ФОПЭ / 1-9

Рис. 9.3 Расщепление энергетических уровней на зоны

Рис. 9.4. Образование энергетических зон: а - в металлическом натрии; б - в элементах IVгруппы элементов: алмаз, кремний и германий.

.

(9.25)

Рис. 9.5 Зависимость энергии электрона от волнового вектора для одномерной моноатомной цепочки

Рис. 9.6. Зависимости энергии электрона от волнового вектора: а − изменение энергетических уровней свободного электрона, находящегося в поле ненулевого периодического потенциала в случае двумерной гексагональной решетки; б − дисперсия энергии вдоль направлений наибольшей симметрии гексагональной решетки (пунктир показывает уровни свободного электрона)

4. Влияние температуры на положение уровня Ферми в полупроводниках p- и n-типа

Электроны, как частицы, обладающие полуцелым спином, подчиняются статистике Ферми–Дирака. Вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией Е, выражается функцией Ферми–Дирака:

Здесь F – энергия Ферми, определяемая как значение энергии, при которой все состояния системы частиц, подчиняющихся статистике Ферми–Дирака заняты. Для электронного газа значение энергии Ферми совпадает со значением химического потенциала при T = 0 К и определяется как величина энергии, необходимая для изменения числа частиц в системе на единицу [79]. Также из формулы (10.12) видно, что энергию Ферми можно определить как энергию такого квантового состояния, вероятность заполнения которого равна 1/2.

Вид функции Ферми–Дирака схематически показан на рис. 10.6.

При Т = 0 К она имеет вид разрывной функции. Для энергии меньшей энергии Ферми E < F функция Ферми-Дирака равна 1, а значит, все квантовые состояния при E < F заполнены электронами. Для энергии большей энергии Ферми E > F функция f = 0 и соответствующие квантовые состояния не заполнены. При Т > 0 функция Ферми-Дирака изображается непрерывной кривой и в узкой области энергий, порядка нескольких k_BT, в окрестности точки E = F быстро изменяется от 1 до 0. Размытие функции Ферми-Дирака тем больше, чем выше температура.

5. Эффективная масса электрона. Зависимость эффективной массы электрона от энергии

Известно, что электрон в различных условиях может обладать различной массой. Этот феномен вызывает массу вопросов и, самое главное, не понятна физическая природа такого явления. Но оказывается, что ларчик открывается очень просто.Если в качестве плоскостей длинной линии использовать сверхпроводник, то магнитное поле на его поверхности, равное удельному току, будет определяться соотношением(1)гдеесть глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник.

Если подставить значение глубины проникновения в соотношение (1) то получим неожиданный результат

Оказывается, что величина магнитного поля вовсе не зависит от величины заряда носителей тока, а зависит от их массы.Таким образом, удельная энергия магнитных полей

(2)

равна кинетической энергия движения зарядов, приходящаяся на единицу объёма. Но магнитное поле, связанное с движением носителей тока в поверхностном слое сверхпроводника, существует не только на его поверхности и в скин-слое. Объём занимаемый магнитными полями несоизмеримо больший, чем их объём в самом сверхпроводнике. Если обозначить длину линии, как , а ширину и расстояние между плоскостями как  и  то объём скин-слоя в сверхпроводящих плоскостях линии составит .Энергия магнитных полей в этом объёме определится из соотношения

энергия же магнитных полей между плоскостями линии составит

(3)

Если учесть, что глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводниках составляет несколько сотен ангстрем, то при макроскопических размерах линии можно считать, что полная энергия магнитных полей в ней определяется соотношением (3).Поэтому, создание магнитных полей  между плоскостями линии, которые возникают в связи с движением зарядов в скин-слое, требует таких же затрат энергии, как если бы весь объём линии был заполнен частицами, движущимися со скоростью , плотность которых и масса составляют соответственно  и .

Очевидно, что эффективная масса электрона по сравнению с массой свободного электрона возрастает при этом в  раз. Такое положение дел является следствием того, что механическое движение электронов приводит не только к накоплению их кинетической энергии в скин-слое, но, ввиду зависимости их скалярного потенциала от скорости, в линии происходит также накопление потенциальной энергии, градиент которой и даёт силу, действующую на проводящие плоскости линии. Таким образом, становится понятной природа такого параметра как индуктивность и эффективная масса электрона, которые в данном случае зависят в основном не от массы свободных электронов, а от той конфигурации проводников, по которым такие электроны двигаются.

