ниш задачи / Числовые обозначения в Древнем Риме напоминали первый способ греческой нумерации

Числовые обозначения в Древнем Риме напоминали первый способ греческой нумерации. У римлян были специальные обозначения не только для чисел 1, 10, 100 и 1000, но и для чисел 5, 50 и 500. Римские цифры имели такой вид:

1-I

5-V

10-X

50-L

100-C

500-D

1000-M

Возможно, знак V означал раскрытую руку, а X – две таких руки. Но есть и другое объяснение. Когда счёт шёл десятками, то нарисовав 9 палочек ,десятой из перечёркивали. А чтобы не писать слишком много палочек, перечёркивали одну палочку и писали так: Х . Так и получилась эта римская цифра, а цифру 5 писали просто разрезав X пополам. Так получилась V.

1.Выполните действие рациональным способом:

354·73+23·25+354·27+17·25

2.Найдите цифры, вместо которых стоят звездочки:

* 8 *

4 * 2

-------

7 * 0

* * * *

* * *

--------------

* * * * 2 *

3.На одной чаше весов лежат шесть одинаковых пачек чая и гиря массой 50г., а на другой – одна пачка чая и две гири массой 100 и 200 г. Весы находятся в равновесии. Определите, сколько граммов весит одна пачка чая?

5.Из 40 учащихся 5 класса 32 ходят на кружок «Умелые руки», 21 посещают спортивную секцию, 15 учащихся ходят и на кружок, и на секцию. Сколько учащихся не ходят ни на этот кружок ни на эту секцию?

6.Миша и Ксения решили погулять в парке ровно в десять часов утра . Но оказалось, что у Миши и у Ксении часы идут-то неверно! У Миши часы отстают на 3 минуты, однако он считает наоборот, что они спешат на 2 минуты. У Ксении часы спешат на 2 минуты, но она считает, что они отстают на 3 минуты. Как Вы думаете, кто из них опоздает на прогулку в парк?

7.Одного человека спросили:

— Сколько вам лет?

— Достаточно, — ответил он.

— Я старше некоторых своих родственников почти шестьсот раз. Может ли такое быть?

8.Чашка чая с кубиком сахара стоит один доллар и десять центов. Мы знаем, что кофе дороже кубика сахара на 1 доллар. Сколько чашка чая , и сколько стоит кубик сахара?

9.Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода?

10.В каком случае, смотря на цифру 2, мы говорим “десять”?

11. Один джентльмен, показывая своему другу портрет, нарисованный по его заказу одним художником, сказал: “У меня нет ни сестер, ни братьев, но отец этого человека был сыном моего отца”.

Кто был изображен на портрете?

12. У нас есть 5-ти литровый и 9-ти литровый сосуд. Как набрать из реки 3 литра воды?

13. Позавчера Васе было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?

14. Можно ли имея два сосуда емкостью 3 и 5 л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?

15. Как разделить поровну между двумя семьями 12  л кваса , который находится в 12-ти литровом сосуде, для этого у вас есть 2 сосуда 8-ми литровый и 3-ех литровый.

16. Бидон емкостью 10 л наполнен керосином. Имеются пустые сосуды в 7 и 2 литра. Как разлить керосин в два сосуда по 5 литров?

17. Есть 2 сосуда. Емкость одного 9 л другого 4л. Как с их помощью из бака набрать 6л воды? Воду можно сливать обратно в бак.

18. Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Макс сказал: “Это число девять”. Вова:  ”Это простое число”. Даша: сказала ” четное число”. А Лилия сказала, что это число – пятнадцать. Назовите это число, если и девочки, и мальчики ошиблись ровно по одному разу.

( A )1;   (B) 2;   (C) 3;    ( D ) 9;   ( E ) 15

Решение. Представим, то, что Макс прав. Тогда все девочки сказали неправду, но так быть не должно. Тогда из мальчиков прав Вова, а Лилия неправа число 15 не простое. Тогда из предложенных ответов верно только 2. Ответ(В)2

2. Какая из букв слова КЕНГУРУ имеет самый большой номер в русском алфавите?

( A ) К;     (B) Е;    (C)   Г;    ( D )  У;     ( E ) Р

Решение. Пронумеруем буквы в соответствии с русским алфавитом, тогда буквы имеют следующие номера: К-12, Е-6, Г-4, У-21, Р-18. Ответ: (Д) У

3. Среди этих пяти карточек есть три одинаковых.

