praktikum_po_lineinoi_algebre

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

(j - угол междуl

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

5.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

На прямой l ("эль") взяты фиксированная точка M0(x0,y0,z0) ,

жmц з ч

произвольная точка M(x,y,z) и s = з nч— направляющий вектор

зи pчш

прямой (s || l ). Прямая l однозначно определяется по s и M0 .

Способы задания прямой.

1) Векторное уравнение прямой: r = r0 +sЧt (t ОR -параметр) .

мx = x0 + mt

2) Параметрические уравнения прямой: пнy = y0 + nt .

поz = z0 + pt

3)	Канонические уравнения прямой:	x - x0	=	y - y0	=	z - z0	.
		m		n
						p
4)	Уравнения прямой, проходящей через две точки M1(x1,y1,z1) и
	M2(x2,y2,z2):

x - x1 = y - y1 = z - z1 (s = M1M2). x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

Замечание. Если какая-то координата вектора s равна "0", то в знаменателе пишем "0"; в этом случае l ^ соответствующей координатной оси.

5) Прямая задаётся как пересечение двух плоскостей:

мAx+ B y+C z+ D = 0			.
l:н 1 1	1	1
оA2x+ B2 y+C2z+ D2 = 0

В этом случае (s = N1 ґN2).

6) Угол φ между прямыми l1 и l2 — это угол между

векторами s1 и s2 .

7) Угол φ между прямой l и плоскостью p — это угол,

равный j = p -a , где α — острый угол между векторами s и

N (т.е. направляющим вектором прямой и вектором нормали плоскости). Угол φ ищут, используя формулу


жp		ц			N Чs	і 0 .
sinj = sinз		-aч	= cosa =
sinj = sinз	2	-aч	= cosa =
и	2	ш		N Ч s

Замечание. Для прямой l на плоскости справедливы формулы

типа 1)—4), в которых отсутствует всё, что связано с координатой z.

Утверждение. Пусть на плоскости заданы две прямые

l1 : y = k1x+b1 и l2 : y = k2x+b2 . Тогда

1)l1 || l2 Ы k1 = k2 ; 3) l1^l2 Ы k1 Чk2 = -1.

Пример 1. Даны две точки M1(1,2,3),M2(5,4,3). Написать канонические и параметрические уравнения прямой l, проходящей через эти точки.

Имеем:

5-1ц

s = M1M2 =з4-2ч =з2чЮ

3-3ш

Канонические уравнения:

x -1

y - 2

z -3

мx =1+ 4t

Параметрические уравнения:

нпy = 2 + 2t, (t ОR) .

оz = 3

Заметим, что l ^ оси OZ.

Пример 2. Прямая l задана как пересечение плоскостей

x-2y+3z-4=0 и 3x+2y-5z-4=0. Написать уравнение прямой l в

канонической форме.

Имеем:

1 -2 3

N1 = з-2ч,N2 = з 2 чЮ s = N1 ґ N2 =

-5

3 2 -5

4i +14 j + 8k Ю s = з14ч .

Найдём какую-нибудь точку M0(x0,y0,z0)Оl . Очевидно, что числа

х0,y0,z0 удовлетворяют следующей системе уравнений.

мx0 -2y0 = 4 -3z0			,D =	1	- 2	№ 0 .
н	+ 2y0	= 4 + 5z0		3	2
о3x0

Так как D №	0 , то у этой системы существует единственное
решение (x0,y0)	при "z0 . Возьмём, например, z0 = 0. Тогда
мx0 -2y0 = 4		мx0 = 2		x -2		y +1		z
н		Ю н	Ю l :		=		=		.
	4			2		7		4
о3x0 + 2y0 =		оy0 = -1

Отметим, что возможен и другой подход к решению этой задачи: надо решить систему двух заданных линейных уравнений.

Например,

выразив x и y через z, получим:

x = 2 + 0,5z,y = -1+

z .

