praktikum_po_lineinoi_algebre

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Вычислить определитель D =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

5.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Свободные неизвестные могут принимать любые значения, а

главные через них выражаются однозначно. При решении системы

уравнений с расширенной матрицей A' слева оставляем главные неизвестные (в нашем случае x1, x2), а свободные (здесь: x3, x4)

переносим в правую часть. Далее решаем полученную систему относительно главных неизвестных, двигаясь снизу вверх (как в

примере 2). В отличие от случая 2, теперь в правых частях полученных уравнений стоят не только числа, но и параметрические неизвестные.

Задачи для самостоятельного решения.

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

м2х1 -5х2 + 4х3 =11

м2х1 + х2 -2х3 = 5

1)пн7х1 -3х2 - х3 =17 ; 2) пн3х1 - 2х2 + 3х3 = 4;

п	п
о16х1 -11х2 + 2х3 = 20	о2х1 -3х2 + 5х3 =1
мх1 -2х2 + х3 + х4 = 3						мх1 + 3х2 - 4х3 = 3
3) нп-2х1 + 4х2 -2х3 + х4 = 0; 4) нп7х2 -7х3 =1										;
п						п			х3 = 5
о-3х1 + 6х2 -3х3 = -3						о2х1 - х2 -			х3 = 5
мх1 + х2 + 2х3 = -1	мх1 + 2х2 - х3 =1
5) нп2х1 - х2 + 2х3 = -4 ; 6) нп2х1 -3х2 = 2									.
п	п								3
о4х1 + х2 + 4х3 = -2	о4х1 + х2 -2х3 =								3
Ответы: 1),6) — решений нет; 2) х1 = 2,х2 =1,х3 = 0;
	мх	=	18			+ х	3	,
	мх	=				+ х		,
мх1 =1+ 2х2 - х3,	п 1	7							мх1 =1,
мх1 =1+ 2х2 - х3,	п			1					мх1 =1,
3) нпх2,х3 - любыечисла, 4) нпх2		=		1	+ х3,				5) нпх2 = 2,
3) нпх2,х3 - любыечисла, 4) нпх2		=			+ х3,				5) нпх2 = 2,
п	п	7							п	= -2.
ох4 = 2.	пх3 - любоечисло.								ох3	= -2.

Занятие 4.

Решение систем линейных уравнений

методом Крамера и матричным методом.

Решение матричных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

мнa11x1 + a12x2 = b1 . оa21x1 + a22x2 = b2

Составим три следующих определителя:

D =

a11

a12

,Dx

a12

,Dx

a11

Метод Крамера

1) Если D № 0 , то система имеет единственное решение вида:

x1 = Dx1 ,x2 = Dx2 ;

D D

2) Если D = 0 , а хотя бы один из определителей Dx1,Dx2 не

равен нулю, то решений нет;

3) Если D = Dx1 = Dx2 = 0 , то система имеет бесконечное

множество решений (которое находится другим методом).

Замечание. Для систем n > 2уравнений с n неизвестными x1,…,xn справедливы утверждения, аналогичные утверждениям 1), 2), (в этом случаеD— определитель матрицы системы уравнений,

Dxi получается из D путём замены i-го столбца в нём на столбец

из чисел b1,…, bn	; xi	=	Dxi	, если D № 0	(i=1,…,n)).

			D

Если же D = Dx1 =...= Dxi =...= 0, то система уравнений либо

не имеет решений, либо имеет их бесконечно много.

Рассмотрим примеры решения систем линейных уравнений, в

которых реализуются вышеописанные случаи 1), 2), 3).

Пример 1.

м5x1 + 2x

= 4

5 2

= 6,Dx

4 2

= 0,D

+ 4x

;D =

7 4

8 4

= 8

Ю x =

Dx1

= 0,x

Dx2

= 2.

Ответ: x1=0,х2=2.

Пример 2.

м2x + 3x

= 5

2 3

= 0,D

5 3

= 9,D

;D =

4 6

7 6

4x + 6x

= 7

Ответ: нет решений.

