Тәуелсіз сынақтар тізбегі.

Тәуелсіз п рет тәжірибе жасадық дейік. Әр жолы ізделінді А оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болсын. Онда А оқиғасының пайда болмауыболады. Енді осы тәжірибелер нәтижесінде А оқиғасыk рет пайда болу ықтималдығын деп белгілейді және ол мынаған тең:

(8)

Осы формуланы Бернулли формуласы деп атайды.

Егер тәжірибелер саны көп болып (п), ондағы А оқиғасының пайда болу ықтималдығы ()аз болса, ықтималдықты Пуассон формуласымен есептеу қолайлы:

(9)

мұндағы, , жәнедеп есептейміз. Пуассон формуласын көбінесе

деп жазады және ықтималдықтар теориясы оқулықтарында Пуассон функциясының кестесі беріледі.

Муавр-Лапластың локальді және интегралды теоремалары.

Муавр-Лапластың локальді теоремасы. Тәуелсіз п рет тәжірибе жасағанда ізделінді А оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болсын. Онда А оқиғасының k рет пайда болу ықтималдығыжуық шамамен мынаған тең:

, (10)

мұндағы, және

п артқан сайын Муавр-Лаплас формуласының мәні дәлірек болады және бұл формуланы болған кезде қолданған жөн. Есептеуді оңайлату үшін ықтималдықтар теориясы оқулықтарында функциясының кестесі беріледі. Бұл функция жұп, яғниf(-x)=f(x), және х артқан сайын функция нолге ұмтылады (х>4 болған кезден бастап оны нолге тең функция деп есептей беруге болады).

Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы. Тәуелсіз п рет тәжірибе жасағанда ізделінді А оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болсын. Онда А оқиғасының пайда болу саныменарасында болу ықтималдығыжуық шамамен мынаған тең:

, (11)

мұндағы, және,

п артқан сайын Муавр-Лаплас формуласының мәні дәлірек болады және бұл формуланы болған кезде қолданған жөн. Есептеуді оңайлату үшін ықтималдықтар теориясы оқулықтарында функциясының кестесі беріледі. Бұл функция тақ, яғни f(-x)=-f(x), және х артқан сайын функция бірге ұмтылады (х>4 болған кезден бастап оны 1 тең функция деп есептей беруге болады).

Есептер мен тапсырмалар

1. Ықшамдаңдар: ,

2. Есептеңдер: ,,

3. Жасырылған төрт орынды санның тек әр түрлі цифрлардан тұра­тыны ғана белгілі. Айтылған төрт орынды санның жасырыл­ған сан болып шығуының ықтималдығы қандай ? Ал егер цифр­лары қайталануы да мүмкін болса ықтималдық қалай өзге­реді?

4. Топта 25 адам бар. Староста мен оның көмекшiсiн сайлау керек. Таңдап алудың қанша әдiсi бар ?

5. А – кездейсоқ, U - ақиқат, V - жалған оқиғалар. Мына оқиғалар ненi бiлдiредi: U + V , , , A+U , A+V , , , , ?

6. Кездейсоқ сандар тiзбегiнен кез келген сан алынған. А-алынған сан 5-ке бөлiнедi; В - алынған сан 0-мен аяқталады. А-В оқиғасы ненi бiлдiредi?

7. А оқиғасы - 4 бұйымның кемiнде бiреуi жарамсыз. оқиғасы ненi бiлдiредi?

8. Жақсы араласқан 52 картадан кездейсоқ бiреуi алынған. Оның 1) тұз болу ; 2) түсi қара болу 3) қиық (бубной) болу ықтималдығы неге тең ?

9. Екi ойын сүйегi лақтырылған. Түскен ұпайлар 1) қосындысы 6-ге тең болу; 2) қосындысы 8, ал айырымы 4 болу ықтималдығын табыңдар

10. Екi теңгенi бiр рет лақтырғанда 1 сан, 1 елтаңба түсу ықтималдығы неге тең ?

11. Мерген 100 рет нысананы көздегенде 70-i тиген. Мергеннiң нысанаға тиюiнiң салыстырмалы жиiлiгiн табу керек.

12. Мына оқиғаға қарсы оқиғаны табу керек: {екi мерген де нысанаға тимедi}.

13. Мергеннiң нысанаға тигiзу ықтималдығы 0,8. Бiрiншi жолы тигiзбей, екiншi жолы тигiзуiнiң ықтималдығы неге тең ?

14. Ойын сүйегiн лақтырғанда 5 немесе 6 ұпай түсу ықтималдығы неге тең ?

15. Үш ойын сүйегi лақтырылған. Ең болмағанда бiреуiнде 6 ұпай түсуiнiң ықтималдығы неге тең ?