Какие? ( A )1,2 и 3;   (B) 2,3 и 5;   (C) 1, 3 и 4;     ( D )  2, 4 и 5;    ( E )3, 4 и 5

Решение. Первая картинка превращается во вторую поворотом на 180 градусов. Третья картинка отличается от первой и второй. Третья, четвертая и пятая картинки это одно и тоже только одна повернута на 90 градусов влево, а другая на 90 в право. Таким образом ответ: (Е)

4. На острове Мадагаскар регулярный климат: по понедельникам и средам всегда идут дожди, по субботам – туман, зато в остальные дни – солнечно. Утром, в какой день недели нужно начать свой отдых  туристам, если они хотят пробыть там 44 дня и получить как можно больше солнечных дней

( A ) в понедельник;  (B)  в среду;  (C)   в четверг;  ( D )  в пятницу;  ( E ) во вторник

Решение. В 44 днях шесть недель и 2 дня. Отправлять надо четверг утром. В этом случае выпадают и два солнечных дня – четверг, пятница. Ответ: (С)

5. Разглядывая семейный альбом, Ванечка обнаружил, что у него 4 прабабушки и 4 прадедушки. А сколько прабабушек и прадедушек имели его прабабушки и прадедушки все вместе?

( A )16;   (B) 32;   (C) 64;    ( D ) 128;   ( E ) 256

У него восемь прабабушек и прадедушек. А у них еже по восемь прабабушек и прадедушек. Значит у него всего 8*8=64. Ответ: (С)

6. Наши прадедушки называли число, равное миллиону миллионов, словом “легион”. Если разделить миллион легионов на легион миллионов, то получится :

(A) легион;   (B)  миллион;  (C) миллион миллионов;  (D) легион легионов;   (E) 1

Решение. Запишем это число. Получается, что миллион миллионов миллионов надо разделить на миллион миллионов миллионов, т.е. число делится на точно такое же. Мы получаем один (Е).

7.  На каждой кочке в маленьком болотце сидят не меньше, чем по 3 лягушки, а всего лягушек – 145 . Тогда число кочек в этом болотце не может равняться: ( A )1;   (B) 23;   (C) 31;   ( D ) 44;   ( E ) 55

Пример. Укажите все четырехзначные числа, которые при зачеркивании первой цифры уменьшаются в пять раз.

Решение. Обозначим через x первую цифру, а через y – оставшуюся часть четырехзначного числа. При этом очевидно, что x, y должны удовлетворять следующим естественным условиям:

1 ≤ x ≤9, 0≤y≤999.

При этом само число имеет вид: 1000*x+y. Используя условие задачи получаем следующее соотношение:

1000x+y=5y → 250x=y.

Далее перебираем возможные значения x, получаем, что решением могут быть числа 1250, 2500, 3750.

Ответ: 1250, 2500, 3750.

Решите самостоятельно:

1. Какие натуральные числа уменьшаются в 13 раз при зачеркивании последней цифры. Ответ: 13, 26, 39.

2. Найти все такие натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой нулей и цифрой десятков вставить нуль. Ответ: 45.

3. Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру перенести на первое место, то новое число будет на единицу больше утроенного первоначального числа. Найдите это число. Ответ: 103.

4. Найдите 4-хзначное число, которое в 4 раза меньше числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке. Ответ: 2178.

1. Цена на товар была снижена на 10% и составила 2700 рублей. Сколько стоил товар до снижения цены? Решение. Пусть Х рублей – начальная цена. Стало после понижения 0.9 Х Составляем уравнение: 0.9Х = 2700 Х = 2700: 0.9 Х = 3000. Ответ: 3000 рублей.

2. Сколько воды надо добавить в 75-процентный раствор соли, масса которого равна1200 г, чтобы раствор стал 40-процентным? Решение. 1)1200 х 75= 900 грамм соли было 2)900 * = 2250 должен быть раствор 3) 2250 – 1200= 1050 надо добавить воды. Ответ: 1050 надо добавить воды.

