оптика
.pdf11
Расстояние от этого источника до одного зеркала 3 см, до другого 4 см. Расстояние между первыми изображениями 10 см. Найдите угол между зеркалами.
Решение.
Расстояние от источника до первого изображения 2а = 6 см, расстояние от источника до второго изображения 2b = 8 см. Т.к. задано расстояние с = 10 см между изображениями, то в треугольнике, вершинами которого являются источник и два изображения, известны все три стороны. По
теореме косинусов угол А равен: cosA = (4b2 + 4a2 –c2)/8ab = 0, т.о. угол А = 900 и угол между зеркалами равен:
1800 – 900 =900.
ЗАДАЧА 2.
На плоскопараллельную стеклянную пластину (n = 1,5) толщиной d = 5 см падает под углом α пучок света. Определите боковое смещение луча, прошедшего сквозь эту пластинку.
Решение.
Из рисунка искомая вели-
чина х = ЕD = CD sin(90-α)
СD = BD – BC, BD =d tgα BC = d tg r.
Из закона преломления находим: sinr = sinα/n.
12
Следовательно, х = (d tgα - d tgr) cos α = d sinα(1 – cosα/ n2 – sin2α ).
х = 9,69 мм.
ЗАДАЧА 3.
Человек с лодки рассматривает предмет, лежащий на дне водоёма (n =1,33). Определите его глубину, если при определении на «глаз» по вертикальному направлению глубина водоёма кажется равной 1,5 м.
|
Решение. |
h = 1,5 м |
Для определения кажущегося местопол о- |
жения |
|
n = 1,33 |
точки построим два луча, исходящих из |
точки |
|
H = ? и попадающих в глаз наблюдателя. Пусть один из лучей перпендикулярен поверхности воды, второй
падает на поверхность воды под малым углом α, преломляется под углом r и попадает в глаз наблюдателя.
13
Которому кажется, что точка находится на пересечении продолжений лучей на расстоянии h от поверхности воды.
Из рисунка видно, tgα/tgr, где α и tgr, следовательно, tgα/tgr = n, тогда
H = h n. H = 2 м.
что h tgα = H tgr, откуда |
H = h |
|
r – малые углы, для которых Sinr |
= |
|
закон преломления даёт: sinα/sinr |
= |
ЗАДАЧА 4.
На дне сосуда с жидкостью с показателем преломления 5/3 помещён точечный источник света. Какого минимального радиуса должен быть непрозрачный диск, плавающий на поверхности жидкости, чтобы, глядя сверху, нельзя было увидеть этот источник? Высота слоя жидкости
12 см.
|
Решение. |
|
Лу- |
чи от и |
с- |
точника, |
падающие |
|
на границу воды с воздухом |
вне диска, не должны вых |
о- |
дить из воды, значит, они должны
падать под углом, большим предельного угла полного внутреннего отражения. При минимальном радиусе диска выполняется соотношение R = h tgrпр.
14
Угол полного внутреннего отражения определяется соотношением sinrпр =1/n = 3/5. Отсюда находим cosrпр =
4/5, tgrпр = 3/4, и радиус диска R= h tgrпр = 12 ¾ = 9 см.
Сферические зеркала
Сферические зеркала представляет собой хорошо отполированную поверхность тела, имеющую форму сферического сегмента, с нанесенным на одну из его сторон, (выпуклую или вогнутую), специального отражающего покрытия, чаще всего, металлизированного.
Такое покрытие зеркально отражает свет. Центр С сферической поверхности, из которой вырезан сегмент, называется оптическим центром зеркала; вершина О сферического сегмента – полюсом зеркала. Любая прямая, проходящая через оптический центр зеркала С, называется оптической осью зеркала. Оптическая ось СО, проходящая через оптический центр зеркала и его полюс, называется главной оптической осью.
Главной оптической осью сферической поверхности называется прямая, проходящая через точечный источник света S и центр кривизны С сферической поверхности. Приведенные выше условия справедливы лишь для узкого конуса световых лучей, имеющих ось, перпендикулярную к сферической границе раздела. Только такие пучки световых лучей, называемые параксиальными (приосевыми) пучками, после преломления или отражения остаются гомоцентрическими и дают изображение светящейся точки S в виде точки S ’. Расстояния отсчитываются от точки О пересечения сферической поверхности с оптической осью и считаются положительными в направлении распространения света и отрицательными в противоположном направлении.
Лучи параксиального пучка , параллельные главной оптической оси, после отражения от зеркала пересекаются в
15
одной точке F, называемой фокусом (главным фокусом) зеркала. Расстояние OF = f от полюса О до фокуса зеркала F называется фокусным расстоянием: f = R/2, где R – радиус кривизны зеркала. Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной плоскостью.
4о. Формула сферического зеркала для параксиальных световых пучков лучей:
,
где R – радиус кривизны линзы, a - расстояние от зеркала до светящейся точки, расположенной на главной оптической оси, a’ – расстояние от зеркала до изображения. Правило знаков для R, a и a’ указано выше.
