![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
IW_2_Math_Analysis
.pdf![](/html/2706/728/html_iVutFJDovd.Zvqv/htmlconvd-L0dWGM41x1.jpg)
.
Поэтому
.
3. Поставляя в последнее равенство выражение для , получаем ответ.
Задача 11. Найти производную.
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Задача 11. Найти производную. |
|
|
|
|
|
|
11.2. y sin |
|
ln sin |
|
. |
11.1. y arctg x 1 2 ln arctg x . |
|
x |
|||
x |
|||||
11.3. y sin x 5ex . |
11.4. y arcsin x ex . |
||||
11.5. y ln x 3x . |
11.6. y xarcsin x . |
|
|
||
11.7. y ctg3x 2ex . |
11.8. y xetg x . |
|
|
||
11.9. y tg x 4ex . |
11.10. y cos5x ex . |
||||
11.11. y xsin x 8ln xsin x . |
11.12. y x 5 ch x . |
||||
|
41 |
|
|
|
|
![](/html/2706/728/html_iVutFJDovd.Zvqv/htmlconvd-L0dWGM42x1.jpg)
11.13. y x3 4 tg x . 11.15. y x2 1 sh x .
11.17. y sin x 5 x2 .
11.19. y 19x19 x19 .
11.21. y sin x e1
x .
11.23. y xecos x .
11.25. y xesin x .
11.27. y xearctg x .
11.29. y x29x 29x.
11.31. y xex x9 .
11.14. y xsin x3 .
11.16. y x4 5 ctg x . 11.18. y x2 1 cos x .
11.20. y x3x 2x.
11.22. y xectg x .
11.24. y x2x 5x.
11.26.y tg x ln tg x 4 .
11.28.y x8 1 th x .
11.30.y cos 2x ln cos 2 x 4 .
ифференцирование. Задача 12
Вычисление производных
Постановка задачи. Найти производную функции .
План решения. Задача решается в несколько этапов. На каждом этапе необходимо распознать тип функции и применить соответствующее правило дифференцирования. Возможны следующие типы функций.
1. Функция имеет вид ,
где – некоторые функции и
– некоторые постоянные (константы). Используем формулу производной линейной комбинации
.
2. Функция имеет вид . Используем формулу производной произведения:
. 42
![](/html/2706/728/html_iVutFJDovd.Zvqv/htmlconvd-L0dWGM43x1.jpg)
3. Функция имеет вид |
. Используем формулу производной частного: |
.
4. Функция имеет вид . Используем формулу производной сложной функции:
.
5. Функция имеет вид . Производная такой функции вычисляется при помощи формулы
.
Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каждым знаком производной не окажется табличная функция.
Таблица производных основных элементарных функций.
Функция
Производная
43
![](/html/2706/728/html_iVutFJDovd.Zvqv/htmlconvd-L0dWGM44x1.jpg)
Задача 12. Найти производную.
44
![](/html/2706/728/html_iVutFJDovd.Zvqv/htmlconvd-L0dWGM45x1.jpg)
Задача 12. Найти производную. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
x2 8 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
2 |
|
|
|||||
12.1. y |
x2 |
4 |
|
|
x 0. |
||||||||||||
|
|
|
arcsin |
|
|
, |
|||||||||||
24 |
16 |
|
x |
||||||||||||||
12.2. y |
|
4x 1 |
|
|
1 |
|
arctg |
4x |
|
1 |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
16x2 8x 3 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
12.3.y 2x ln 1 1 e4 x e 2 x arcsin e2 x .
12.4.y 9x2 12x 5 arctg 3x 2 ln 3x 2
9x2 12x 5 .
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2x x2 |
|
|
||||||
12.5. y |
|
2x x2 |
|
ln |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
x2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12.6. y |
|
|
|
|
x2 18 x2 9, |
x 0. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
81 |
x |
81 |
||||||||||||||||||||||||||
12.7. y |
|
1 |
|
arctg |
3x |
|
1 |
|
1 |
|
|
3x 1 |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
3x2 2x 1 |
|
12.8.y 3x ln 1 1 e6 x e 3x arcsin e3x .
12.9.y ln 4x 1 16x2 8x 2
16x2 8x 2 arctg 4x 1 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 x x2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12.10. y ln |
|
|
|
x x2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2x |
1 |
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2x 3 |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
4x2 |
|
12x 11 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 3x 2, |
2x 3 0. |
|||||||||||||||
|
|
2x 3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||
12.12. y |
|
|
x 2 |
|
|
1 |
|
arctg |
x 2 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
x2 |
4x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
12.13. y 5x ln 1 |
|
|
|
e 5 x arcsin e5 x . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 e10 x |
|
|
|
45
![](/html/2706/728/html_iVutFJDovd.Zvqv/htmlconvd-L0dWGM46x1.jpg)
12.14. y x2 8x 17 arctg x 4 ln x 4
x2 8x 17 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 4x x2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12.15. y ln |
|
|
|
|
3 |
4x x2 . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
12.16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3x2 |
4x 2 |
|
|
|
|
|
3x 2 4 arcsin |
1 |
|
|
||||||||||||||||
9x2 12x 3 |
, |
3x 2 0. |
||||||||||||||||||||||||
|
3x 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12.17. y |
1 |
|
arctg |
x 1 |
|
|
|
x 1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
x2 |
2x 3 |
|
|
|
|
|
12.18.y ln e5 x e10 x 1 arcsin e 5x .
