Законы электростатики

2

Контрольные вопросы

1.Что называется силовыми линиями электростатического поля? Могут ли они пересекаться?

2.Является ли электростатическое поле потенциальным?

3.Что называется эквипотенциальной поверхностью?

4.Сформулируйте принцип суперпозиции для напряженности и потенциала.

5.Объясните принцип действия электроскопа.

Задачи с решениями

Задача 1. Две пересекающиеся под углом бесконечные плоскости делят пространство на четыре области. Чему равна напряженность электрического поля в областях 1 и 2, если поверхностные плотности зарядов плоскостей +

Решение:

В области 1 напряженность поля согласно принципу суперпозиции

Следовательно, для модуля вектора напряженности имеем:

Задача 2. В вершинах квадрата с диагональю 2l находятся точечные заряды q и –q, как показано на рис. 1.2.

4

Найти модуль вектора напряженности электрического поля в точке, отстоящей на расстояние x от центра квадрата и расположенной симметрично относительно вершин квадрата.

Рис. 1.2.

Решение:

Точка наблюдения является вершиной пирамиды, основанием которой

является квадрат со стороной 2l / 2 .

Рассмотрим левую боковую грань, содержащую заряды + q и – q. Напряженность поля, созданного этими зарядами, равна

E+

E1

l 2 x2

E-

Рис. 1.3.

5

Вторая пара разноименных зарядов дает такую же напряженность E1 . Искомый модуль напряженности поля, созданного всеми четырьмя зарядами, равен

Задача 3. На расстоянии h от бесконечной плоскости находится точечный заряд +q. Определить напряженность поля в точке А, отстоящей от плоскости и от заряда на расстояние h (см. рис.1.4.(а)).

Решение.

Для решения этой задачи удобно использовать «метод изображений». Потенциал бесконечной заряженной плоскости равен 0. Заменим эту задачу другой задачей, поместив по другую сторону от плоскости заряд (-q) и убрав мысленно плоскость (см. рис. 1.4.(б)).

В любой точке В, ранее принадлежавшей плоскости, потенциал попрежнему

Таким образом, в верхнем полупространстве (над плоскостью) граничные

Задача 4. Имеются два тонких проволочных кольца радиуса R каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны q и q . Найти разность

потенциалов между центрами колец, отстоящими друг от друга на расстояние a .

q

a

- q

Рис. 1.5.

Решение:

Найдем сначала потенциал поля, созданного одиночным заряженным кольцом в точке наблюдения, лежащей на оси кольца на расстоянии r от его центра.

Разобъем кольцо на элементарные отрезки длиной dl и несущие заряд dq. Потенциал поля от элементарного заряда dq в точке на расстоянии r от центра кольца равен

Интегрируя (1) по всему кольцу, находим потенциал поля, созданного всем кольцом на расстоянии r от центра:

Используя (2) и принцип суперпозиции для потенциала, найдем потенциал в центре верхнего и нижнего кольца соответственно:

7

График зависимости φ(r) для этого случая показан на рисунке.

Рис. 1.7.

Задача 6. Показать, что потенциал поля диполя с электрическим моментом p может быть представлен как = pr /4 0 r3 , где r – радиус-вектор. Найти с помощью этого выражения модуль вектора напряженности электрического поля диполя как функцию r и .

9

Рис. 1.8.

Решение:

Потенциал электрического поля диполя в точке наблюдения на расстоянии r+ от положительного заряда и r- от отрицательного заряда равен

Учитывая, что длина диполя l r, находим расстояния от зарядов диполя до точки наблюдения:

Подставляя (2) в (1), получаем потенциал поля диполя:

Радиальная компонента вектора напряженности поля равна

Перпендикулярная (поперечная) компонента напряженности

Модуль вектора напряженности электрического поля

Задачи для самостоятельного решения

1.Электростатическое поле создается шаром радиусом R = 0,10 м,

равномерно заряженным с объемной плотностью = 20 нКл/м3 . Определите разность потенциалов между точками, лежащими внутри шара на расстояниях r1 = 2 см и r2 = 8 см от его центра.

2. В вершинах квадрата со стороной a = 5 см находятся одинаковые положительные заряды Q = 2 нКл.

Определите напряженность электростатического поля: 1) в центре квадрата; 2) в середине одной из сторон

квадрата.