3. В числе А запятую перенесли вправо на один знак и получили число В, а затем еще на один знак вправо и получили число С. Найдите число А, если С + В – А = 13,08. Решение. 1)А=А – первое число 2) В= 10А – второе 3) С= 100А – третье 4)110 А – А = 109А Составляем уравнение: 5) 109 А= 13.08 6) А= 13.08 :109 7) А=0.12 Ответ: 0.12

4. В поселок привезли муку в трех вагонах. Вес муки, привезенной в первом вагоне, относился к весу муки, привезенной во втором вагоне, как 1 к 2, а в третьем вагоне было привезено 44 т, что на 24 т больше, чем в первом вагоне. 25% привезенной муки распределили между двумя пекарнями, причем второй выдали 60% того количества, которое получила первая пекарня. Сколько муки выдали каждой пекарне? Решение. 1)44-24= 20 тонн в первом вагоне. 2) 20*(1+2)= 60 в первом и втором вагоне. 3) 60- 20= 40 тон во втором вагоне. 4) = 26 тонн это 25 процентов. 5)составим уравнение и решим его: 1,6х=26 Х=26:1,6 Х= 16.25 тонн первой пекарне 25-16,25=9,75 Ответ: 9.75, 16.25.

5. Из города А в город В выехал автобус. Спустя   0,5 ч вслед за ним выехал автомобиль. Через 1,1 ч после своего выхода он, обогнав автобус, находился на расстоянии2 кмот него. Найдите скорость автобуса, если известно, что она на20 км/чменьше скорости автомобиля. Решение. Х (км/ч)- скорость автобуса Х+20 скорость автомобиля Составим уравнение: 1,1(х+20)=1,6х+2 Раскрываем скобки: 1,1*х+1,1*20=1,6 +2 22-2=1,6х-1,1Х 20=0,5х Х= 20:0,5 Х= 40 Ответ: 40 км/ч

6. Длина ломаной ABCD равна периметру треугольника АВС. Сумма отрезков АС и CD равна56 см, а сумма АВ и СD равна62 см. ВС меньше АС на8 см. Найдите длину ломаной ABCD. Решение. АС=СД=56/2=28 АВ=62-28=34 ВС=28-с АВСД=34+28+(28-с)=90-с АВСД=90-8=82 Ответ. 82 см.

7.  На каком круге заштрихована примерно такая же часть площади, как у прямоугольника?

8. 

9. 2. Билеты на концерт стоят 10 зедов, 15 зедов или 30 зедов. Из 900 проданных билетов 1/5 билетов стоила по 30 зедов каждый, а 2/3 билетов — по 15 зедов каждый. Какая часть билетов продана по 10 зедов?

10. 3. В школьном походе 1 учитель отвечал за группу из 12 учащихся. Если в поход отправились 108 учащихся, то сколько учителей приняли в нем участие?

11. 4. Садовник смешал 4,45 кг семян травы и 2,735 кг семян клевера, чтобы засеять лужайку. Сколько всего килограммов семян он получил?

12. 5. Автобус двигается с постоянной скоростью так, что пройденное им расстояние прямо пропорционально времени движения. Если автобус проезжает 120 км за 5 часов, то сколько километров он проедет за 8 часов?

13. 6. При изготовлении сплава из золота и серебра на 1 грамм золота кладется 4 грамма серебра. Сколько граммов серебра в 40 граммах такого сплава?

1. Известно, что 70% веса человека составляет вода. Сколько килограмм воды в человеке массы 90кг.

2. На сколько процентов число 5 больше, чем 4?

3. На сколько процентов число 4 меньше, чем 5?

4. Если что-то увеличилось на p%, то во сколько раз оно увеличилось?

5. В сосуд емкостью 6л  налито 4л 70% -ного раствора серной кислоты. Во второй сосуд той же емкости налито 3л 90%-ного раствора серной кислоты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился  75%-ный раствор серной кислоты?

6. Продавец понизил цену на яблоки на 34%, но увеличил объем поставок на 25%. На сколько изменилась сумма выручки?

7. Сберкасса выплачивает 3% годовых. Через сколько лет внесенная сумма удвоится?

8. В 195 кг свежих фруктов содержится 91% воды. После высушивания их масса изменилась на 150 кг. Каков процент воды в сухофруктах?

1. Вася прочитал две пятых книги, что составило 80 страниц. На другой день он прочитал четверть оставшихся страниц. Вопросы: 1) Сколько страниц в книге? 2) Сколько страниц осталось не прочитано?