Пример 3.

м3x1 - 4x2

= 5

3 - 4

0,D

5 - 4

;D =

6x -8x

=10

6 8

10 -8

x2 = 7 8 =12 Ю

x2 = 4 7 = -6.

= 0,Dx2 =	3	5	= 0.
	6	10

Так как 2-ое уравнение есть удвоенное 1-ое, то его можно

отбросить, а из 1-го уравнения получим: x1 = 1 (5 + 4x2), где x2 —

любое число.

Ответ: бесконечно много решений: x1 = 1 (5 + 4x2), где x2 —

любое число.

Матричный метод решения систем линейных

уравнений.

Пример 4.

Дана система линейных уравнений.

м2x

+ 3x

= 9

о3x1 - 4x2 = 5

3 ц

ж x

9ц

Обозначим А = з

ч,Х

= з

ч,В =

ч. Тогда система запишется

и3

- 4ш

иx2 ш

5ш

матричном виде АЧ Х = В, или

3 ц

ж x

ж9

Чз

= з

ч.

3 - 4 ш

иx2

Выразим Х через А и В:

Х = А-1 ЧВ , или

ж x

ц ж2

-1

9ц

ч =

Чз

3 - 4

иx2 ш

Найдём A-1. Имеем:

ж- 4 -3

ж- 4 - 3 ц

-1

ж- 4 -3

D(A) = -17,A =

= -

ч,A* =

-3

ч,A

ч .

и- 3

2 ш

и- 3

ж x

ж- 4 -3 ц ж

9ц ж

3ц

Поэтому X = з

ч = -

Чз

чЧз

ч .

иx2

и-3

2 ш и

5ш и

1ш

Ответ: x1=3,х2=1.

Матричные уравнения.

Определение. Матричным уравнением называется уравнение

относительно неизвестной матрицы X.

Мы будем рассматривать матричные уравнения трёх видов: 1)

АЧ Х = В, 2)	Х Ч А = В, 3) АЧ		Х ЧВ =С , где А,		В, С — известные
квадратные	матрицы.	Пусть	в	случае 1)	существует А-1 и
определено	А-1 ЧВ ; в	случае 2)		) существует А-1 и определено

В Ч А-1; в случае 3) существуют А-1,В-1 и определено А-1 ЧС ЧВ-1.

Для получения решения этих уравнений умножим обе части этих уравнений в случае 1) на А-1 слева, в случае 2) на А-1 справа, в

случае

3) на

А-1

слева

и на

В-1

справа.

Учитывая, что

АЧ А-1 = А-1 Ч А = Е,Е Ч

Х = Х ,

получим следующие формулы для Х:

1) Х = А-1 ЧВ ; 2) Х = В Ч А-1; 3) Х = А-1 ЧС ЧВ-1.

В приведённых ниже матричных уравнениях требуется найти

матрицу Х; матрицы А, В, С — известны.

ж1

2 ц

ж3

2 ц

Пример 5.

Даны матрицы А =

ч,В

= з

ч. Найдём

и3

4 ш

6 ш

решение матричного уравнения АЧ Х = В.

1 2 ц

ж3 5 2

-1

ж1 2

ц-1

3 5 2 ц

= А

В =

Ч X = з

5 9 6

ч Ю Х

5 9 6

ч =

3 4 ш

и3 4

ж- 2

1 ц ж3 5 2 ц ж-1 -1 2 ц

= з

1,5

-0,5

чЧ

ч =

ч.

и5 9

0 ш

ж1

2 ц

ж1

1ц

Пример

Даны

матрицы

Найдём

А = з

ч,В = з

ч.

и3

4 ш

и1

1ш

решение матричного уравнения Х Ч А = В.

2 ц

ж1

1ц

X Чз

= з

ч .

4 ш

и1

1ш

ж1 1ц ж1

2 ц-1

ж1 1ц ж-2

ж-0,5

0,5ц

Х =

Чз

чЧ

1,5

-0,5

ч.

и1 1ш и3

и1

1ш

и-0,5

0,5ш

Пример 7.

