МК5,6
.pdf
- 12 -
Подcrавнм это выражение в (1) |
|
1 = 1(1-1)dт . |
(2) |
Выразим модуль r через I'оординаты x,y,z элемента dm, а I - через те
же хоординаты Н нanpaшlющне оси ОА:
,2 = х2 + у2 + z2 ,
1= x·OO5a + y·cosP+z·cosy.
Эна., что cos2 а+ cos2 Р+ Cos2 У =1, npeдcrавим х2 ,у2,z2 в виде:
х2 = x1(OO52 а + cos2 fJ + cos2 у),
у2 =i (0052 а + соз2 Р+ cos2 у),
z2 =z2 (0052 а+ cos2 fJ + cos2 у).
ПодcrавН8 8 ФОРМУЛУ (2), получим:
1 =ll(~ + у2 + z2)(cos2 а+ cos2 Р+ cos2 у).
-(ж·сою+ y,cosP+z.cosy)Z]dm
Преобра.1о_, nOJlY'lllK
1 =1(у2 +z2)cos2 a+(z2 +x2)cos2р+(х2 + у2)cos2 у-
(3)
~..... оо&р- 2)1%' cosfJ· oosy - 2xz. cosа· ~y)dm.
Вwpurcнн. при ~вадрат3JI _ОСИНУОО8 yrЛО8 npeдc:тaвmrют собой
..OIlC:ll11ol инерции TClla omоснтenьно осей координат, онн всегда
lIOJIO.иreJIьны:
lхх = J(y2 +z2)dт,
1» = 1(z2 +x2)dт.
lzz =J{;J2 +y2)dm.
/ху = /ух = -!X)fIm.
lyz = lzy = -I)7dm.
l:x' = lxz = -Ix:dm
называют центробежными моментами ниерции. эти величины MOryr
бьrn. ПОЛО]lН1'eJlЬными нлн отрнцательными, или быть равными нулю.
Рассмотрнм геометрическую ннтерпретацию формулы (3). Отложим or
http://www.mitht.ru/e-library
- 13 -
= 1
l{а'lала JCоординат вдоль осн ОА отрезок R ТI 8 пронзвольном
масшта\Jе, где I - момент инерции тела относительно данной оси. Концы отрезков, отложенных на осях, образуют замкнyryю
поверхность.
Найдем уравнение этой поверхностн. Координагы Х.У.1 конца отрезка
1
ДЛIIН R =.fi равны:
cosa |
z _ oosr. |
|
Х, =71' |
1- Ji |
' |
cosa =x1Ji, |
cosr = z,-Л. |
|
Подставив выражение для cosa. cosf3 и cosy |
в формулу (3), получим, |
|
что искомая поверхность описывается уравнеиием |
|
|
IxxXf + Iyyyf + Izzzf - 2IxyxlYI +2IYZYIZI'" 2Ixzxlz, =J. |
(4) |
|
Это уравнение определяет поверхнocrь второго порядка. которая называется ЭJVIunсоuдом инерчии относительно точки О. При изменении
положения начала координат О относительно тела. изменяется Jf
",ллипсоид инерции.
ПРИдожение 2.
Крynmьныlt маятник
Крyrнльныlt маятник представляет собой массивное тело, подвешенное
I,a ТОПОЙ УПРУГОЙ струне. (В нашем случае - закреплеиное между
двумя участками вертmcзльио напнутоlt струны· см.рис.б.)
РиС.б. Крутильный маятнmc.
При повороте маятниха из положения раВНОВWIЯ на НekОТОРЬ:Й малый
угод ер на него со стороны струны действует момент СИ.'J упругости
http://www.mitht.ru/e-library
- 14 -
М(упр) =-О<р , |
(1) |
где D постоянная, хараnеризующая момент упругих сил
(аналогичиu жесткости k пружины при деформации сжатия - раCТIIЖСНМ). Величниа D определяется модулем сдвига а, длиной
проволоки (, ее радиусом и равна для каждого участка
1r G |
|
4 |
'D |
= D) + D 2 |
|
D,· = --г· |
|
. |
|||
2 (., |
' |
|
, |
|
|
Уравнение движения маятника (если tle учитывать момент сил трения) |
|
Ie =М(упр), |
(2) |
где.- угловоеускоренне( е= ~f).
в случае крymльного маятника уравнение движения имеет вид:
d 2 |
ф |
(3) |
1 -- = - D Ф . |
||
dt |
2 |
|
Уравнение (3) _ВJ1JIется дифференциальным уравнением гармоничecJ(ИХ
колебаиий с периодом
T=21r.Jl;, |
(4) |
Эro выражение справедливо, если нет затухания. Практически для этоro достаточно чтобы число колебаний N. за которое амплитуда уменьшается в 2-3 раза, удовлетворяло неравенству N~IO.