Решение.

1) 80:(2/5)=200 – Страниц в книге

2) 1-2/5=3/5 книги осталось прочитать после 1-го дня

3) 200*3/5=120 остаток после 1-го дня

4) 120*1/4=30 страниц книги прочитано во второй день.

5) 200-80-30=90 страниц в книге не прочитано

Ответ: 1) 200; 2) 90 страниц в книге не прочитано

2. Мастер и ученик, работая вместе, покрасили забор за 12ч. Если бы мастер красил забор один, он выполнил бы эту работу за 21ч. За сколько часов покрасил бы этот забор ученик?

Решение.

1) 1/12 совместная скорость работы мастера и ученика.

2) 1/21 скорость мастера

3) 1/12-1/21=1/28 скорость ученика.

4) 1:(1/28)=28 часов понадобится ученику.

Ответ: 28 часов.

4. Расстояние между селами Мордино и Солнечное 720км. Из Мордино в Солнечное вышел скоростной поезд со скоростью 80км /ч. Через 2 часа навстречу ему из Солнечного в Мордино вышел обычный поезд со скоростью 60км/ч. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся?

Решение.

1) 80×2=160 (км) – прошёл скорый поезд за 2 часа.

2) 720-160=560 (км) – осталось проехать поездам.

3) 80+60=140 (км/ч) – скорость сближения скоростного и обычного поезда.

4) 560:140=4(ч) – ехал обычный поезд.

Ответ:4часа ехал обычный поезд.

5. Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Скорость одного автобуса 45 км /ч, а скорость другого автобуса 72км /ч. Первый автобус до встречи проехал 135км. Найти расстояние между пунктами.

1) 135 : 45 = 3 (часа) – ехали автобусы до встречи.

2) 72 * 3 = 216 (км) – проехал второй автобус до встречи.

3) 135 + 216 = 351 (км) – расстояние между пунктами.

Ответ: 351км.

Самостоятельная работа

Байкер в первый час проехал 3/8 всего пути, во второй час 3/5 остатка, а в третий час остальные 40 км. Найдите весь путь  

Вычислить

1. -2*(3)+12-4*(-5)

2. 5*(-4)+6*7+6*(-3)

3. -5*(-4)-6*7+6*(-3)

4. 12-17*(-1)+3*(-4)

5. 21*(-2)+56-23*6

6. 45*2+12*(-3)-23*4

7. 21*(-2)-67+12*(-3)

8. 2*32-54*(-1)+65

9. -3*(-6)+32*(-3)-43

10. 23*3-43*2+12*(-5)

11. 45-32*(-2)+64

12. 32-5*(-6)+16*(-2)

. I-я часть

1. Разделите прямоугольник размером 18 х 8 на части так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.

2.Делится ли число 111….111 (999 единиц) на 37?

3. На какую цифру оканчивается число 3¹⁰⁰ ?

4. На часах 19ч 15 мин. Чему равен угол между минутной и часовой стрелкой?

5.Три пятницы некоторого месяца пришлись на чётные даты. Какой день недели был 18-го числа этого месяца?

6. Юра взял книгу на 3 дня. В первый день он прочитал половину книги, во второй- треть оставшихся страниц, а количество страниц, прочитанных в третий день, равно половине страниц, прочитанных за первые два дня. Успел ли Юра прочитать  книгу за 3 дня?

7. Среди музыкантов каждый седьмой шахматист, а среди шахматистов каждый девятый музыкант. Кого больше: музыкантов или шахматистов? Почему?

8. Пять учеников купили 100 тетрадей. Коля и Вася купили 52 тетради, Вася и Юра- 43, Юра и Саша- 34, Саша и Сережа- 30. Сколько тетрадей купил каждый из них?

9. В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли в этой школе класс, в котором не менее 35 учеников? II-я часть

10. Пришкольный участок прямоугольной формы имеет периметр 160м. Как изменится его площадь, если длину каждой стороны увеличить на 10м?

11. Докажите, что число 7⁷⁷⁷ + 1 не делится на 5.

12. В одном районе города  более 94% домов имеют 5 этажей. Какое наименьшее число домов возможно в этом районе?