12.19.y ln 2x 3 4x2 12x 10
4x2 12x 10 arctg 2x 3 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 4x x2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12.20. y ln |
|
|
|
3 4x x2 . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
12.21. y |
4x2 4x 3 |
x2 |
x |
2x 1 |
4 |
arcsin |
|
, |
2x 1 0. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
2x 1 |
|||||||||||||||||||||||||
12.22. y |
|
|
2x 1 |
|
|
1 |
|
|
arctg |
2x |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4x2 4x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.23.y arcsin e 4 x ln e4 x e8x 1 .
12.24.y ln 5x 25x2 1
25x2 1arctg5x.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 12x 9x2 |
|
|||||||||
12.25. y |
|
|
3 12x |
9x2 ln |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
|
||||||||
12.26. y 3x 1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3x2 2x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
arcsin |
|
|
9x2 6x, |
3x 1 0. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3x 1 |
||||||||||||||||||||||||
12.27. y |
1 |
|
arctg |
2x |
|
1 |
|
|
|
2x 1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4x2 4x 3 |
|
|
|
|
|
12.28. y ln e3x e6 x 1 arcsin e 3x .
46
![](/html/2706/728/html_iVutFJDovd.Zvqv/htmlconvd-L0dWGM47x1.jpg)
12.29. y 49x2 1arctg 7x ln 7x
49x2 1 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 4x2 |
||
12.30. y |
|
|
4x2 |
ln |
|||||
|
1 |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
2x |
12.31. y arcsin e 2 x ln e2 x e4 x 1 .
Дифференцирование. Задача 13
Вычисление производных
Постановка задачи. Найти производную функции .
План решения. Задача решается в несколько этапов. На каждом этапе необходимо распознать тип функции и применить соответствующее правило дифференцирования. Возможны следующие типы функций.
1. Функция имеет вид ,
где – некоторые функции и
– некоторые постоянные (константы). Используем формулу производной линейной комбинации
.
2. Функция имеет вид . Используем формулу производной произведения:
.
3. Функция имеет вид |
. Используем формулу производной частного: |
.
4. Функция имеет вид . Используем формулу производной сложной функции:
.
47
![](/html/2706/728/html_iVutFJDovd.Zvqv/htmlconvd-L0dWGM48x1.jpg)
5. Функция имеет вид . Производная такой функции вычисляется при помощи формулы
.
Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каждым знаком производной не окажется табличная функция.
Таблица производных основных элементарных функций.
Функция
Производная
48
![](/html/2706/728/html_iVutFJDovd.Zvqv/htmlconvd-L0dWGM49x1.jpg)
Задача 13. Найти производную.
Задача 13. Найти производную. |
|
||||||||||||||
|
|
x |
arcsin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
13.1. y |
ln |
1 x2 . |
13.2. |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y 4ln |
|
|
|
|
x |
|
|
1 4x2 |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
1 4x2 |
|
|
|
|
13.3. y x 2x2 5 x2 1 3ln x
x2 1 .
49
![](/html/2706/728/html_iVutFJDovd.Zvqv/htmlconvd-L0dWGM50x1.jpg)
13.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
2 |
|
|
|
|
|
y x3 arcsin x |
1 |
x2 . |
|||||
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
13.5. y 3arcsin |
|
2 |
4x2 2x 2, |
4x 1 0. |
|||
|
|
||||||
4x 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
13.6.
y 1 x2 arctg x ln x
1 x2 .
|
2 |
|
|
|
|
|
13.7. y 2arcsin |
|
9x2 24x 12, |
3x 4 0. |
|||
|
||||||
3x 4 |
||||||
|
|
|
|
|
13.8.
y x 2x2 1 x2 1 ln x
x2 1 .
13.9. y ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 x2 |
. |
|
|
|
||||||||||
x2 |
1 |
13.10. |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
arcsin |
4x |
|
3 |
. |
|
||||||
y 1 3x 2x2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
17 |
|
|
|
13.11. y 4 x 1 x 3ln
4 x
1 x .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.12. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y ln |
|
x2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 arctg |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x4 |
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
13.13. y |
|
1 |
ln |
|
|
|
1 |
|
|
arctg |
|
|
|
3 |
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
12 |
|
|
x |
2 |
1 |
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
2x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 4arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 12x 7, |
2x 3 0. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2x |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.15. y 2arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
9x2 6x 3, |
|
3x 1 0. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|