6. Зонная структура полупроводников

Согласно постулатам Бора энергетические уровни для электронов в изолированном атоме имеют дискретные значения. Твердое тело представляет собой ансамбль отдельных атомов, химическая связь между которыми объединяет их в кристаллическую решетку. Если твердое тело состоит из N атомов, то энергетические уровни оказываются N-кратно вырожденными. Электрическое поле ядер, или остовов атомов, выступает как возмущение, снимающее это вырождение. Дискретные моноэнергетические уровни атомов, составляющие твердое тело, расщепляются в энергетические зоны. Решение квантовых уравнений в приближении сильной или слабой связи дает качественно одну и ту же картину для структуры энергетических зон твердых тел. В обоих случаях разрешенные и запрещенные состояния для электронов чередуются и число состояний для электронов в разрешенных зонах равно числу атомов, что позволяет говорить о квазинепрерывном распределении энергетических уровней внутри разрешенных зон.Наибольшее значение для электронных свойств твердых тел имеют верхняя и следующая за ней разрешенные зоны энергий. В том случае, если между ними нет энергетического зазора, то твердое тело с такой зонной структурой является металлом. Если величина энергетической щели между этими зонами (обычно называемой запрещенной зоной) больше 3 эВ, то твердое тело является диэлектриком. И, наконец, если ширина запрещенной зоны E_g лежит в диапазоне (0,1 ÷ 3,0) эВ, то твердое тело принадлежит к классу полупроводников. В зависимости от сорта атомов, составляющих твердое тело, и конфигурации орбит валентных электронов реализуется тот или иной тип кристаллической решетки, а следовательно, и структура энергетических зон. На рисунке 1.1 приведена структура энергетических уровней в изолированном атоме кремния, а также схематическая структура энергетических зон, возникающих при сближении этих атомов и образовании монокристаллического кремния с решеткой так называемого алмазоподобного типа.Верхняя, не полностью заполненная, энергетическая зона в полупроводниках получила название зоны проводимости. Следующая за ней энергетическая зона получила название валентной зоны. Энергетическая щель запрещенных состояний между этими зонами называется запрещенной зоной. На зонных диаграммах положение дна зоны проводимости обозначают значком E_c, положение вершины валентной зоны - E_v, а ширину запрещенной зоны - E_g.Поскольку в полупроводниках ширина запрещенной зоны меняется в широком диапазоне, то вследствие этого в значительной мере меняется их удельная проводимость. По этой причине полупроводники классифицируют как вещества, имеющие при комнатной температуре удельную электрическую проводимость σ от 10^-8 до 10⁶ Ом·см, которая зависит в сильной степени от вида и количества примесей, структуры вещества и внешних условий: температуры, освещения (радиации), электрических и магнитных полей и т.д.Для диэлектриков ширина запрещенной зоны Е_g > 3 эВ, величина удельной проводимости σ < 10^-8Ом·см, удельное сопротивление ρ = 1/σ > 10⁸ Ом·см. Для металлов величина удельной проводимости σ > 10⁶ Ом·см.

Рис. 1.1. Структура энергетических уровней в изолированном атоме кремния, а также схематическая структура энергетических зон, возникающих при сближении этих атомов и образовании монокристаллического кремния

7. Статистика электронов и дырок в полупроводниках

8. Влияние температуры на концентрацию носителей в собственном полупроводнике

Температура – один из решающих факторов, влияющих на электропроводность. Рост температуры это сообщение дополнительной энергии атомам, составляющим кристалл, переход электронов на более высокие уровни и переброс их через запрещённую зону в зону проводимости.  С ростом температуры число таких перебросов увеличивается, в связи с чем наблюдается рост числа свободных носителей заряда, что и объясняет рост проводимости полупроводника. Как отмечалось выше, увеличить число носителей заряда в полупроводнике можно путём легирования его различными примесями (донорами или акцепторами).При изменении типа и концентрации электрически активных примесей в полупроводнике происходит смещение уровня Ферми (уровень Ферми или энергия Ферми – уровень отделяющий полностью заполненные электронные уровни от полностью незаполненных), что, в свою очередь, приводит к изменению концентрации носителей заряда обоих знаков, т. е. электронов и дырок. При введении донорных примесей уровень Ферми смещается вверх относительно середины запрещённой зоны Э_i (рис. 25). При этом равновесная концентрация электронов n₀ становится выше собственной n_i при данной температуре. Если же полупроводник легируется акцепторными примесями, то уровень Ферми приближается к валентной зоне и n₀ > n_i .Носители заряда, концентрация которых оказывается преоб­ла­даю­щей, называют основными, а носители заряда противопо­ложного знака, т. е.с меньшей концентрацией принято называть неосновными. Например, в полупроводнике n-типа основными носителями заряда являются электроны, а неосновными – дырки. Если в таком полупроводнике увеличивать концентрацию доноров, то будет возрастать число электронов, переходящих в единицу времени с примесных уровней в зону проводимости. Однако по мере увеличения скорости тепловой генерации электронов и их накопления в свободной зоне начнёт возрастать и скорость встречного процесса – рекомбинации носителей заряда, что будет приводить к уменьшению равновесной концентрации дырок.

Выражение n₀p₀ = n_i²                                                         

часто называют соотношением «действующих масс» для носителей заряда. По сути своей оно аналогично уравнению равновесия хи­ми­ческой реакции, например, реакции диссоциации бинарного соединения при взаимодействии с газовой фазой. Изменение концентрации одного из реагентов вызывает нарушение химического равновесия и стимулирует массоперенос через межфазную границу, который продолжается до тех пор, пока произведение давлений реагирующих веществ не достигнет равновесного значения.На рис. 26 в полулогафмическом масштабе представлены типичные варианты температурных зависимостей концентрации носителей заряда в полупроводнике. Подобная картина наблюдается в полупроводниках как с донорным, так и с акцепторным легированием.