13. Когда велосипедист проехал  пути, лопнула шина. Оставшийся путь он прошёл пешком и затратил на это в 2 раза больше времени, чем на езду на велосипеде. Во сколько раз велосипедист ехал быстрее, чем шёл?

14. Продолжите ряд чисел: 10, 8, 11, 9, 12, 10 до восьмого числа. По какому правилу он составлен? На какую цифру оканчивается число?

15. На три склада доставили груз. На первый и второй вместе было доставлено 400 т, на второй и третий вместе 300 т, а на первый и третий – 440 т. Сколько тонн груза было доставлено на каждый склад в отдельности?

16. Сколько шахматистов играло в круговом турнире, если всего было сыграно 190 партий?

17. Когда Ваню спросили, сколько ему лет, он подумал и сказал: «Я втрое моложе папы, но зато втрое старше Серёжи». Тут подбежал  маленький Серёжа и сообщил, что папа старше его на 40 лет. Сколько лет Ване?

18. От Нижнего Новгорода до Астрахани теплоход идёт 5 суток, а обратно  – 7 суток. Сколько времени будут плыть плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?

1. Разделите прямоугольник размером 18 * 8 на части так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.

Указание. 18=2*3*3, 8=2*2*2. Поэтому 18*8=2⁴*3². Поэтому сторона квадрата должна быть равна 2*2*3=12.

2. Делится ли число 111….111 (999 единиц) на 37?

Указание. Попробуйте разделить на 37 числа 11, 111, 1111, 11111, 111111, … Усмотрите закономерность.

3. На какую цифру оканчивается число 3¹⁰⁰ ?

Указание. Определите последние цифры 1-й, 2-й, 3-й и т.д. степеней. Ксмотрите закономерность.

4. На часах 19ч 15 мин. Чему равен угол между минутной и часовой стрелкой?

Решение. За 15 минут минутная стрелка проходит 90 градусов. Часовая стрелка за 15 минут перемещается на 360*1/12*1/4=7,5 градусов. При этом 19 часов соответствует 7*360*1/12=210 градусам. Поэтому угол между стрелками равен 210+7,5-90=127,5 градусов. Ответ: 127,5 градусов.

5. Три пятницы некоторого месяца пришлись на чётные даты. Какой день недели был 18-го числа этого месяца?

Указание. Заметим, что если на этой неделе пятница – это четная дата, то на следующей неделе пятница – это нечетная дата. С учетом сказанного 3 пятницы приходятся на четные даты, только если этот месяц содержит 5 пятниц.

6. Юра взял книгу на 3 дня. В первый день он      прочитал половину книги, во второй- треть оставшихся страниц, а количество страниц, прочитанных в третий день, равно половине страниц, прочитанных за первые два дня. Успел ли Юра прочитать  книгу за 3 дня?

Решение. В первый день прочитал 1/2 книги, во второй - 1/2*1/3=1/6, в третий – (1/2+1/6)*1/2=1/3. Таким образом за три дня прочитано 1/2+1/6+1/3=1 книга. Ответ: книга прочитана ровно за 3 дня.

7. Среди музыкантов каждый седьмой шахматист, а среди шахматистов каждый девятый музыкант. Кого больше: музыкантов или шахматистов? Почему?

Указание. Обозначить за х людей, являющихся и музыкантами, и шахматистами одновременно.

8. Пять учеников купили 100 тетрадей. Коля и Вася купили 52 тетради, Вася и Юра- 43, Юра и Саша- 34, Саша и Сережа- 30. Сколько тетрадей купил каждый из них?

Указание. Пусть Коля купил х тетрадей, тогда Вася купил 52-х тетрадей, Юра – 43-(52-х)=х-9 и т.д. Затем выражения через х для каждого школьника сложить и приравнять к 100.

9. В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли в этой школе класс, в котором не менее 35 учеников?

Решение. Допустим, что в каждом классе не более 34 человек. Тогда максимальное количество школьников составляет 33*34=1122 человека, но у нас 1159 учеников. Значит наше предположение не верно и существует по крайней мере один класс, в котором не менее 35 учеников

1. Пять футбольных команд провели турнир – каждая команда сыграла с каждой по разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью – 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Четыре команды набрали соответственно 1, 2, 5 и 7 очков. А сколько очков набрала пятая команда?

