опред.интегр

5.2. Пусть кривая АВ задается уравнением y=f(x), где f(x) непрерывная функция на некотором отрезке [a,b]. Разобьем эту дугу точками А=М₀, М₁,…, М_k-1, М_k,…, М_n=B на элементарные и соединим их ломаной, кот называется вписанной в дугу АВ. Будем неограниченно увеличивать число точек деления так чтобы максимальная из длин звеньев ломаной

Длиной дуги кривой называется предел длин ломаных вписанных в данную дугу, когда длина наибольшего из длин звеньев → 0 (если этот предел существует, конечен и не зависит от способа построения ломаной) или l длина дуги кривой АВ если ε>0 δ>0 что при разбиении, таком что μ<δ выполняется неравенство

Теорема (достаточный признак): если кривая является графиком непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x), имеющей непрерывную производную, то эта кривая спрямляема и длина выражается следующей формулой:

5.3. Т- произвольное тело в пространстве. Рассмотрим всевозможные ступенчатые тела вписанные в Т и описанные около Т, рассмотрим 2 числовых множества: Х_Т – множество объемов всевозможных ступенчатых тел, описанных около Т, Y_T – множество объемов всевозможных ступенчатых тел, описанных около Т.

Тело Т называется кубируемым если числовые множества X_T и Y_T разделяются единств числом, а само это число называется объемом тела Т.

Теорема (критерий кубируемости): Тело Т кубируемо т. и т. т., когда ε>0 найдутся 2 ступенчатых тела L₁ и L₂ таких что выполняются 2 условия: 1) 2) V(L₂)-V(L₁)<ε

Теорема: пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на [a,b]. Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции f(x), имеет объем

5.4. поверхность тела, образованного вращением этой дуги вокруг оси Ox — интегралом