теорет.механика
.pdf24 – сурет
Бөлшектің траекториясы ОА түзуіне қарағанда симметриялы. ОА – орбитаның центрге жақын нүктесі rmin .
Орбитаның асимптоталары берілген ОА түзуін бірдей бұрышпен қиып өтеді. Ол бұрышты ϕ0 деп белгілейміз.
Ал χ бөлшектің күш центрінен ауытқу бұрышы
ϕ0 бұрышын табамыз: |
χ = |
|
π − 2ϕ0 |
|
|
|
(1) |
||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
M |
dr |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ϕ0 = ∫ |
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
rmin |
|
2m(E − U (r )) − |
M |
2 |
|
|
|
||||||
|
r 2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rmin – орбитаның күш центріне ең жақын қашықтығы. |
|||||||||||||
E жəне M – тұрақтыларының орнына |
|
|
|
бөлшектің шексіздіктегі |
|||||||||
жылдамдығы υ∞ жəне ρ – дəлдеу арақашықтығын енгіземіз. |
Егерде күш өрісі жоқ болғанда, бөлшек центріндегі ρ арақашықтығында
өте шығушы еді.
mυ 2 E = ∞
2
M = m[r ×V ]= mVr sin(V∞ × r )eM
M = mV r sin(V × r )eM = mV∞ ρeM
ρ
71
M = mρυ∞
r sin(r υ ) = ρ
Мұндағы ρ – дəлдеу арақашықтығы болып табылады.
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mρυ∞ |
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ϕ0 |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
mυ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 2 |
ρ 2υ |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
rmin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
∞ |
− U (r ) |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mρυ∞ |
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2m2υ |
2 |
|
|
|
|
|
|
(r )− |
|
m2 |
ρ |
2υ 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
∞ − 2mU |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
|
mρυ∞ |
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
dr |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
mυ∞ |
|
|
− |
2mU (r ) |
− |
m 2 ρ 2υ∞2 |
|
|
|
1 − |
|
ρ 2 |
− |
2U |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
rmin |
1 |
|
|
|
|
rmin |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
m |
2 2 |
|
|
2 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
υ∞ |
|
|
|
|
|
m υ∞ r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mυ∞ |
|
(3)
(4)
Кəдімгі жағдайда тек бір ғана бөлшектің күш центрінен ауытқуын ғана емес, көбінесе шашыратқыш центрге бірдей v∞ жылдамдықпен келіп түсетін бірдей бөлшектердің ағынының шашырауын қарастырады. Бұл бөлшектердің ағынындағы əрбір бөлшектің өзінің дəлдеу арақашықтығы жəне сəйкесінше χ шашырау бұрыштары болады. χ жəне χ + dχ интервалы бұрыштарының шашырауы интервалында жатқан бірлік уақыт ішіндегі шашыраған бөлшектердің саны dN болсын. Бұл сан бөлшектердің тығыздығына тəуелді болғандықтан, шашырау процесін сипаттауға қолайсыз. Сондықтан жаңадан dσ шамасын енгіземіз:
dσ = dN |
(5) |
n |
n – берілген уақыт бірлігіндегі бірлік ауданнан өтетін бөлшектер саны. Өлшем бірлігі ауданның өлшемімен бірдей жəне шашырауды эффективті имасы деп аталады.
Шашырау бұрышы χ жəне дəлдеу арақашықтығы ρ арасындағы байланысты табамыз. Яғни бөлшектің χ бұрышқа шашырауы, ол бөлшектің қандай дəлдеу арақашықтық пен ρ -мен келгеніне байланысты. ρ дəлдеу арақашықтығы өссе, бөлшектің шашырау бұрышы азаяды. Яғни χ шашырау
72
бұрышы ρ – дəлдеу арақашықтығының кемімелі монотонды функциясы болып табылады.
|
|
|
χ = f (ρ ) |
|
(6) |
|
|
|
|
ρ = g(θ ) |
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Осындай жағдайда |
χ жəне |
χ + dχ |
бұрыштық интервалында ρ (χ ) |
жəне |
||
ρ (χ )+ dρ(χ ) |
дəлдеу |
арақашықтығы |
интервалындағы |
бөлшектер |
ғана |
|
шашырайды. |
Бұл бөлшектердің |
саны |
радиусы ρ жəне |
ρ + dρ болатын |
шеңберлердің аралығындағы дөңгелектің ауданын n -ге көбейткенге тең. Шашыраудың эффективті қимасы:
|
dσ = 2πρdρ |
(8) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dN = 2πρdρ × n |
(9) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dσ – |
басқаша жазамыз, түрлендіреміз: |
|
|||||||||||
|
dσ = 2πρ(χ ) |
|
|
dρ (χ ) |
|
dχ |
(10) |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
dχ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dχ – |
денелік бұрыштар арқылы жазамыз: |
|
|||||||||||
|
dO0 = 2π sin χdχ |
(11) |
|||||||||||
|
dσ = |
ρ(χ ) |
|
|
dρ (χ ) |
|
dO |
(12) |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
sin χ |
dχ |
|||||||||||
|
|
|
|
Резерфорд формуласы
Зарядталған бөлшектің Кулон өрісінде шашырауын қарастырамыз.