2. Таракан Трёня объявил, что может бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Трёня всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в “нормальных” м/мин) бегает таракан Трёня?

3. Зачеркните все 13 точек (как на рисунке) пятью отрезками, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды.

4. В записи *1*2*4*8*16*32*64=27 вместо знаков “*” поставьте знаки “+” или “-” так, чтобы равенство стало верным.

5. Туристы были в пути 3 дня. В первый день они преодолели 36% всего расстояния, во второй – 52% оставшегося, а в третий – 54 км. Найдите длину всего пути.

6. Фрекен Бок съедает торт за полчаса, Малыш — за час, а Карлсон — за 5 минут. За какое время они съедят торт вместе?

7. 15 ребят собрали 100 орехов. Докажите, что по крайней мере двое из них собрали одинаковое число орехов.

8. Меню в школьном буфете постоянно и состоит из 10 разных блюд. Чтобы разнообразить свое питание, Петя решил каждый день выбирать себе завтрак по-новому. а) Сколько дней ему удастся это делать? б) Сколько блюд он съест за это время?

9. Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 л и 5 л, набрать из крана в больший из этих сосудов 4 л воды?

10. В числе 3141592653589793 зачеркните 7 цифр так, чтобы осталось как можно большее число.

11. У Сережи было 7 картофелин, у Паши было 5, а у Коли вообще не было. Они сварили картошку и разделили ее поровну на троих. Благодарный Коля дал Сереже с Пашей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?

1. Найдите наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 — 2, на 4 — 3, на 5 — 4, на 6 — 5, на 7 — 6, на 8 — 7, на 9 — 8, на 10 — 9.

2. Найти все числа, большие 25000, но меньшие 30000, которые как при делении на 131, так и при делении на 1965 дают в остатке 125.

3. При делении некоторого числа на 225 в остатке получилось 150. Разделится ли данное число на 75 и почему?

4. На складе имеются ножи и вилки. Число тех и других больше 300, но меньше 400. Если ножи и вилки вместе считать десятками или дюжинами, то в обоих случаях получается целое число десятков и дюжин. Сколько было ножей и вилок на складе, если ножей было на 160 меньше, чем вилок?

5. Доказать, что если сума двух чисел есть число нечетное, то произведение этих чисел будет числом четным.

6. Даны три последовательных натуральных числа, из которых первое — четное. Докажите, что их произведение кратно 24.

7. Если сложить несократимую дробь с единицей, то снова получится несократимая дробь. Почему?

8. Отец и сын решили померять расстояние между двумя деревьями, для чего одновременно отошли от одного и того же дерева. Длина шага отца — 70 см, сына — 56 см. Найти расстояние между деревьями, если известно, что их следы совпали 10 раз.

9. Даны дроби 35/396 и 28/297. Найти наименьшее из всех чисел, при делении которого на каждую из данных дробей получатся целые числа.

1. Одна дама хвасталась подруге миловидной девушкой, изображенной на фотографии. Дама сказала, что у нее нет родных сестер и братьев, но мать изображенной девушки была дочерью ее отца. Кто на фото?

2. Коробка конфет весит 250 г и еще половина коробки конфет. Сколько весит коробка конфет?

3. Арбуз разрезали на четыре части и съели. Получилось пять корок. Могло ли такое быть?

4. В классе школьники сидят по одному человеку за партой — в три ряда по пять человек. Каждый школьник подарил своему соседу (справа, слева, впереди или сзади сидящему) по конфете. Докажите, что есть школьник, которому подарили по крайне мере две конфеты.

5. Трехзначное число состоит из возрастающих (слева направо) цифр. Если это число прочитать, то все слова будут начинаться на одну и туже букву. Что это за число?

6. Три курицы за три дня несут три яйца. Сколько яиц снесут 12 таких же кур за 12 дней?

7. Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы. Сколько потребуется землекопов, для того чтобы выкопать 50 м канавы за 50 часов?

8. На столе лежат девять монет. Одна из них — фаль­шивая. Как при помощи двух взвешиваний можно найти фальшивую монету? (Фальшивая монета легче настоящих.)

9. Отец с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути встретилась река, у берега которой находился плот. Он выдерживает на воде или отца, или двух сыновей. Как переправиться на другой берег отцу и сыновьям?