9. Собственные и примесные полупроводники.

Полупроводники – материалы, удельное сопротивление которых при нормальной температуре находится между значениями удельного сопротивления проводников и диэлектриков. При этом проводимость возникает в них при условии порогового энергетического воздействия: тепла (пороговая температура), электростатического поля (пороговый потенциал), излучения (пороговая частота) и др. С точки зрения зонной электронной теории и теории почти свободных электронов при пороговом воздействии осуществляется переход электронов из валентной зоны в зону проводимости.Как и в металлах, электрический ток в полупроводниках связан с движением носителей заряда. Если в металлах наличие свободных электронов обусловлено самой природой металлической связи, то появление носителей заряда в полупроводниках определяется рядом факторов, важнейшими из которых являются химическая чистота материала и температура. В зависимости от степени чистоты полупроводники подразделяются насобственные и примесные.Собственный – это такой полупроводник, в котором можно пренебречь влиянием примесей при данной температуре. Согласно зонной теории твёрдого тела для полупроводников характерно наличие не очень широкой запрещённой зоны на энергетической диаграмме. В собственном полупроводнике при температуре абсолютного нуля валентная зона полностью заполнена электронами, а зона проводимости пуста. Из-за блокирующего действия запрещённой зоны собственный полупроводник при 0 ^оК не обладает электропроводностью, т. е. подобен диэлектрику.При температурах, отличных от абсолютного нуля, имеется конечная вероятность того, что некоторые из электронов за счёт тепловых флуктуаций (неравномерного распределения тепловой энергии между частицами) преодолеют потенциальный барьер и окажутся в зоне проводимости. В собственном полупроводнике каждый переход электрона в зону проводимости сопровождается образованием дырки в валентной зоне. Благодаря дыркам электроны валентной зоны также принимают участие в процессе электропроводности за счет эстафетных переходов под действием электрического поля на более высокие освободившиеся энергетические уровни. Совокупное поведение электронов валентной зоны можно представить как движение дырок, обладающих положительным зарядом и некоторой эффективной массой.Чем выше температура и меньше ширина запрещённой зоны, тем выше скорость тепловой генерации носителей заряда (электронов и дырок). Одновременно с генерацией в полупроводнике непрерывно идёт и обратный процесс: рекомбинация носителей заряда, т. е. возвращение электронов в валентную зону с исчезновением пары носителей заряда (электрон–дырка). В результате протекания двух конкурирующих процессов в полупроводнике при любой температуре устанавливается некоторая равновесная концентрация электронов n₀ и дырок р₀. Специфика собственного полупроводника состоит в том, что в нём равновесная концентрация электронов равна равновесной концентрации дырок.Механизм собственной электропроводимости рассмотрим на примере кремния (IV группа Периодической системы элементов), который кристаллизуется в структуре алмаза . В этой структуре каждый атом находится в тетраэдрическом окружении четырех ближайших соседей, с которыми взаимодействует силами ковалентных связей. Четыре валентных электрона любого атома идут на образование четырёх ковалентных связей. Все химические связи оказываются замкнутыми и полностью насыщенными. Состояниям связанных электронов соответствуют энергетические уровни в валентной зоне.Валентные электроны, осуществляющие химические связи, не могут оторваться от своих атомов без значительных затрат энергии. Энергетические затраты на разрыв связи и освобождение электрона количественно выражаются шириной запрещённой зоны. Атомы, потерявшие электроны, превращаются в положительно заряженные ионы, а незаполненная валентная связь содержит энергетическую вакансию для электронов, т. е. проявляет себя как дырка. Положительно заряженный ион может заимствовать электрон от любого соседнего атома, что приведёт к перемещению дырки по кристаллу. Образовавшиеся электроны и дырки проводимости беспорядочно блуждают по решётке до тех пор, пока не рекомбинируют при встрече.

Рис.Схематическое представление собственной электропроводности полупроводника.

Под действием внешнего электрического поля движение носителей заряда приобретает направленный характер. При этом перемещение дырки к отрицательному полюсу источника можно представить как эстафетный переход валентных электронов от одного атома к другому в направлении против поля. Однако работа большинства по­лупро­вод­ни­ковых приборов нарушается при появлении собственной электропроводности.Примесный – это такой полупроводник, электрофизические свойства которого в основном определяются примесями. Как правило, примеси создают отщеплённые уровни в запрещённой зоне полупроводника. При малой концентрации примесей расстояние между примесными атомами велико, их электронные оболочки не взаимодействуют друг с другом. Вследствие этого примесные энергетические уровни являются дискретными, т. е. не расщепляются в зону, как это имеет место для уровней основных атомов кристаллической решётки.Если примесные атомы находятся в узлах кристаллической решётки, то их называют примесями замещения, если в междоузлиях – примесями внедрения.Роль примесей могут играть и всевозможные дефекты структуры. К числу таких дефектов относятся, в первую очередь, вакансии и междоузельные атомы.