Банк задач
.pdfФедеральное агентство по образованию
Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В.Ломоносова
Кафедра высшей U nрuкладпой мате;,.,оmики
Джемесюк И.А. CaBQBa ля.
ТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК ОСНОВНЫХ
ВОПРОСОВ И ЗАДАНИЙ
по КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
(банк задач)
под редакцией l1РОФ. Э.М.Карташова
Москва. 2008
www.mitht.ru/e-library
УДК
ББК
51
22.1
PeHelВCIIT -- )10КТОР фю.-мат.наук, профессор в.в. IlIсве
лев
И.Л.Джемесюк. Jl.II.Савоиа
(НОД реп. нроф. 'Э.М.Карташова)
OCIIOBHbI\: маlсмаlическис понятия и операции 110 курсу
высшей маl'сматики Задачник. М.: ИПЦ МИТХТ. 26 с.
www.mitht.ru/e-library
При работе с банком студент обязан:
1. Уметь решать любой пример из банка.
2. Уметь четко формулировать теоремы, ука
занные в банке.
3. Ответить на экзаменах и зачетах на любой
вопрос из банка.
4. Уметь пользоваться банком при изучении
дисциплин на общеобразоватедьных и спе циальных кафедрах.
5. Иметь при себе банк на экзаменах и зачетах
по математике.
Кафедра вЫСlИей и nриl\.лад1l0Й математики
МИТХТ uм. Af.B. Ло.ионосова ставит Вас в известность, что по это.и)' банку специаль ные кафедры проводят входной КОllmроль по
математике.
www.mitht.ru/e-library
РАЗДЕЛ I
Эле.l.,енmaрные функции
1, Знать основные элементарные функции, их свойства и
графики:
|
у =ха; у = аХ;у =log |
х; |
,у:= ln х ; |
|
у = sin х ; |
||
|
|
а |
|
|
у =аrсsш .1" ; |
||
|
у = cos х ; |
у =tg х ; |
у = ctg х ; |
||||
|
у =arccosx; у = arctg х; |
у = arcctgx |
|
|
|||
2, Построить графики следующих функций: |
|
|
|||||
]) |
у = о |
8) У = 5 + 6х - х2 |
15) У = tg ~ |
||||
2) 3у =8 |
9) у = .J2; |
16) у = cos( х+ :) |
|||||
3) У = 4х |
|
|
],' |
|
|
|
|
10) У = (х + 1)1з 17) у = Зsiпх |
|||||||
4) |
У := 7:>: -- 8 |
11) У = еО,5Х |
|
18) |
|
1 |
|
|
У |
== ,.--- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
х-2 |
|
|
|
х |
|
|
|
( (\!х! |
|
2х + Зу - 6 = |
|
|
|
Y=l2) |
||
5) |
О 12) У =0,5 + 1 |
19) |
|||||
6) у=(.х"-1)2 |
13) у =!ln(x + 1)120) у = ln!xl |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
х |
= 1+ logo,:;(x -1) |
21)у |
1 |
') |
I |
|
7)у = "4- 14).11 |
= I |
- |
- 5х + 6; |
||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
3, Построить на плоскости линии, заданные уравнения-
ми: |
|
|
|
|
|
1) х = О |
3) х2 + у2 =: R k') |
|
5) У2 == х |
||
2)3х+15=0 |
4) |
2 . |
)2 |
? |
ух = О |
( х -а) +(у-Ь |
|
= R- 6) |
|||
4
www.mitht.ru/e-library
4. Построить графики след)'ЮЩИХ функций:
|
{ |
У = 2х -1, х < -1 |
|
{У =2х2 -1, Х < -2 |
||||
1) |
У =О, |
-1::; х ::; 2 ; 2) |
|
У = 5, |
х = -2 |
|||
|
У = -2х + 4, х > 2 |
|
|
У = -2х + 7, х > -2 |
||||
5. Знать таблицу |
значений тригонометрических функ- |
|||||||
|
~ |
|
ппп n |
и уметь распростра |
||||
ции для углов а = О; -; - ; - ; - |
|
|||||||
|
|
|
'6 4 |
3 |
2 |
|
Sill(5~-) и |
|
нять |
их на отрезок [О;2n]. |
Вычислить |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 / |
t g(7;).
6.В системе координат {x;lny} построить графики
функций:
1) У =ех ; 2) У = А·е-kx А > О, k > О.
РАЗДЕЛ 11
Преобразосание алгебраических выра.жени';.
Уравнения и нераве1lсmва.