10. На столе лежат две монеты, в сумме они дают 3 рубля. Одна из них – не 1 рубль. Какие это монеты?

Задача № 1 : Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета? Ответ : на тридцать седьмое место. Сколько мест могло быть в первом ряду. Во-первых, их не больше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 41 равна 861. Во-вторых, их не меньше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 39 равна 780, и даже после прибавления к ней 39, результат будет меньше 857. Значит в первом ряду ровно 40 мест. Теперь несложно определить, на какое место был продан лишний билет: 1 + … + 40 = 820; 857 – 820 = 37.  Задача № 2 : Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий? Ответ : «Нет». Так как первый и второй приятели дали различные ответы, то один из них – лжец, а другой – рыцарь. Кроме того, рыцарь не мог ответить «Нет» на предложенный ему вопрос, так как в этом случае он бы сказал неправду (среди двух оставшихся точно есть лжец). Следовательно, первый – лжец. Он солгал, значит среди двух оставшихся должен быть лжец, и им может быть только третий приятель. Значит третий ответил «Нет».  Задача № 3 : Существует ли 10-угольник, который можно разрезать на 5 треугольников?  Ответ : существует. Смотри рисунки :    Задача № 4 : Вася и Митя играют в «морской бой» на поле размером 8ґ 8 по следующим правилам. Митя расставляет 16 одноклеточных кораблей так, чтобы они не соприкасались (даже углами). Каждым ходом Вася называет одну из клеток поля и, если на этой клетке стоит корабль, то корабль считается уничтоженным. Докажите, что независимо от расстановки кораблей Вася за 4 хода сможет уничтожить хотя бы один корабль.

Разрежем поле для игры на 16 квадратов размером 2ґ 2. Заметим, что в каждом таком квадрате не может стоять более одного корабля (иначе корабли будут соприкасаться). Так как всего кораблей 16, то в каждом квадрате должен стоять корабль. Таким образом, Васе достаточно полностью «расстрелять» один из этих квадратов.  Задача № 5 : На острове Невезения отменили понедельники: у них за воскресеньем сразу следует вторник. За последний год (то есть, с 15 декабря 2002 года по 14 декабря 2003 года) воскресенья на острове совпадали с нашими воскресеньями ровно восемь раз. Какой день недели на острове сегодня? Ответ : суббота. Так как обычная неделя состоит из семи дней, а неделя на острове – из шести, то совпадение воскресений происходит один раз в 6 х 7 = 42 дня. Значит, за 378 дней происходит 9 совпадений. Поскольку 378 – 365 = 13, то девятое совпадение должно произойти в течение ближайших тринадцати дней (с 15 по 27 декабря). Единственное воскресенье в этот период – 21 декабря. Непосредственным подсчетом получаем, что сегодня на острове – суббота.  Задача № 6 : На каждом километре между селами Марьино и Рощино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до Марьино, на другой – расстояние до Рощино. Останавливаясь у каждого столба, Бобик заметил, что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах таблички, то получится 13. Найдите расстояние между селами. Ответ : 49 километров. Расстояние между селами не может быть больше, чем 49 километров, так как тогда на одном из столбов будет написано с одной стороны 49, а с другой – не 0, то есть, сумма цифр будет больше 13. На первых девяти столбах с одной стороны записаны однозначные числа от 1 до 9, поэтому числа, записанные с другой стороны, также должны быть из одного десятка (чтобы суммы цифр были одинаковы). Следовательно, искомое расстояние выражается числом, оканчивающимся на 9. Числа 9, 19, 29 и 39 решениями не являются, так как на первом столбе сумма цифр не будет равна 13. Таким образом, искомое расстояние равно 49 километрам.  Задача № 7 : По кругу стоят восемь козлов разного роста. Любой из них умеет перепрыгивать через двух соседних козлов против часовой стрелки. Докажите, что при любом начальном расположении козлов они смогут встать по росту. На рисунке  показано, каким образом любой козел (черный) сможет допрыгать до любого места, то есть, встать за любым (белым), заранее выбранным. В это время остальные козлы стоят на своих местах. Поэтому, сначала второй по росту козел встанет за самым высоким, после чего за ним встанет следующий по росту, и так далее. Такая операция возможна потому, что числа 2 и 7 – взаимно простые.