Затем,

положив z = t ,

запишем

параметрические уравнения

x = 2+0,5z,y = -1+

z,z = t ,

из

которых

легко

получить

канонические уравнения.

мx = 3t -2

мx = 2t -1

Пример

Даны

две

прямые

l1 :

;l2

нy = 0

: нy = 7

оz = -t +3

оz = t -3

Найти тупой угол между l1 и l2 .

Имеем:

ж3

ж2

s1 Чs2

0 ,s

Ю cosj =

Юj =

10Ч 5

з ч

м2x + y + 2z + 5 = 0

Пример 3.

и плоскость

Заданы прямая l : н

2 = 0

о2x -2y - z +

p : 4x - y + z +1= 0. Найти угол между прямой l и плоскостью p .

Имеем:


	i		j	k		ж 4		ц
						з		ч
s = N1 ґ N2 =	2	1		2	= 3i+6j -6k;N = з-1чЮ
	2	-2		-1		з	1	ч
	2	-2		-1		и	1	ш

sЧN

Юsinj = = 0Юj = 0. s Ч N

Пример 4. Даны прямая l1

x - 4

y - 5

z -6

и точка

M0(1,2,3), не лежащая на этой прямой. Записать уравнение прямой

l2, такой что M0 Оl2,l2 || l1.

x-1

y -2

z-3

Имеем:

s1 = s2

= з

чЮ l2

Пример

Даны точка

M0(-1,-2,-3)

плоскость

p :2x +3y - z = 0 .

Написать

уравнение

прямой

такой что

M0 Оl,l^p .

2 ц

x+1

y+ 2

z +3

Имеем: s = N =з

3 ч

Юl:

-1

-1ш

мx -7 = 2t

Пример 6. Даны точка M0(1,2,3)

и прямая

(t ОR).

l : нy + 2 = 4t

оz = t

Записать уравнение плоскости p , проходящей через точку

M0 и

прямую l.

	66
Возьмём	любые две точки	на прямой l, например,
M1(7,-2,0) (t = 0) и M2(9,2,1) (t =1).		Далее составляем уравнение
плоскости p по трём точкам M0,M1,M2 .
Пример 7.	Даны плоскость p :2x +3y + 4z = 0 и точка M0(1,1,1).

Точка M1 — проекция точки M0 на плоскость p . Найти координаты точки M1.

Найдём уравнение прямой l, проходящей через точку M0 и

2ц

мx-1= 2t

l^p .

Берём

(tОR).

Найдём

s = N =з3чЮl

:нy-1=3t

4ш

оz -1= 4t

координаты точки M1. Для этого подставим x,

y, z из уравнения

прямой l в уравнение плоскости p :

2(2t +1)+ 3(3t +1)+ 4(4t +1) = 0 Ю 29t + 9 = 0 Ю t = -

Ю x =1-

=1-

,z =1-

= -

ж 11

Ю M1з

ч.

и29

мx -1= 2t

Пример 8. Даны точка M0(0,0,0)

2 =

3t . Точку

и прямая l : нy -

3 =

оz -

M0 спроектировали на прямую l. Найти координаты её проекции

M1.

Запишем в аналитическом виде условия принадлежности точки

прямой l и перпендикулярности М0М1 и l:

мx1 -1= 2t

M1 Оl Ю нy1 - 2 = 3t (*). M0M1^l Ю s ЧM0M1 = 0 Ю

поz1 -3 = 4t

Ю 2x1 + 3y1 + 4z1 = 0 (**). Подставим x1,y1,z1 из (*) в (**):

2(2t +1)+ 3(3t + 2)+ 4(4t +3) = 0 Ю 29t + 20 = 0 Ю t = - 20 Ю 29

Ю x = -	11	,y	1	= -	2	,z =	7	.
	29						29
1				29		1

Задачи для самостоятельного решения

1) Написать канонические и параметрические уравнения прямой l, проходящей через точку М1(2,-3,5).