1. Вычислить:
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
9 |
3 |
+ 0.5 |
3) |
(0,6)0 -(0,6)-1 |
|
215 --- - 208, |
||
4) |
16 |
4 |
|
||
|
|
|
|||
|
(;~(·ШЗ+1( , |
0.0001 : 0.005 |
|||
|
|
5 |
|
|
|
www.mitht.ru/e-library
2, Упростить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1)' |
а2 |
- |
Ь2 |
|
а3 |
- |
Ь3 |
|
2).Jx + 1, |
1 |
|
|
|||||||
|
а- |
Ь |
- |
а2 _ ь2 |
|
|
|
1+ .rx: + :;';\) __ .,j;; |
|
||||||||||
|
х3 |
+ У3 |
(2 |
у |
2) |
|
2у |
|
ху |
|
|
|
|||||||
3) ~ |
+ У |
\ |
х |
- |
|
+ |
х |
+ у - |
2 |
|
2 |
|
|
||||||
|
( |
|
1 |
|
|
|
1) |
|
|
х -у |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
т |
--n |
3 |
|
|
|
||||||||
4) l |
|
|
|
|
|
|
|
|
,3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ |
|
|
|
г- |
|
,--_._- |
|
|
||||||||
, |
|
|
г- |
|
|
|
|
|
2 |
+11m+n |
2 |
|
|
||||||
|
,m--vmll |
|
m+.уmn |
|
|
т |
|
|
|
||||||||||
5) (г2--+F1=a}( ~+1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
-У1+а |
|
|
|
|
|
v1-a- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Решить уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) Iзх -11 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
12) Igx=4Ig2+lg3 |
|
||||||||||
2) IЗх-21+х=11 |
|
|
|
|
|
13) log |
х + log |
4 = 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
х |
|
|
|
х-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14)Jog x=-1-10g_З |
||||||||
3) ---=-1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
х+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
S |
|
|
J |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
') |
|
4х + 1 = О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) Зх"' - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5) -J7 -- х := х-1 |
|
|
|
|
|
16) sin х - |
cos:t· == О |
|
|||||||||||
6) |
Ш=х:= Х |
|
|
|
|
|
|
17) sinx+cosx=1 |
|
||||||||||
7) JЗх-t~i -.Jx+4 =1 |
|
|
18) tg |
З |
х + 3 tg х == |
О |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
8) |
9-':::; 27х--1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
= О |
|||||
|
|
|
|
|
|
19) sin - х + 2sin х - 3 |
|||||||||||||
' |
.')2тх |
')2-х - 1~ |
|
|
|
|
20) 2sin 2 х+ Зсоsх =О |
||||||||||||
9) |
_ |
|
_.~ |
|
- |
J |
|
|
|
|
|||||||||
10) s1: |
_ 24::: s2-x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
') |
Х - 4 =О |
|||||||
|
|
|
|
21 )4 соsх ..- Sill - |
|||||||||||||||
11) 42/х _5.41:'Х +4=0 |
|
22) sin х + SiIl 3х ::; |
О |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
www.mitht.ru/e-library
4. Решить неравенства: |
|
|
|||
1) |
-1 < 1 |
2)]ogo.s(1- 2х)::;;; 1 |
3) ~x+7 <х |
||
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х-1 |
|
х-l |
5) х |
2 |
-7х+6<О |
6) 2х+1 > 1 |
4) --<Х |
|
||||
|
х+1 |
|
|
|
|
7) |
IS-2xl < 1 |
8) х2 -2х-З > О |
|
||
5. Пропорции, проценты
1) Найти 3% от числа 18;
2) Сколько процентов составляет число 12 от числа 15? 3)Число 5 составляет 7% некоторого числах .НаЙти х. 4) Найти х из соотношения:
|
а)а+Ь =_Ь_ |
b)~= а2 +a+~_ |
||
|
х |
а-Ь |
а-1 |
а |
|
5) Разделить 17 на части, пропорциональные 3 и 7. |
|||
|
|
|
РАЗДЕЛ 111 |
|
|
|
Вычисление пределов |
|
|
1. |
Знать определение предела последовательности. |
|||
2. |
Знать определение предела функции в точке и его гео |
|||
метрический смысл.
3. Знать определение бесконечно малой величины и таб лицу эквивалентных бесконечно малых величин.
4. Вычислить пределы:
]) lim х2 - 4х+ 3 x~1 х(х-l)
. -Гx--~--1
2) 11т ----
x-~2 :.1:: - 2
·arcsin Sx
5)1lт----
X~O tgЗх
2)ЗХ
6) lim ( 1+-.)