Изображение в сферическом зеркале действительное, когда источник и его изображение находятся по одну сторону от зеркала. Если источник и его изображение находятся по разные стороны о зеркала, то изображение в зеркале – мнимое.
Зеркало является выпуклым, если с учетом правила знаков, R > 0. В таком зеркале изображение мнимое – всегда.
Рис.1 На рисунке 1 (Рис.1) показаны вогнутое (а) и выпуклое (б) сферические зеркала.
Линейное увеличение k предмета, определяемое отношением размера изображения к размеру предмета (в направлении, перпендикулярном главной оптической оси зеркала) определено формулой
16
.
где a – расстояние от предмета до зеркала, a’ – расстояние от зеркала до изображения предмета.
В задачах настоящего раздела рассматриваются только лучи, составляющие с главной оптической осью зеркала малые углы (предполагается, что зеркало представляет собой малый сегмент сферы).
Примеры решения задач.
Задача 1. На рисунке 2 показан ход луча, отразившегося
от сферического зеркала. Построением определите положение фокуса зеркала. Рассмотрите отражение луча от вогнутого и выпуклого сферических зеркал. На рисунке показана главная оптическая ось зеркала.
Рис. 2
Решение:
Определение положения фокуса зеркала в задаче показано на рис.3.
17
Рис.3 Построением (из элементарного курса планиметрии средней школы) строится биссектриса угла, образованного падающим и отраженным лучами от поверхности зеркала. Пересечение биссектрисы с главной оптической осью определяет центр сферического зеркала. Фокус зеркала определяется половиной расстояния OC: f = CF .
Задача 2 На рисунке 4 а, б показаны положения оптической оси
сферического зеркала ММ’, светящейся точки S и ее изображения S’. Найдите построением положения вершины зеркала и его центра для обоих случаев.
а) |
б) |
|
Рис.4 |
Решение:
Пусть задача решена. Тогда источник и его изображение будут располагаться, как показано на рис.5
18
а) б) Рис.5
Для вогнутого зеркала положения источника и его изображения показаны на рис.5а, а выпуклого – рис.5б (изображение источника – мнимое).
Рассмотрим вначале рис.5а. Найдем сперва точку С - полюс зеркала. Если обозначить SA =h, S’A’ = h’, CA = a, C
A’= a’, то, в силу подобия |
ASC и |
A’S’C можно записать |
||
. |
Тогда |
справедливо |
соотношение |
|
или |
. В данном случае Δh = SA-S’A’, a = CA-CA’ |
|||
= AA’. Тогда |
. Тогда надо |
построить разность от- |
резков Δh = SA-S’A’, и соединить полученную точку с точкой A’ (рис.6а). После этого из точки S необходимо провести прямую, параллельную S”A до пересечения с главной оптической осью в точке С. Это и будет полюсом вогнутого зеркала.
а) б) Рис.6
19
Для построения полюса выпуклого зеркала (рис.6б) необходимо вначале к отрезку SA добавить отрезок S’A’: S’A’ + SA = S”A. После этого точку S” надо соединить с точкой S’. Далее из точки S нужно провести прямую, параллельную S”S’. Данное построение следует из формул:
AC + A’C = AA’; ; ; ;
.
Для определения положения фокуса и центра зеркала можно воспользоваться обстоятельством, что для параксиальных лучей f и кривизной сферы для них можно пренебречь. Тогда, исходя из рис.5 а,б, положение фокуса и центра зеркала определяется по рис.7 а,б.
а)
б)
Рис.7
Луч CS’, рис.7а (или его продолжение, рис.7б) пересекает главную оптическую ось АО в точке F. Это и есть положение фокуса. Положение центра зеркала определяется из условия R = 2f и определяется построением отрезка СO = 2CF.
Задача 3 Луч света падает на вогнутое сферическое зеркало ра-
диусом R параллельно оптической оси СО на расстоянии “а” от нее (рис.8) и после отражения пересекает оптическую ось СО в точке B. Найдите отношение меж-
20
ду a и R, при котором относительная ошибка, которую мы делаем, принимая OB = 0,5R, равна 1%.
Решение:
|
|
Рис. 8 |
|
На рис.8 |
рассмотрим |
АСВ. Точка С |
- центр сфериче- |
ского зеркала. Треугольник – равнобедренный, т.к. ∟ACB |
|||
= ∟BAC. Сторона ВС = R/2cosα. Из |
АСК видно, что |
||
sinα=a/R. Тогда cosα = |
. Величина отрезка ВС рав- |
||
няется |
BС = |
|
|
По условию задачи относительная ошибка, которую мы делаем, принимая OB = 0,5R, равна 1%, или
Т.е. ВО = R •0,495. Из рисунка следует ВС = СО – ВО = R
– 0,495•R = 0,505•R. Подставляя это значение в формулу для ВС, получим
0,505•R = или
После элементарных расчетов получается a/R =0,14.