|
|
|
|
M |
+ |
mα |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mα |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ϕ |
0 = arccos |
|
|
r M |
|
= ϕ |
|
r =∞ |
− ϕ |
|
= ϕ |
|
r =∞ |
= arccos |
|
|
M |
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2mE + |
m 2α 2 |
|
rmin |
2mE + |
m2α 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
M 2 |
|
rmin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mα |
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
||
= arccos |
|
|
|
mρυ∞ |
|
|
|
= arccos |
|
|
mρυ∞2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
mυ∞2 |
|
m2α 2 |
|
|
|
|
α |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2m |
|
+ |
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
||||
|
2 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
m ρ υ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρmυ∞ |
(13) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73
|
|
|
|
α |
|
|
cosϕ0 = |
|
|
mρυ∞2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
2 |
||
|
|
|
||||
|
1 + |
|
|
|
||
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ρmυ∞ |
|
|
cosϕ |
|
1 + |
|
|
|
α |
|
|
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mρυ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρmυ∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
α 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
cos2 ϕ |
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
ρ υ∞ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
ρmυ∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|||||
|
cos2 ϕ + cos 2 ϕ |
|
|
α |
|
|
|
|
2 |
= |
|
|
|
α 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
ρ υ∞ |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ρmυ∞ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
α |
|
|
2 |
(1 − cos2 ϕ |
|
) |
|
|
|
|
α |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
cos2 ϕ |
0 |
= |
|
|
|
|
|
0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 ϕ |
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ρmυ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρmυ∞ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
2 |
|
= ctg 2ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ρmυ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ρ 2 |
= |
|
α 2 |
|
|
tg 2ϕ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m 2υ∞4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
немесе
ϕ0 = π − χ
2
(18) енгізіп:
ρ |
2 |
= |
α 2 |
|
2 |
|
π − χ |
|
|
tg |
|
|
|
||
|
m2υ∞2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
α 2 ctg 2 |
χ |
|
ρ 2 = |
2 |
|
|
|
|
||
m2υ∞2 |
|
|
|
|
|
|
орнына қоямыз жəне χ бойынша дифференциалдаймыз:
74
(14)
(15)
(16)
(17)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dσ = |
ρ (χ ) |
|
|
dρ |
|
dO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinχ |
|
dχ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
′ |
|
|
= − |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αctg |
|
χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ = |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mυ∞2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dρ |
= − 1 |
α |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dχ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
mυ 2 |
|
|
|
|
|
|
2 χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
αctg |
χ |
|
× α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
|
|
χ |
|
χ |
|
||||
dσ = |
|
2 |
|
|
|
dO0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
sin χ = sin2 |
= 2 cos |
sin |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
mυ 2 |
sin χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 2 |
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
mυ∞ sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
α 2 cos |
χ |
dO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dO0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
4m2υ∞2 cos |
|
χ |
|
|
|
|
|
|
χ |
|
|
4m2υ∞4 |
|
|
|
χ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dσ = |
α |
2 |
|
2 |
|
|
|
dO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2mυ∞ |
|
sin 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18)
(19)
(20)
(21)
Осы формула Резерфорд формуласы деп аталады.
Мұндағы эффективті қима α -ның таңбасына тəуелді емес. Сондықтан алынған нəтиже Кулондық тартылыс не тебіліспен бірдей болады.
