Лабораторная работа № 8.

Численное решение обыкновенного дифференциального уравнения

Задание

Решить заданное дифференциальное уравнение для x  [0,1] методом Эйлера и исправленным методом Эйлера с точностью 0,1 и оценить погрешность решения по правилу двойного пересчета.

Варианты:

1. y' = y - 3x/y с начальным условием y(0) = -1

2. y' = 2y - 3x/y с начальным условием y(0) = -0,7

3. y' = y – 2,5x/y с начальным условием y(0) = 0,9

4. y' = 3y - 3x/y с начальным условием y(0) = 0,44

5. y' = y - 4x/y с начальным условием y(0) = 1,2

6. y' = 2y - 4x/y с начальным условием y(0) = 0,9

7. y' = 2y – 2,5x/y с начальным условием y(0) = 0,7

8. y' = y – 1,5x/y с начальным условием y(0) = 0,7

9. y' = 3y - x/y с начальным условием y(0) = 0,25

10. y' = 3,3y - x/y с начальным условием y(0) = 0,23

11. y' = y – 3,5x/y с начальным условием y(0) = 1,2

12. y' = 2y – 3,5x/y с начальным условием y(0) = 0,9

Отчет о выполнении работы в лабораторном журнале

Отчет о выполнении работы в лабораторном журнале должен содержать следующие численные результаты:

• Исходные данные

• Расчетные таблицы и формулы

• Формулы для оценки погрешности

• Значения y(h) и y(h/2) в точке х=1

• График функции у(х)

Пример выполнения лабораторной работы в MS Excel

Этапы выполнения работы

Задача: Найти решение уравнения y’ = 0,25y² + x² c начальным условием Y(0) = -1 простым и исправленным методом Эйлера на отрезке [0;1] с шагом 0,1. Найти погрешность решений методом двойного пересчета.

1. Создадим электронную таблицу для решения задачи методом Эйлера. Таблица имеет следующую структуру:

Метод Эйлера	Заголовок столбца	Содержимое столбца
	x	Текущее значение переменной x, изменяемое с шагом h/2
простой	y(h/2)	Текущее значение переменной y, рассчитанное с шагом h/2 по формуле yi+1=yi+(h/2)*f(xi,yi)
	y(h)	Текущее значение переменной y, рассчитанное с шагом h по формуле yi+1=yi+h*f(xi,yi) (столбец заполняется через строку)
	d	Значение погрешности в текущей точке вычисляется по формуле êyi(h)-yi(h/2)ô (столбец заполняется через строку)
исправлен-ный	y(h/2)	Текущее значение переменной y, рассчитанное с шагом h/2 по формуле yi+1=yi+(h/2)*Ф(xi,yi)
	y(h)	Текущее значение переменной y, рассчитанное с шагом h по формуле yi+1=yi+h*Ф(xi,yi) (столбец заполняется через строку)
	K(h/2)	Текущее значение f(xi,yi), рассчитанное с шагом h/2
	K(h)	Текущее значение f(xi,yi), рассчитанное с шагом h (столбец заполняется через строку)
	Ф(h/2)	Текущее значение Ф(xi,yi), рассчитанное с шагом h/2 по формуле 0,5*K + 0,5*f(xi+h/2, yi+(h/2)*K)
	Ф(h)	Текущее значение Ф(xi,yi), рассчитанное с шагом h по формуле 0,5*K + 0,5*f(xi+h, yi+h*K) (столбец заполняется через строку)
	d	Значение погрешности в текущей точке вычисляется по формуле êyi(h)-yi(h/2)ô/3 (столбец заполняется через строку)

2. Учитывая правило двойного пересчета, занесем в блок А3:А13 значения x от 0 до 1 с шагом 0,05.

3. В 1-й строке зададим названия методов, во 2-й - названия столбцов.

4. В ячейках B3,C3,E3,F3 зададим начальное значение функции у –1.

5. Расчетные формулы (для заданной функции) в строках 3, 4 и 5 приведены в таблице

   ячейка	формула
   Строка 3
   D3	=ABS(C3-B3)
   G3	=0,25*E3^2+A3^2
   H3	=0,25*F3^2+A3^2
   I3	=0,5*G3+0,5*(0,25*(E3+0,05*G3)^2+(A3+0,05)^2)
   J3	=0,5*H3+0,5*(0,25*(F3+0,1*H3)^2+(A3+0,1)^2)
   K3	=ABS(F3-E3)
   Строка 4
   B4	=B3+0,05*(0,25*B3^2+A3^2)
   E4	=E3+0,05*I3
   Строка 5
   C5	=C3+0,1*(0,25*C3^2+A3^2)
   F5	=F3+0,1*J3

6. Значения в остальных ячейках получим с помощью копирования этих формул.

7. Для оценки погрешности решения используем встроенную функцию MS EXCEL МАКС.

8. По таблице построим точечные диаграммы по диапазонам А2:С23 (для простого метода Эйлера) и А2:А23;G2:H23 (для исправленного метода Эйлера). При построении диаграмм необходимо задать названия осей координат и диаграммы в целом. Отформатируем шкалу оси y таким образом, чтобы кривая была хорошо видна на диаграмме.

Теоретические основы

Пусть дано:

• дифференциальное уравнение y’=f(x,y),

• интервал изменения переменной x:[x₀; x_n],

• шаг интегрирования h,

• начальное условие y(x₀)=y₀.

Найти численное решение обыкновенного дифференциального уравнения (таблицу приближенных значений y₁, y₂, …, y_n решения уравнения y(x) в точках x₁, x₂,…,x_n).

Простой метод Эйлера

Значение y в следующей точке рассчитывается на основе предыдущего значения y и производной в предыдущей точке:

y_i+1=y_i+hf(x_i,y_i), x_i=x₀+ih, i=0,1,2,…,n. (1)

Исправленный метод Эйлера

Значение y в следующей точке рассчитывается на основе предыдущего значения y и значений двух производных (в предыдущей точке (x_i,y_i) и в точке (x_i+h, y_i+hf(x_i,y_i)):

y_i+1=y_i+0.5h[f(x_i,y_i)+f(x_i+h, y_i+hf(x_i,y_i))], x_i=x₀+ih, i=0,1,2,…,n. (2)

или

y_i+1=y_i+hФ(x_i,y_i), (2а)

где Ф(x_i,y_i)= 0.5[f(x_i,y_i)+f(x_i+h, y_i+hf(x_i,y_i))] (2б)

Точность численного решения оценивается по правилу двойного пересчета. Необходимо проделать вычисления не только с шагом h, но и с шагом h/2. Далее сравнить значения, полученные при одних и тех же значениях x:

e = (max êy_i^(h)-y_i^(h/2)ô)/(2^k-1), (3)

где k – порядок метода, k=1 для простого метода Эйлера и k=2 для исправленного метода Эйлера.