

369