Даны матрицы

ж2 1 ц

ж-3

2ц

ж- 2 4ц

А =

ч,В =

ч,С = з

ч. Найдём решение

и3 2

5 -3ш

-1ш

матричного уравнения АЧ Х ЧВ =С .

ж2 1

ж-3

2 ц ж- 2

-1

Ю Х =

ЧС Ч

чЧ X Чз

= з

3 -1

и3 2

-3 ш и

2 1 ц-1 ж- 2

4 ц ж-3

2 ц-1

ж 24

13 ц

Ю X =

3 2

чЧ

-18

ч .

-1 ш и

-3 ш

и-34

Задачи для самостоятельного решения.

Решить системы уравнений матричным методом и методом Крамера. Сделать проверку в тех задачах, в которых решение

существует:

мx - x

= 3

мx + 4x

=12

; 3)

м7x

+ 2x

= 2

; 2)

н 1

;

о3x1 - 2x2 =1

о3x1 - 2x2 = -6

о14x1 + 4x2 = 4

нмх1 + 2х2 = 3 .

о2х1 + 4х2 = 3

Решить матричные уравнения:

7 1ц ж2 1ц

7 1ц

ж2 1ц

1 1ц ж

1 2ц

ч з

Ч Х =

; 7) Х Ч

ч з

;

Чз

ч = з

ч; 6)

3 2

ч = з

0 1ш и0 0ш

0 1ш

и0

0ш

ш и

0 1ш

ж1

1ц

ж1

2ц

Х = з

ч.

и3

2ш

и0

1ш

нмх1 = -5

нмх1 = 0

(1- х2)

Ответы:

нпх1

, 4) нет

ох2 = 8

ох2 = 3

- любоечисло

ох2

решений; 5)

ж2 5 ц

ж2

; 7)

Х =

4 -1ц

; 8)

Х = з

; 6) Х = з

0 0

-1ш

ж- 2

-3ц

Х =

ч .

и 3

Занятие 5.

Контрольная работа №1 по теме

"Матрицы, определители, системы

линейных уравнений".

Вариант-образец.

Решение.

		1	1	1	3			1	1	1	3		0	2	- 2
		1	1	1	3			1	1	1	3
		1 1 3 1						0 0		2	- 2
D =		1 1 3 1				=		0 0		2	- 2	=	2	0	- 2	=
		1	3	1	1			0	2	0	- 2		- 2	- 2	- 8
		3	1 1 1					0	- 2 -2 -8				- 2	- 2	- 8
		3	1 1 1					0	- 2 -2 -8
	0		2		-2					2	- 2


=	0		-2		-10		= (-2)Ч					= (-2)Ч(-20 - 4) = 48.
	- 2		-2		-8					- 2	-10
	- 2		-2		-8

Пояснения. Вычли из 4-ой строки 1-ую, умноженную на 3,

а из 2-ой и 3-ей — вычли 1-ую строку; разложили определитель по 1-ому столбцу; прибавили к 3-ей строке 2-

ую, разложили определитель по 1-ому столбцу.

Ответ: D = 48 .

		ж0		0	1	ц
II.	Найти А-1	з		1	2	ч
		, где А = з0				ч . Сделать проверку.
		з	1	3		ч
		и			-1ш

Решение.

ж0 0 1

1 0 0ц

1 3 -1

0 0 1ц

(А

Е)= з0 1 2

0 1 0ч ® з0 1 2

0 1 0ч ®

и1 3 -1

0 0 1ш

0 0 1

1 0 0

ж1 3 0

1 0 1ц

1 0 0

7 -3 1ц

(Е

А-1).

® з0 1 0

- 2 1 0ч ® з0 1 0

- 2 1 0ч =

и0 0 1

1 0 0ш

0 0 1

1 0 0ш

ж0 0 1 ц ж

7 -3 1ц ж1 0 0ц

Проверка. АЧ А-1 = з0

2 чЧз- 2

0ч = з0

1 0ч.