16. 10 жарамды және 3 жарамсыз детальдан тұратын партиядан тексеруге 5 деталь алынған. Алынған детальдар арасында 1 жарамсыз деталь болуының ықтималдығын табыңыз.

17. Дүкенге келген адамның тоуар сатып алу ықтималдығы 0,1. Келген 4 адамның кемiнде бiреуiнiң тоуар сатып алу ықтималдығы неге тең?

18. Үш мерген нысанаға бiр оқтан атады. Бiрiншiсiнiң тигiзу ықтималдығы 0,5; екiншiсiнiкi - 0,6; үшiншiсiнiкi - 0,7. Нысанаға бiр де бiр оқ тимегендiгiнiң ықтималдығын табыңыз.

19. Жанұяда 4 бала бар. Ұл және қыз баланың дүниеге келу ықтималдығы бiрдей деп алып, жанұяда екi ұл, екi қыз болу ықтималдығын есептеу керек.

20. Оқты бiр рет атқанда нысанаға тию ықтималдығы 0,8. Төрт рет оқ атылған. Екi рет нысанаға тию ықтималдығын табу керек.

21. Екі шахматшының шахмат ойнау шеберлігі бірдей деп алып төрт партияның үшеуін ұту мен сегіз партияның бесеуін ұтудың ықтималдықтарын табу керек.

22. Телефон станциясында әрбір тапсырыс қабылдағанда қате жіберу ықтималдығы 0,009. Станция 1000 тапсырыс қабылдады. Сонда 9 тапсырыстың қате қабылдану ықтималдығы қандай?

23. Факультетте 1825 студент оқиды. 1-қаңтарда 4 студенттің туған күні болу ықтималдығы қандай? (Р₅(2)=0,1755)

24. Ауылда әр 100 жанұяның 80-де мұздатқыш бар. 400 жанұяның 300-де мұздатқыш бар болу ықтималдығын табу керек. (f(2.5)=0.0175)

25. Ауылда әр 100 жанұяның 80-де мұздатқыш бар. 400 жанұяның мұздатқыштары барларының саны 300-ден кем емес, 360-тан артық емес болу ықтималдығын табу керек. (Ф(2.5)=0.9876)

26. 9 кiтаптың кез келген 5-i ғана сөреге сияды. Осы 5 кiтапты қанша тәсiлмен орналастыруға болады.

27. Қорапта 15 зат бар. Кездейсоқ екi зат алудың қанша жолы бар ?

28. Кездейсоқ сандар тiзбегiнен кезкелген сан алынған. А-алынған сан 5-ке бөлiнедi; В - алынған сан 0-мен аяқталады. АВ оқиғасы ненi бiлдiредi?

29. В оқиғасы - 4 бұйымның iшiнде жарамсыздар саны екiден аз емес. оқиғасы ненi бiлдiредi?

30. «студент» сөзiнiң әрiптерiнен кездейсоқ бiр әрiп таңдап алынған. Алынған әрiптiң дауыссыз болу ықтималдығын табу керек.

31. Жәшiкте бес нөмiрленген шар бар. Бiреу-бiреуден iзбе-iз барлық шарлар алынған. Шарлардың нөмерлерi өсу ретiмен шыққан болу ықтималдығын табыңдар.

32. Мерген 100 рет нысананы көздеген. Мергеннiң нысанаға тиюiнiң салыстырмалы жиiлiгi 0,7 болса, барлығы қанша оқ тиген ?

33. Топтағы 6 студенттiң 3-i озат. Тiзiм бойынша алынған 4 студент арасында 2 озат болу ықтималдығы қандай ?

34. Үш ойын сүйегiн қатар лақтырғанда бiрдей сандар түсуiнiң ықтималдығын табыңыз.

35. Екі шахматшының шахмат ойнау шеберлігі бірдей деп алып төрт партиядан кем дегенде үшеуін ұту мен сегіз партиядан кем дегенде бесеуін ұтудың ықтималдықтарын табу керек.

36. Тұқымға арналған бидай дәндерінің ішінде 0,04% арамшөп дәндері кездеседі. Кез келген 50000 дәннің ішінде арамшөптің 5 дәні кездесу ықтималдығы қандай?

37. Аукционға қойылған акция пакеттерінің 20% бастапқы бағада сатылады. Аукционға қойылған 9 акция пакетінің бастапқы бағада

а) 2 пакеттен кем;

б) 2 пакеттен артық емес;

в) ең болмағанда екі пакет

сатылу ықтималдығын табу керек.

38. Қаржы инспекторы қаладағы әр екінші шағын кәсіпорын қаржылық заңды бұзатындығын анықтаған. Қаладағы 1000 кәсіпорынның қаржылық санды бұзушылар саны

а) 480; б) 480-нен кем; в) 480 мен 520 арасында болу ықтималдықтарын табу керек.