2) Доказать,	что	прямые	l1	:	x	=	y -1	=	z	и

				1 - 2				3
м3x + y -5z +1= 0	перпендикулярны		и	написать				уравнение
l2 : н2x +3y -8z +3 = 0
о

прямой l2 в канонической форме.

Найти острый j между прямыми l

x -3

y + 2

-1

x + 2

y -3

z +

мx = 5

Найти направляющий вектор s для прямой l :

оy = -3

	мx = 2				x		y +1		z
Ответы: 1)	п	;	2)		x	=	y +1	=	z	; 3)
	l : нy = 3t			l2 :
	l : нy = 3t			l2 :	7		14		7
	п				7		14		7
	оz = 5 - 8t

			ж	0	ц
	p		з		ч
j =	p	; 4) s = з0ч.
j =		; 4) s = з0ч.
3			з	1	ч
			и	1	ш

Занятие 12.

Контрольная работа №2 по теме "Векторы.

Прямая и плоскость в пространстве".

Вариант-образец.

I. Даны координаты вершин пирамиды: A(7,7,3), B(6,5,8),

С(3,5,8), D(8,4,1). Найти: 1) длину ребра АВ; 2) угол φ между рёбрами АВ и АD; 3) площадь грани ABC; 4) объём пирамиды

ABCD.

Решение.

ж6-7

-1

1) АВ =з5-7

ч =з-2

ч,

АВ

1+4+25 =

30;

8-3

8-7

2) AD = з

4-7ч =з-3

ч,

1+9+ 4 =

14;

1-3

-2


cosj =	ABЧ AD				=	-1+6-10			=	-5					;j = arccos		-5			;


	AB	Ч	AD				30 Ч 14			2 105							2	105
	ж	-4		ц				i
	ж	-4		ц				i			j			k
	з			ч													-1	5
	з			ч				-1 -2				5			=iЧ0- jЧ		-1	5	+
3) AC =з-2ч;ABґ AC =								-1 -2				5			=iЧ0- jЧ	-4		5	+
	з	5		ч				-4		-2			5			-4		5
	и	5		ш				-4		-2			5

+k Ч -1 -2 == -15j -6k;

-4 -2

S	=	1		ґ		=	1		=	1		=	3
			AB		AC			225+36			261			29.

DABC	2					2		2			2

(

)Ч

= (-15)(-3)- 6(-2) = 57; V

пирамиды

Ответ:

-5

АВ

30,j = arccosз

ч =17,S

DABC

29,V

и2

105 ш

пир.

II.

Найти зависимость между векторами

ж-1ц

ж0

ж 8

ж 7

з 1 ч

з0ч

з 9 ч

з10ч

a =з

-1

ч,b =

ч,c =з

ч,d =

з ч.

11ш

и19

Решение.

Запишем

векторное

уравнение

вида

х1 Ч

+ х2 Ч

+ х3 Ч

+ х4 Ч

гдехi (i =1,...,4)

— неизвестные

коэффициенты.

Найдём ФСР

соответствующей

системы

ж-1ц

0ц

ж 8

ж 7

ц ж

0ц

уравнений.

Имеем:

з 1 ч

+ x

з0ч + x

з 9 ч

+ x

з10ч

= з0ч

1з

2з

3з

ч з

-1

11ш

и19

ш и

м- x1 +8x3 +7x4 = 0

+9x

+10x

= 0

пx

н 1

п- x1 +7x2 +10x3 +16x4 = 0

о2x1 +6x2 +11x3 +19x4 =0

ж-1 0 8 7 ц

ж1 0 -8 -7 ц

Ю A =

з 1 0 9 10ч

з 0 0 17 17ч

з0 0 1

1 ч

®з

0 7 2 9

0 1 -

ч ®

-1 7 10 16ч

-24ч

6 27

19ш

33ш

ж1 0 -8 -7 ц

1 0 -8 -7 ц

ж1 0 -8 -7 ц

з0 1 -25 -24ч

ч ®з

157

®з0 1 -25 -24ч Ю

33 ч

0 0 1

и0

мx1 -8x3 -7x4 = 0

мx3 = -x1

= -x4

- 25x3 - 24x4

= 0 Ю

пx2

Ю нx2

= -x4

+ x4 = 0

пx1

оx3

- любое число.