1 3

-1ш и

1 0 0ш и0 0 1ш

ж 7

-3

1ц

Ответ: А-1 = з- 2

0ч.

и 1

ж1

0 ц

ж 2

1ц

III.

Перемножить матрицы: з2

1 чЧ

ч.

и-1

1ш

и1

-1ш

ж1	0 ц		ж	2 0	1ц
з		ч	ж	2 0	1ц	=
Решение. з2	1 ч		Чз		ч	=
з		ч	з	-1 1	ч
з		ч	и	-1 1	1ш
и1	-1ш
ж 1Ч2 + 0Ч(-1)			1Ч0 +0Ч1			1Ч1+ 0Ч1 ц		ж	2 0 1ц
з			2Ч0 +1Ч1				ч	з		ч
= з 2Ч2 +1Ч(-1)			2Ч0 +1Ч1			2Ч1+1Ч1 ч = з3 1 3ч.
з	(-1) 1Ч0 +(-1)				Ч1 1Ч1+(-1)		ч	з	3	ч
и1Ч2 +(-1)Ч	(-1) 1Ч0 +(-1)				Ч1 1Ч1+(-1)		Ч(-1)ш	и	3	-1 0ш
ж2	0	1ц
з	1		ч
Ответ: з3	1	3ч.
з	-1		ч
и3	-1	0ш

IV. Решить систему линейных уравнений матричным методом и методом Крамера и сделать проверку:

мх	+ 3х		= 6
н 1		2	.
о2х1 - х2			= 5

Решение.

Матричный метод.

Пусть

ж1

3 ц

Х = з

ч,А =

ч,

х2 ш

-1ш

ж6

-1

В =

АХ = В,Х

= А

ЧВ .

Найдём

Имеем:

ч. Тогда

D(А)= -7,А11 = -1,А12 = -2,А21 = -3,А22 =1.

Поэтому

-1 - 3ц

-1

ж -1

-3ц

ж 1

3 ц

7 ч

А* =

ч,А =

D(А)

- 2 1

з2

- 1 ч

и- 2 1 ш

(-7)

7ш

ж 1

ж6

ж3

Следовательно,

7 ч

з2

- 1 ч

Чз

= з

ч.

и5

ш и1ш

7ш

Ответ: х1 = 3,х2 =1.

										30
2)		Метод Крамера. Найдём
D =	1	3	,Dх	1	=	6	3		,Dх	2	=	1		6		.
D =	1	3	,Dх		=	6	3		,Dх		=	1		6		.
	2	-1				5	-1					2			5
								Dх								Dх		2
Следовательно, х							=		1	= 3,х			2		=			2	=1.
Следовательно, х							=		D	= 3,х					=				=1.
					1				D								D

Ответ: х1 = 3,х2 =1.

м3 + 3Ч1= 6

Проверка: н .

о2Ч3 -1= 5

V.Решить систему методом Гаусса:

мх1 - х2 + х3 = 0

= 4

н2х1 + х2

пх

+ 2х

+ 3х

= 8

о 1

Решение.

ж1 -1 1

0ц

1 -1 1

0ц

з2 1 0

4ч ® з0 3 -2

4ч ® з0 3 - 2

4ч Ю

и1 2 3

и0 3 2

0 0 4

4ш

мх1 - х2 + х3 = 0

4 + 2х

= 2,х1 = х2 - х3 =1.

Ю н3х2 - 2х3

= 4 Ю х2 =

ох3 =1

Ответ: х1 =1,х2 = 2,х3 =1.

Занятие 6.

Векторы. Линейные операции над

векторами. Разложение вектора по базису.