(24) эффективті қима формуласын инерция центрі тыныштықтағы бөлшек үшін алдық. Енді χ = π - 2θ 2 деп алып, яғни бастапқыда қозғалыста болған бөлшек үшін эффективті қима теңдеуін лабораториялық санақ жүйесінде жазатын болсақ:
|
|
|
= |
|
m2 sin χ |
||
tgθ |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m1 + m2 cos χ |
|||
|
|
|
|
|
|||
2θ 2 |
= π − χ |
|
|
||||
|
|
|
χ = π - 2θ2 |
|
|
||
|
sin π − x = cos |
x |
|
||||
|
2 |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
75
|
|
|
α |
|
2 |
|
2π sin χdχ |
|
|
|
|
|
α |
|
2 |
|
4π sin |
χ |
cos |
χ |
dж |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
dσ |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
= |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
|
|||||||||
|
|
|
2mv∞ |
|
|
|
sin 4 |
|
|
|
|
|
2mυ∞ |
|
|
|
sin 4 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
2 π cos π − 2θ 2 |
d (π − 2θ 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
mυ∞ |
|
|
|
|
|
|
sin 3 |
(π − 2θ 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
α |
|
|
|
2 |
|
2π sinθ |
dθ |
2 |
|
|
|
α |
|
|
2 |
dO |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
θ 2 |
|
|
|
|
|
|
cos |
θ 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
mυ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
mυ |
∞ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Енді 1) m2 >> m1 |
|
жəне 2) m1 |
= m2 |
|
жағдайларын қарастырамыз. Мұндағы m1 - |
шашырайтын бөлшек m2 -тоқтап тұрған бөлшек болып табылады. Егер χ ≈ θ1 ; ал m ≈ m1 болса
|
|
|
|
|
m = |
|
|
m1m2 |
|
|
|
= |
m1m2 |
|
= m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
2 |
|
dO |
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
2 |
dO |
|
|
|
|||||||||||||||||||
dσ 1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(22) |
||||||||
2m υ 2 |
|
|
|
|
|
|
4 θ1 |
|
|
4E |
|
|
|
4 θ1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1∞ |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) егер m1 = m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = |
|
m m |
2 |
|
|
|
= |
|
m 2 |
|
|
= |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ = 2θ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
dσ = |
|
|
α |
|
2 |
|
|
cosθ |
dθ |
1 |
|
= |
|
α |
|
|
2 |
|
|
cosθ |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dO |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
mυ 2 |
|
|
|
|
|
|
sin 3 θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
sin |
3 θ |
|
|
1 |
(23) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
Бүкіл шашыраған бөлшектердің эффективті қимасын |
dσ1 жəне dσ 2 қосу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
арқылы табамыз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
dσ = |
|
|
sin4 θ |
+ cos4 θ cosθdO . |
|
|
(24) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E1 |
|
|
|
|
Бөлшектер соқтығысқанда жоғалтқан энергиялары арқылы негізгі формула түрлендірсек, инерциалды санақ жүйесіндегі шашырау бұрышы арқылы жазылған жылдамдығын аламыз:
76
|
|
|
|
′ |
= |
|
2m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ∞ sin . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
υ2 |
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ m2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ал жоғалтқан энергиясы |
m υ ′2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ε = |
|
= |
2m |
2 |
|
2m2υ∞2 sin 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ε = |
2m2 |
υ∞2 sin2 |
χ |
. |
|
|
|
|
(25) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Осы функциядан |
sin |
χ |
-ны |
|
ε |
|
арқылы жазсақ. |
Оны негізгі эффективті |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
қимаға арналған теңдеуге қойсақ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dσ = 2π |
|
α 2 |
|
|
dε |
. |
|
|
|
|
(26) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
m υ 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эффективті қима |
ε ф-сы |
ретінде |
жаздық. Ал |
ε -нөлден |
ε max |
= |
2m2 |
m2 |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ∞2 |
болады.
Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы
1.Дəлдеу арақашықтығы дегеніміз не?
2.Шашырау бұрыштары.
3.Шашыраудың эффективті қимасы.
4.Резерфорд формуласы.
5.Шашыраудың m2 >> m1 жəне m1 = m2 жағдайлары.
77
V АЗ ТЕРБЕЛІСТЕР
16 Бір өлшемді еркін тербелістер
Механикалық жүйелер табиғатта көбінесе аз тербелістер жасайды. Жүйе өзінің орнықты тепе-теңдік күйінің маңында аз ауытқу жасап тербелсе (периодты түрде қозғалса), оны аз тербелістер жасайды деп айтамыз. Бұдан əрі біз жүйенің еркіндік дəрежесі бірге тең жағдайларды қарастырамыз.