оx4

Возьмём

x4 =1,

тогда

x3 = x2 = x1 = -1,

ФСР

состоит

из

ж-1ц

з-1ч

-a - b -c + d = 0 .

одного вектора х = з

ч. Следовательно,

з-1ч

Ответ:

III.Написать уравнение плоскости p , проходящей через точку

М0(7,8,1) и: 1) проходящей через прямую

l :	x -0	=	y -7	=	z +1	;	2) перпендикулярной этой же прямой

2		4		5
l :	x -0	=	y -7	=	z +1	;	3)	параллельной	плоскости

2		4		5

p1 : x - y = 0.

Решение.

1) Перепишем уравнение прямой l в параметрическом виде

мx = 2t

l : нy = 7 + 4t . Возьмём

поz = 5t -1

M1(0,7,-1),(t = 0)

две точки, лежащие на		прямой l:
M2(2,11,4),(t =1) .	Построим	вектора

			ж	-7		ц			ж-5		ц
			з			ч			з		ч
M0M1 = з-1ч,M0M2 =з 3											ч,N = M0M1 ґM0M2 =
			з	-2		ч			з	3	ч
			и	-2		ш			и	3	ш
	i
		j			k			-1 -2				-7 -2		-7 -1
		j			k

	-7 -1 -2						= i			- j			+k			=3i+31j -26k,
	-7 -1 -2						= i	3	3	- j		-5 3	+k	-5	3	=3i+31j -26k,
	-5	3		3				3	3			-5 3		-5	3
	-5	3		3

p :3(x-7)+31(y-8)-26(z -1) = 0.

Ответ: p :3x +31y - 26z -243 = 0

2) Так		как
	ж	2ц
	з	ч
	з	ч
p^l ЮN = s =з		4чЮp :2(x-7)+4(y-8)+5(z-1)=0 .
	з	ч
	и	5ш

Ответ: p :2x + 4y + 5z - 41= 0 .

ж 1 ц з ч

3) Так как p ||p1 Ю N = N1 = з-1чЮp :(x-7)-(y-8) = 0.

зи 0 чш

Ответ: p : x - y -15 = 0 .

IV. Даны точки А(2,3,2), В(3,1,2) и С(3,4,8). Написать уравнение прямой, проходящей через точку А, перпендикулярно

плоскости

АВС.

Решение.

ж 1

ж1

AB =з-2ч,AC =з1ч,

и 0

и6

-2

s = ABґ AC =

1 -2 0

= i

- j

= -12i -6 j +

Юl:

x-2

y-3

z-2

илиl:

x-2

y-3

z-2

-6

-12

-6

-3

Ответ: l :

x - 2

y - 3

z - 2

- 6

-3

Занятие 13.

Собственные числа и собственные вектора

матрицы.

Определения. 1) Пусть А — квадратная матрица размера nxn.

Собственным числом матрицы А называется такое число λ, при

котором уравнение Аx = lx относительно неизвестного вектора-

жз x1 цч

столбцаx =з...ч имеет ненулевое решение. Это решение x

зиxn чш

называется собственным вектором, отвечающим собственному

числу λ (умножение А на вектор-столбец х определяется как умножение А на соответствующую матрицу-столбец).

2) Характеристическим многочленом матрицы А называется определитель Р(l)= А - lЕ , являющийся многочленом степени n

от параметра λ (Е — единичная матрица n-го порядка).

Утверждение. Корни Р(l) равны собственным числам

матрицы А.

Как искать собственные числа и собственные

вектора матрицы А в случае, когда все собственные

числа различны.