(Более подробно круrильный маятню( рассмотрен в работе MK-t3).
http://www.mitht.ru/e-library
- 15 -
Лабораторная работа МК~
Изучение колебаний связанных маятников
1. Цель работы
Изучение собственных колебаний системы с двумя степе
нЯми свободы
2. Теоретические основы работы
П{:имером !<олебательных систем с несколькими степенями свободы
явля~тся связанные маятники, элект~ические ,колебательные контуры,
молекулы и т.д.
i1ростейшей системой с двумя степеНЯ;\<iИ овободы является система
из ДВУх одинаковых маятников, связанных невесомой пружиной, рис. 1.
При анализе колебаний мы обязаны учитывать одновременное движение обоих маятников.
I
L т |
|
I |
||
|
, |
|||
|
I |
|||
m. |
Ь |
|||
|
||||
Рис. |
1 |
Связанные маятники |
Рис.2 Сипы, деАству~щие |
|
|
|
|
|
на маятники |
На рис.1 |
m |
- масса каждого |
маятника, t - дnина стержня |
|
подвеса, |
ci |
- р~~стояние от точки |
подвеса до точки закреппения пру |
|
жины (одинаковое для К8аЩого маятника), ~ )1., ~ - yr,... ОТКlIонен..я
от положения равновесия первого И второго маятника.
На рис.2 указаны силЫ. деАствуDЩИe на пер...", и второй ММТНИК
длЯ спучая ч{ >~ : ~ - CIIJla тя.ести. Н' - реакция стерЖНР, |
|
т - упругая сила DpуЖИНЫ. по закону Гуаса: |
|
Т= -/(Д~ |
(1) |
http://www.mitht.ru/e-library
|
|
- 16 - |
где К |
.- |
коэФl!ициент жесткости пt:ужиНЫ, |
~Jr |
- |
абсолютная дефор~я пружины. |
Абсолютная деформация пружины равна:
|
|
L1X:.rd{sin,q. -.S'in~) |
|
(2) |
|
Для М8JIЫX углов |
'. 'д. и ~ |
можно принять: sin ~~ v? |
,Jiis.,q~~ |
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 ) |
Уравнение колебаний маятников напишем, используя второЙ закон |
|||||
Ньютонад~я вращательного цвижения: |
|
|
|||
|
'2 |
:Jc. ==2:.Mi |
оси, |
(4) |
|
где |
У;:тf ---момеАТ.инерции.маятника.ОТНfiJCИТВJlIiНО |
проходя |
|||
|
|
~Й чеt:ез |
точку подвеса, перпеНДикулярно |
плоскости |
|
КаАания маятника,
€ - угловое ускорение,
~~. - алгебраическая сумма моментов сил относительно этоЙ оси.
Уравнение движения первого маятника с учетом (3): |
|
|||
тfZJ;ft = -mge~ -Kd~'~-'Pz) . |
(5) |
|||
Уравнение движения второго маятника: |
|
|
||
те2 ~7: = -m?e~+ KdYv;, -'Pz.) |
(6) |
|||
Р&3деJlИМ уравнения (5) и (9) на mf2., получим |
|
|||
~~ __ ~ |
kd2 |
) |
|
|
l - |
е. ч1 - |
mе2 ('P,-~ |
|
(7) |
~i::: -ftf1. 1- |
~1~(ср,-~) |
(8) |
||
|
|
|
|
|
Сложи... ПОЧJ!енно уравнения (7) |
и (8), сделав |
замену |
пвременных: |
|
8; ::. <А 1-<P.z |
(9) |
ПОn1ЧIOll уравнение
fЛ + 1-в,=0'
Вычтем почленно уравнения (7) и (8). СД9лав замену переменны,:
fJz~<р,-~ (11)
По~vчим уравнение:
|
Z |
(12) |
JlfJ;f (~ 1 2Kd ).a. _О |
||
d.y (' rn (1. |
!7z - |
|
http://www.mitht.ru/e-library
- 17-
Уравнения (10) и ( 12) имею'!' решения:
ff, =21, Ca$(G),t+~,)
(13)
~ ~2.A2 CQj(Qzt +0(2)
где 2J1, ) 2.12 - амПЛИТУДЫ гармонических колебаниЯ;
0(1) ~ 2 - начальные фазЫ колебаний;
lV, ) U)2 - частоты гармонических колебаний.