X~OO .t
7
www.mitht.ru/e-library
з
3) Нт З; + 1Sx
X~<X:' Х -2х+3
,~
4) Нт ~} +5х
Х-+:IO 2х2 - 6х + 3
9) Jiш |
|
x-~O In 2 (I - |
fx) |
3х3 |
- ]ох8 |
] _ е-5х |
|
] 1) liш --------
X~ёC 2х3 -12х +:х7
|
|
|
х |
|
|
7) lim е ~-1 |
|
||||
X~O |
|
.)х |
|
|
|
8) |
. |
cos х-l |
|
||
1т |
----- |
|
|||
х->О |
|
4:х |
2 |
|
|
' |
|
|
|
|
|
1О) |
Нт |
8х5 + 15х |
|||
|
- 2х6 |
+ 3:х |
|||
|
X~X) х3 |
||||
" |
1- |
|
sin2 |
x-tg |
2 x |
1.... ) |
1т |
-----"-- |
|||
X~O |
|
4х4 |
|
||
5. Исследовать на непрерывность функции:
|
х + 2 |
2) У =е |
|
|
2 |
Х |
-1 |
|
|
Х |
|
|
|||||
1)у=._--- |
3) |
у=-- |
||||||
|
||||||||
|
х-.., + 3х + " |
|
|
|
2 |
1 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
Х |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
_ sinx |
~ () |
= |
{5Х - а. х :::;; 2 |
|
|||
у-_.- |
)) f х |
] - 3х, х > 2 |
|
|||||
|
х |
|
|
|
||||
РАЗДЕЛIV
Дuффереuцuальное исчисление функции одной nере
,:кенной
1. Знать определение прои'Зводной и ее геометрический
смысл.
2.Знать определение дифференциала и его геометриче
ский смысл.
3.Знать таблицу производных основных элементарных функций.
8
www.mitht.ru/e-library
4.Знать правила дифференцирования суммы, произве
дения, частного двух функций, сложной функции.
5.Знать формулировку теоремы Лагранжа и ее геомет
рический смысл.
6.Знать определение вьmуклости, вогнутости, экстре мума, асимптот графика функции.
7.Найти:
l)~(tln t)
dt
f ( 2х]
4) ~; ~xJ
d ( |
arctg |
2 1 ) |
|
|
|
|
|
||
8) - |
-- |
|
|
|
|
|
|||
dt |
|
|
. |
Jt |
|
|
|
|
|
(! |
( |
Jоg |
з |
1 J |
12)(~~x+Гx) |
, |
( |
~x2 |
J" |
dt ~ |
t"' |
|
13)l1 |
|
|||||
11 )-1 |
|
cos-:;- |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
14) (ctg x)sin Х) |
15) d i(sin ах),а= const |
|
|||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
If |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
17)(_~inХ2_] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18)~2(XShX) |
||||
|
|
|
|
|
] + х2 |
|
dx |
|
|
19){Х = sin |
2 t, у'{х):о::? |
|
|
|
|
||||
у = cos 2 t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
www.mitht.ru/e-library
21)d(3X • Jx) |
22) У =( arccos ~)-3 |
,dу = ? |
||
р |
|
24)у = х+lпу,у'(х)=? |
||
23)у = - ,dy =? |
|
|||
lnx |
|
|
|
|
25)у = Iп.J1-.siпх,dу =? |
|
|
|
|
8. Найти предел по правилу Лопиталя: |
|
|
||
1) Нт хl1 |
2) lim |
ln х |
3) Нт |
х |
х--++оо еХ |
X~+OO |
х12 |
.1'--+0 еХ -1 |
|
9. Найти асимптоты, а также интервалы вьrnyклости, во
гнутости, экстремумы функций и построить графики:
lп х |
(х + 1)3 |
3) У = х3с--Х |
1) .у::;; --.- |
2) У 0-';: - (-1)2 |
|
.1: |
х- |
|
РАЗДЕЛV
Дифференци(lЛl1ное исчисление функции иесколы<Uх
nеременных
1.Дать опре;(сление функции двух переменных.
2.СФОРМУJJировать определение частных ПРОИЗВОДНblХ
функции двух переменных и объяснить их геометри ческий смысл
3.Найти области определения функций (R = const):
ГГ-2-- 2 |
|
|
1 |
|
1)z=v x +y-R; |
2)2= г:г; |
|||
|
|
\jX- + у -- |
R 2 |
|
3) z = _2.1':+ Зу_-=-!; |
4)и =Jn(l-(x _1)2 -(у+ 2)/ - z2); |
|||
.1:--.'1 |
|
|
|
|
5) 2 = 11l(-Х -- 2у); |
Г) |
') |
2 |
2 |
6) и =IJ Х |
+ у- + z |
-- R |
; |
|
|
10 |
|
|
|
www.mitht.ru/e-library