U (q) потенциалдық энергиясының минимум мəнінде жүйе орнықты тепе-
теңдік күйде болады жəне осы күйден ауытқығанда F = − dU – жүйені бастапқы
dq
қалпына келтіруге ықпал ететін күш пайда болады. Потенциалдық энергияның минимум мəніне сəйкес келетін жүйенің координатын q0 – деп белгілейік.
|
|
|
|
25 – |
сурет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
U (q) = U (q0 )+ |
dU |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
dq |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
U (q) функциясын q0 нүктесінің маңында Тейлор қатарына жіктеуге |
||||||||||||||||||||||
болады: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U (q) = U (q0 ) + |
dU |
|
q=q0 |
× (q |
- q0 )+ |
1 d 2U |
|
q=q0 |
× (q |
- q0 ) |
2 |
+ ××× |
(1) |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
dq |
|
2 |
|
|
dq |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Санақ басы ретінде |
U (q0 ) = 0 |
нүктесін аламыз, яғни потенциалдық |
||||||||||||||||||||
энергияның минимум мəнін осы нүктеге сəйкес аламыз: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
U |
min |
U |
′ |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78
Егер q = q0 болса F = 0 болады, яғни жүйе тепе-теңдікте болады. Ендеше
|
|
U (q) = |
1 d 2U |
|
|
(q - q0 ) |
2 |
|
|
1 |
k(q - q0 ) |
2 |
|
kx 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
q=q0 × |
|
+ ××× = |
|
|
+ ××× = |
|
(2) |
||||||
|
|
2 dq |
2 |
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||
Мұнда |
d 2U |
|
– |
потенциалдық энергияның екінші ретті туындысының q0 |
|||||||||||||||||
dq2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нүктесіндегі мəнін |
k |
деп жəне |
q - q0 |
= x |
деп белгілеп алдық. Бұл тербелетін |
бөлшек координатасының тепе-теңдік қалыптан ауытқу мəні болып табылады. Сонымен
U (x) = |
kx2 |
(3) |
|
||
2 |
|
Яғни жүйе аз тербеліс жасаған болса, оның потенциалдық энергиясы (3)
тең.
Еркіндік дəрежесі бірге тең жүйенің кинетикалық энергиясы, жалпы жағдайда мынаған тең:
T = |
1 |
ɺ2 |
= |
1 |
ɺ2 |
(4) |
|
|
|||||
2 |
a(q)q |
2 |
a(q)x |
|||
|
|
|
|
|
||
Тербеліс аз болғандықтан a(q) » a(q0 ) = const = m |
деп белгілеу енгіземіз. |
Мұндағы m массамен жалпылама координатты x декарт координатасы деп алғанда ғана сəйкес келеді.
qɺ = xɺ; себебі q - q0 = x .
Сонымен
T = |
mxɺ2 |
(5) |
|
||
2 |
|
Бір өлшемді аз тербеліс жасайтын жүйенің Лагранж функциясы:
L = |
mxɺ2 |
- |
kx 2 |
(6) |
|
|
|||
2 |
2 |
|
Осы функцияға сəйкес қозғалыс теңдеуін қолданып
d ∂L - ∂L =
0
dt ¶xɺ ¶x
79
мына теңдеуді аламыз
mɺxɺ+ kx = 0 ; |
(7) |
||
|
k |
= ω 2 |
(8) |
|
|
||
|
m |
|
деп белгілейміз:
ɺɺ |
+ ω |
2 |
x = 0 |
(9) |
x |
|
Бұл теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз:
|
x = ceλt |
|
|
|
(10) |
||
(9) сипаттаушы теңдеу λ2 + ω 2 |
= 0 . Осыдан λ = ±iω болса |
|
|||||
|
x = ce±iωt = |
|
eiωt + |
|
|
e−iωt |
(11) |
|
c |
c |
|||||
|
1 |
2 |
|
|
|||
eiωt = cos ωt + i sin ωt – Эйлер |
формуласын |
|
қолданып, тұрақтыларды |
қайта |
|||
белгілесек: |
|
|
|
|
|
|
|
x = c1 cosωt + c2 sin ωt
Тұрақтыларды келесі жолмен түрлендірсек:
c1 = a cosα ; c2 = −a sinα ,
шешімді ықшам түрде жазуға болады
x = a cosα cosωt − a sin α sin ωt = a cos(ωt + α )
|
|
|
|
|
|
x = a cos(ωt + α ) |
|
|
|
|
(12) |
|||||||||||
Мұндағы a = |
|
|
– |
тербеліс амплитудасы жəне − |
c2 |
= tgα – тербеліс |
||||||||||||||||
c2 |
+ c2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
фазасының тангенсі болып табылады. Ал ω – |
тербелістің циклдік жиілігі. |
|||||||||||||||||||||
Сонымен жүйе орнықты тепе-теңдік күйінің маңында гармониялық |
||||||||||||||||||||||
тербеліс жасайды. Оның толық энергиясы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
E = T + U = |
m |
ɺ2 |
+ |
k |
|
2 |
= |
m |
ɺ2 |
+ ω |
2 |
|
2 |
) = |
mω 2 a 2 |
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
(13) |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
80