Как следУет из (10) И (12) : |
re |
mrr |
|
|
CVf |
= ff; |
|
||
|
|
~=1/2. + |
2ка} |
(14) |
ИСПОJlЬЭУя формулы (9) и |
(11) t выло./IНИМ обР8l1'НЫЙ |
переход к пере_Н- |
||
ны" <р, И 'I!: |
|
<Pz=f(O, - e~ |
|
|
<Р,::f{&, ~ (2) ; |
(15) |
|||
|
|
|
|
|
УЧИТЫВ8Я t ЧТО смещение |
М8J1'l'НИКОВ мо.но вьrpааить |
как |
|
|
:t,=- (~; |
~z= f.YJz > |
|
|
|
пояучим для колебаний K~OГO М8J1тника:
х,=В,С05(r..з,t:+oL,)+SZ СQб(t4,t +OI.~)
(16)
~z~8, C05(t.J,t +oCJ- BzcM{GV~t+ol;,)
где |
8, == .J,.{ и |
|
Таким образом. 1СОJlебания ДВУх свяэанных мaII'1'НИICо8 БУ1lrt с......ы В8ТЬСЯ ИЗ дВУх гармонических колебаний с частотами GV, и ~ •
которые наз~В8Ются мoдaм~. Ьсли разность ЭТИх Ч8С'l'от мала ПО сравне·
нию с частотами самих колебан~й: |
|
L}G.)=/t;)2-r.iJ,/« tVf~ U)oг |
(17) |
то такие колебанИII HOC{lT название биений.
Колебание пояучивmeеся в результате сложения дв.vx гармонических
колебаний с разными частотами, в обще" сяучае не будет гармоничr.ским.
Рассмотрим колебание пэрвого М8J1тника:
х,:::в,СО$(tV,t+oIJтlЗzCo&(f.A)2 t+<4) :::;.B,C~(tAJ,t+oL,y (18) tВfСО.1(~t+-oIz)+(fJ,z -131) CO:j(CV2 t fc(~) ==
http://www.mitht.ru/e-library
- IA -
Рассмотрим частный случаА В, =В2:: В ,тогда из (18) |
получим |
tr,::2BcOj(~'t +~~.J'J.соз(4J2;Qfi -+ «~I>I~ |
(19) |
Колебание, как видно из (19), не является гармоническим, |
но его |
можно рассматривать как колебание с частотой G):l(c.Jz+LtJt), у кото
рого "амnпитуда" колебаний
2 BC01(tV{lN1/; + ~l;<:>lj
медленно меняется со временем с частотой jjlA)=/(,J2~/. Период изме-
нения амnпитуды: |
7:= 2:Ji: :::: |
2Х |
|
|
|
|
||
|
|
tЗЦ) |
I Ц)2 - |
lU1/ |
|
(20) |
|
|
называю'г периодом биений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Частоты Ц): и CV.z |
зависят от физических параметров системы |
|||||||
маятников: их длины l |
массы |
грузов |
nt ,жесткости пружины |
К и |
||||
места ее прикрепления |
cl , |
но |
не зависят от |
начальных условий, |
при |
|||
КоторЫх возникают колебания. Поэтому частоты |
CV t |
И Ш2 |
называют |
|||||
также собственными часто~ами системы ДBY~ маятников. |
|
|
||||||
От начальных условий, Т.С. от способа возбуждения колебаний, за |
||||||||
висят ТОJlЬКО амплитуда |
/31 и |
82 И начальная фаза |
0<,,, |
0<2 • |
|
|||
При равенстве 81:: В, ,биения будУТ "чистыми", т.е. "амплитуда" маят
ников достигнет НУЛЯ, а при в,:/: 62 |
будУТ биения с тем же пеГИО)1("'~ |
1:' (20), но "амплитуда" не будет достигать НУJlЯ.
Рассмотрим колебаНия связанных маятников при разлиЧНЫх начальных
условиял возбуждения ко~ебаниЙ.
1) Отклоняе,>! оба маятника на один и тот же угол в одну сторону (синфазны~ колебания) и отпускаем. При таких колебаниях нет воздейст
вия ПРУЖ!1НЫ И оба маятника будУТ совершать колебания, как будто лру
жины нет. Частота колебаний обоих маятников одинакова |
и равна собст |
|||
венноЯ частоте Ф,~ VТ . Частота |
U)t |
- частота синФазных |
колебаний |
|
2) Если отклонить оба маятника |
в разные стороны на |
один и |
тот ~e |
|
угол (8Нтифазные колебаниЯ), то маятники |
будУТ совершать колебания |
|||
в противофазе (антиФазные'колебан~я), пру~ина будет сжиматься и
разжиматься, но ее середина будет оставаться 8 покое. Уравнения КО хе~аниR (7) и (8) будУТ иметь ьид:
d~.p, -.я.. |
Kd Z |
|
ёffi -- е ~ - |
тет (<Р, - st~J |
(2I) |
http://www.mitht.ru/e-library
- 19-
Из фор-\Ул (21), с учетом п~еобразований (10) .(12) .(13) и (Iб). по
лучим. что колебаниЯ маяТНИКОВ будУТ п~оисходить с ОДhОЙ частотой |
|||
6.)'2 |
::::VL |
2Kd2z |
с одной и той же амплитудой. но в л~отиво- |
фазе. |
r |
+те |
|
|
|
|
|
3) Отклонив пеI;DUЙ маятник на небольшой угол. втоrой задержим в
положении ~аЩlOвеСИfl. Затем OДHOB~eмeHHO отпустим оба маятника.
