Лабораторная работа № 5

Решение задачи одномерной оптимизации методом «тяжелого шарика»

Задание

Найти интервалы унимодальности заданной функции на интервале [-1 ; 3] с точностью 0,2.

Минимизировать заданную функцию с точностью =0,0001 методом «тяжелого шарика».

Используя окно диалога "Поиск решения", уточнить координаты всех экстремумов (минимумов и максимумов) заданной функции на заданном интервале.

Варианты

1. f(x) = x3-2x2-5arctg(2,5x)

2. f(x) = x3-2,5x2-1,5arctg(10x)

3. f(x) = x3-2x2-0,7arctg(3x)

4. f(x) = x3-2,1x2-0,8arctg(4x)

5. f(x) = x3-2,8x2-0,2arctg(5x)

6. f(x) = x3-2,9x2-0,7arctg(2x)

7. f(x) = x3-2,2x2-1,7arctg(0,8x)

8. f(x) = x3-1,8x2-0,7arctg(0,2x)

9. f(x) = x3-1,5x2-1,5arctg(5x)

10. f(x) = x3-2,1x2-5arctg(1,5x)

11. f(x) = x3-2,3x2-3arctg(1,8x)

12. f(x) = x3-1,4x2-4arctg(1,9x)

Отчет о выполнении работы в лабораторном журнале

Отчет о выполнении работы в лабораторном журнале должен содержать следующие численные результаты:

• Результаты поиска интервалов унимодальности и график функции;

• Уточненный методом «тяжелого шарика» минимум функции и достигнутую точность;

• Уточненные поиском решения значения всех экстремумов функции на заданном интервале.

Пример выполнения лабораторной работы в MS Excel

Этапы выполнения работы

1. Создать электронную таблицу для поиска экстремумов функции одной переменной.

Поиск экстремумов функции состоит из двух этапов. Нахождение интервалов унимодальности (интервалов, на которых функция имеет один экстремум и не имеет точек перегиба) выполняется табулированием функции и графически. Уточнение экстремумов выполняется двумя способами: А) методом тяжелого шарика (минимум функции в соответствии с заданием); Б) при помощи окна диалога MS "Поиск решения" (уточняются все экстремумы).

В первой строке таблицы расположить название работы. Во вторую строку ввести уравнение в соответствии с номером варианта. Обе строки текста выделить жирным шрифтом и выровнять по ширине 5-ти столбцов.

2. Поиск интервалов унимодальности.

Для поиска интервалов унимодальности функции необходимо построить таблицу значений заданной функции на заданном отрезке [x_нач;x_кон]. В третью строку ввести название таблицы – «Поиск интервалов унимодальности». Названия столбцов X и f(X) выделить жирным шрифтом. Для расчета значения аргумента X от x_нач до x_кон с заданным шагом использовать формулу. Значения аргумента X должны иметь 1 знак после запятой. Значения функции f(X) должны иметь 2 знака после запятой. Интервалы унимодальности должны быть обведены рамкой.

Построить график функции на заданном отрезке. Диаграмму расположить справа от таблицы значений функции. Название диаграммы должно содержать исследуемую функцию. Шкалы осей должны содержать целые числа. Область построения диаграммы должна быть белого цвета.

Выписать результаты поиска интервалов унимодальности. Под диаграммой ввести текст – «Интервалы унимодальности» и выделить его жирным шрифтом. В следующих строках ввести тексты – найденные отрезки, содержащие ровно один экстремум с точностью до 0,2.

3. Построить таблицу для уточнения заданного экстремума функции. Ниже результатов отделения поиска интервалов унимодальности ввести текст – «Уточнение минимума методом "Тяжелого шарика"» и выделить его жирным шрифтом. Ввести названия столбцов таблицы жирным шрифтом и заполнить расчетную таблицу формулами.

Название столбца	Значения в столбце
n	Номер итерации (0 для начального приближения)
x	Левая граница интервала унимодальности на текущем шаге вычислений xнов=x+h
F(x)	Значение функции на этом шаге вычислений
h	Значение шага
d	Достигнутая точность на текущем шаге d = |h|
?	Достигнута ли заданная точность вычислений (да или нет)

В качестве начального приближения использовать найденный на этапе отделения корней отрезок, содержащий один экстремум. Для определения новых границ отрезка и проверки достигнутой точности вычислений использовать логическую функцию ЕСЛИ.

hнов = {

h, если f(x)<f(x+h) -h/2, если f(x)>f(x+h)

}

Выделить светло-желтым фоном ячейки, содержащие начальное приближение, уточненное значение экстремума, достигнутую точность решения и количество итераций.

4. Уточнение экстремумов при помощи окна диалога MS "Поиск решения"

Ниже найденного методом тяжелого шарика минимума функции ввести текст – «Уточнение экстремумов "Поиском решения"». Скопировать из таблицы значений функции заголовки столбцов и первую строку с формулами. Исправить название столбца с аргументом X на X₁. В качестве начального приближения использовать одну из границ первого отделенного отрезка. Уточнить значения экстремума, используя окно диалога «Поиск решения». Убедиться, что уточненное значение принадлежит отделенному отрезку. Ниже аналогично уточнить остальные экстремумы функции.