1) Составить Р(l)= А - lЕ и найти его корни l1,...,ln ;

74
			(A -liE)
2) Составить уравнения вида Ax	= li x (т.е.		(A -liE)	x	=	0	)
при i =1,...,n относительно неизвестного вектора			. Найти какое-
при i =1,...,n относительно неизвестного вектора		х	. Найти какое-

нибудь решение xi № 0 . Это и будет искомый собственный вектор,

отвечающий li (отметим, что собственные вектора определяются

неоднозначно, а с точностью		до множителя: так, если хj —
собственный вектор, то и a		при любом числе α тоже будет
	хj

собственным вектором, отвечающим тому же собственному числу).

Пример 1. Найти собственные числа и собственные вектора

ж2

матрицы А =

ч .

и4

1) Составим уравнение

А -lЕ

= 0 и найдём его корни:

А-lЕ

2 5ц

жl 0

ж2-l

5 ц

= (2-l)(3-l)-20 =

-з

4 3ш

и0 l

4 3

-lш

=l2 -5l -14 =(l + 2)(l -7) = 0 Ю l1 = 7,l2 = -2;

2)Найдём собственные вектора х1 и х2 , отвечающие собственным числам l1 и l2 .

а)

Для

l1 = 7: А

= 7

, т.е.

(A -7E)

. Из этого следует,

что

ж-5 5

цж x

ж0

решаем

полученную

систему

чз 1

ч = з

ч . Далее

4 - 4

чз

шиx2

и0

уравнений

методом

Гаусса, для

чего приводим

матрицу

этой

ж-5

ж-1

1ц

системы

верхнетреугольному

виду:

- 4

ч ®

ч.

и 4

и 0

0ш

Следовательно, -x1 + x2 = 0, и общее решение системы имеет вид x1 = x2 , x2 — любое число. В качестве частного ненулевого решения системы возьмём, например, х1 =1,х2 =1.

Следовательно, в качестве собственного вектора можно взять

ж1ц

вектор x1 = зз чч.

и1ш

ж4

5цжx

0ц

б) Для l2 = -2:(A+2E)x =0

чз 1

чз

5шиx2

0ш

ж-5ц

4x +5x

= 0Ю x

= -

x Ю x

з ч.

и 4

ж1ц

l = 7,x

=з

ч;

Ответ:

и1ш

ж-5ц

пl

= -2,x

=з

ч.

Пример 2. Найти собственные числа и собственные вектора

ж1		0	1ц
з			ч
матрицы А = з0		-1 0ч .
з	1	0	ч
и			1ш

1) Составим характеристический многочлен Р(l)= A-lE и

найдём его корни.

Р(l)= det(A - lE)=	1- l	0		1	= (1-l)	-1-l	0

	0	-1- l		0				+
	1	0	1	- l		0	1- l

+1Ч 0 -1- l = -(1- l)(1- l2)+ (1+ l)= -(1+ l)([1- l)2 -1]=

=-(1+ l)(l2 - 2l)= l(1+ l)(2 - l)Ю l1 = -1,l2 = 0,l3 = 2.

2) Найдём собственные вектора, соответствующие этим собственным числам.

а) Для l1 = -1 запишем систему уравнений (А +Е)x = 0, т.е.

2 0

1цж x

0ц

чз 1

з0

0чзx2

ч = з

0ч. Решим эту систему методом Гаусса:

1 0

чз

2шиx3 ш

0ш

1 0 2ц

1 0 2 ц

мx +2x =0

0 0 0ч®

2 0 1

®з

Юн 1

0 0 -3ч

-3x =0

	ж	0	ц
	з	1	ч
Ю x1 = x3 =0,x2 -любоечисло. Положимх2 =1.Возьмём x1 =з		1	ч.
	з	0	ч
	и	0	ш

б) Для l2 = 0 запишем систему уравнений: Ах = 0 и решим

её методом Гаусса:

1ц

1 0 1ц

мх

+ х

= 0

-1 0ч

® з

Ю н

-1 0

ох2 = 0

1ш

Ю х2 = 0,х1 = -х3,х3 - любоечисло.Положим х3 =1.Возьмём

ж-1ц

х2 = з 0 ч.