Будем наблюда.ть "биения" / - пет;иодические изменения "амплитуды" во
времени с пеj;ИС'ДОМ "с" (~O). j{аFтина колебаний ДЛЯ K~OГO маятника
пред~тавлена на гр&~ике рис.з
.т,
1'2
,}\ ~ |
lл А |
.4 лА/ |
|
|
11 |
t |
|
|
|
||||||
" У' |
VV |
Ч |
УН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q:
Рис.3 Биения.
Первый маятник начинает колебания, пружина междУ маятником сжи
мается и -растягивается. Упругая сила пружины будет действовать на
BTO~O~ маяТНИК, и он начнет постепенно Fаскачиваться. Энергия, сооб
щенная nej;BoмY маятнику. будет пеFедаваться BTOPO~, при этом anмлиту
да колебаний nerB~ro маятника будет постепенно Убывать, а_мзлитуда
I<олебаний второго М8J1тниt<а - Н8.paCTaTЬ~ Все это продо•.ltается до тех пор, nOl<a пе-рвыА маятник не остзиовится, а второА не будет качаться
с амплитудой, почти такоА же, J(aK и первый в начtihьный момент (ёсли
поrерями на трение можно rrpeнебречъ). Затем чаре$ время % -ммтни'"
~ ~Н~СЯ'FОЛЯМИ: второй М8ЛТНИК начинает раскачивать первыА. Маят
ники будУТ совершать колебания "амплитуда- .oroPblX будет то нарастать,
http://www.mitht.ru/e-library
-20-
"убывать. Механическая знеРГИ8 бу.ет через Время '92 lIОJlНОСТЬЮ
8I8реходить от одного маятника к другому, а через вреМЯ |
't"" прочесе |
|||
I04НОСТЬЮ повторяется. Время |
~ |
- период биений. |
|
|
4) Частоты GU, |
И ~2 являются собственными частотами данной систе |
|||
.... ЕсЛИ npилOJ\tить |
К такой системе |
внешнюю гармоническую |
силу Ji.,= |
|
э.;~J2t; , то оба маятника спустя некоторое время будУТ совершать
ВынУжденные гармонические колебания с частотой внешней силы - ~
Амплитуда вынужденных колебаниЯ маятников будет зависеть от частоты
" от собственных частот <А)1 и W, так же, как и при вынужденных ко ~ебаниях с одной степенью свободы, т.е. будет наблюдаться резонанс. При малом затухании (малЫх по~ерях на трение)резонанс, т.е. макси
мальное знач~ние ~~плитуды коnебаний Оудет набnюдаться тогда, когда
частота вынуждающей сипы ~ будет совпадать с одноЯ из собствен
ных частот связанных маятников. Зависимость ампnитуды вынужденных
коnебаний одного из маятников от частоты~ при постоянноЯ ампnитуде
ВынУждающей сипы имеет ВИД, првдставnенный на риС.4.
Рис.4 Зависимость ампnитуды вынужденных коnебаниЯ 0'1'частоты
внешнеЯ гармоническоЯ силы.
http://www.mitht.ru/e-library
- 21 -
Э. Описание Jlабораторной установ'"
Общий вид установки представлен на Рис.5
/ J.' ,
(а) |
(6) |
|
|
Рис. 5 Установка для изучения колебаний с двумя степенями |
|
||
CBof'JAbl: а) вид спе~ди, б) вид Сбоку |
|
|
|
Два одинаковых маятника 1 и 2 массой nt(эначение массы указано |
|
||
на маятниках) с одинаковой ДJJиноА подвеса е |
УR~плены на общем крон... |
||
|
\' |
которые |
. |
meRHe З. Маятники СВIlЗаны друг с другом щ:1аl1Н&llИ 4 и 4 f |
|
||
крепятся на подвесе с г.О"ОЩЬD винтов 5. Ш't8Нга 6. раскаЧИ88D1qIUI маят |
|
||
никм. смэана с ними npу~JIНUIИ 7 и 7~ которне |
креПЯТСII винтами 8. |
|
|
http://www.mitht.ru/e-library