в)

Для

l3 = 2

запишем систему уравнений

(А -2Е)

решим

её

также

методом

Гаусса:

ж-1

1 ц

ж1 0 -1ц

мх - х

= 0

з 0 - 3 0 ч

® з

Ю н 1

- 3 0

ох2 = 0

и0

и 1

-1ш

х1 = х3,х2 = 0,х3 - любоечисло. Положим х3 =1.

ж1ц з ч

Возьмём х3 =з0ч.

зи1чш

	м			ж	0	ц
	п			з		ч
	пl1 = -1,х1 =з1ч;
	п			з	0	ч
	п			и	0	ш
	п			ж-1ц
	п			ж-1ц
	п			з		ч
Ответ:	п	= 0,х2		з		ч
Ответ:	нl2	= 0,х2	= з 0			ч;
	п			з	1	ч
	п			и	1	ш
	п			ж1ц
	п			з	ч
	п	= 2,х3		з	ч
	пl3	= 2,х3	=з0ч.
	п			з	ч
	о			и1ш

Пример 3. Пусть известен один из корней характеристического многочлена третьей степени. Найдём остальные его корни.

Пусть Р(l)= l3 - 6l2 -9l +14 , l1 =1. Разделив Р(l) на (l -1)

"уголком", получим квадратный трёхчлен l2 -5l -14 = 0 и затем найдём его корни l2 = 7,l3 = -2 .

Ответ: l2 = 7,l3 = -2 .

Задачи для самостоятельного решения

Найти собственные числа и собственные вектора следующих матриц:

		ж2	1ц	ж	-3	4	0 ц	ж	0	- 4	-1ц
		ж2	1ц	з			ч	з			ч
1)	А =	з	ч	; 2) А = з	-2	3	0 ч	; 3) А = з	- 4 -6		- 4ч.
1)	А =	з	ч	; 2) А = з	-2	3	0 ч	; 3) А = з	- 4 -6		- 4ч.
		и4	5ш	з	2 2		ч	з	6		ч
				и	2 2		-3ш	и	6	12 7 ш
Замечание. В задачах 2), 3) известно, что l1 =1.

	м					ж 1 ц
	м					ж 1 ц
	l =1,х				=з				ч
	п	1		1		з			ч
Ответы:	п					и	-1ш
Ответы:	1) н								;
	пl						ж	1ц
				= 6,х		=	ж	1ц
			2	= 6,х	2	=	з		ч
	п		2		2		з	4	ч
	о						и	4	ш

ж1ц

ж-1ц

пl1

=1,х1 = з1ч

пl1

=1,х1 =з 0 ч

и1ш

и 1

2ц

ж-2ц

нl2

= -1,х2 =з1ч;

нl2

= 2,х2 = з 1 ч .

3ш

0 ш

0ц

1 ц

пl3

= -3,х3 = з0ч

пl3

= -2,х3 =з 1 ч

-2

1ш

Авторы выражают благодарность доценту кафедры высшей и прикладной математики МИТХТ им. М.В. Ломоносова к.ф.-м.н.

Рубину А.Г. за внимательное прочтение рукописи данного учебного пособия и конструктивные замечания.

Литература

1) Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной

алгебры. М.: Наука, 1980.

2) Сборник задач по курсу высшей математики (под редакцией Кручковича Г.И.). М.: Высшая школа, 1973.

3) Шипачёв В.С. Задачи по высшей математике. М.: Высшая школа, 1997.

4)Справочник по математике для экономистов (под редакцией Ермакова В.И.). М.: Высшая школа, 1987.

5)Рублёв А.Н. Линейная алгебра. М.: Высшая школа, 1968.

6)Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986.

7)Данилова-Данильян Т.В., Ожерелкова Л.М. Сборник задач по

линейной

алгебре.

М.:

МИТХТ,

2001

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра

#
24.03.2015120.9 Кб43Linal.pdf
#
24.03.20155.4 Mб44praktikum_po_lineinoi_algebre.pdf