Определения. 1) Геометрический вектор — это направленный отрезок прямой. Обозначаем: AB,a,a (A — начало,

B — конец вектора);

2)Модуль вектора — это его длина; обозначаем a , АВ ;

3)Коллинеарными векторами называются вектора,

расположенные на параллельных прямых (или на одной прямой);

4)Компланарными векторами называются вектора, лежащие

водной плоскости (или в параллельных плоскостях);

5)Два вектора называются равными (пишем a = b), если они

коллинеарны, имеют одно направление и a = b ;

6) Нулевым вектором (обозначается a = 0 ) называется

вектор a, у которого a = 0. Единичным вектором называется

вектор a, у которого a =1;

					ж		Щ		ц
7) Угол между векторами	a	и	b	(обозначаем:	з	а	,	b	ч )
					з				ч
					и				ш

определяется следующим образом: необходимо привести эти

вектора к одному началу и взять наименьший угол, на который нужно повернуть один из них до совпадения с другим.

Линейные операции над векторами.

1) Сложение векторов c = a + b

(правило треугольника)

(правило параллелограмма)

Рис. 1.

Для векторов

определяем вектор

следующим

образом:

1) начало

совмещаем с концом

, а

соединяет

начало аи конец b (правило треугольника); или 2) а и b приводим

к одному началу, на них строим параллелограмм, и с соединяет общее начало а и b с противоположной вершиной параллелограмма (правило параллелограмма).

2) Умножение вектора на число. Для вектора a и числа λ

определяется вектор b = la таким образом, что b = l Ч a и b

направлен так, как a при λ>0 и противоположно при λ<0.

a	b = 2Чa						b = -2Чa
3)	Вычитание векторов.		-		=		+ (-		).
		a		b		a		b

Определения. 1) Базис в пространстве (на плоскости) — это

упорядоченная тройка e1,e2,e3 (пара e1,e2 ) некомпланарных

(неколлинеарных) векторов; 2) Базис называется ортонормирован-

ным, если e1,e2,e3 взаимно перпендикулярны и e1 = e2 = e3 =1.

Векторы ортонормированного базиса, направления которых совпадают с направлением осей OX, OY, OZ, обычно обозначают: i, j,k .

Теорема. Любой вектор a в пространстве

может быть

однозначно представлен в виде:

= x Ч

e1 + y Чe2 + zЧe3 ; (говорят:

разложен по базису

числа

x, y, z —

координаты

e1,e2,e3 ;

вектора в базисе

координатная

e1,e2,e3 ; пишем a = (x,y,z) —

форма задания вектора).

Определения.

0 =

1) Орт вектора

— это вектор

(т.е.

=1);

2)Пусть α,β,γ — углы, образованные вектором a с

положительными	направлениями осей OX, OY, OZ. Тогда
cosa,cos b,cosg	называются направляющими косинусами вектора

a. Легко видеть, что a0 = (cosa,cosb,cosg) и

cos2a + cos2 b +cos2 g =1.

Аналогичные формулы справедливы и для вектора на плоскости.

3) Тройка векторов а,b,c , не лежащих в одной плоскости,

называется правой (левой), если кратчайший поворот от а к b

происходит против (по) часовой стрелке, если смотреть на а и b с

конца c (рис. 2).

— левая тройка

— правая тройка

Рис. 2.

Теорема. Пусть заданы вектора а1,а2,а3 в координатной

форме (в ортонормированном базисе). Составим определитель Δ, у

которого i-ая строка образована координатами вектора аi (i =1,2,3).

Тогда:

1)если Δ=0, то аi (i =1,2,3) — линейно зависимы, т.е. компланарны;

2)если D > 0(< 0), то аi (i =1,2,3) образуют правую (левую) тройку

векторов.

Действия с векторами, заданными в координатной

форме.

жx

ж x + x

з 1

1) a1 =з y1 ч,a2 =з y2 чЮ a1 +a2 = зy1 + y2 ч;

з z	ч	з z	ч	з z + z		ч
и 1	ш	и	2 ш	и	1	2 ш

жзlx1 цч

2) la1 = зly1 ч;

зиlz1 чш

3) a1 = x12 + y12 + z12 (в ортонормированном базисе).

4)Если для вектора АВ известны координаты точек А(х1,y1,z1) и

B(х2, y2,z2 ), то координаты вектора АВ определяются так:

жз х2 - х1 цч

АВ =з y2 - y1 ч.

зи z2 - z1 чш

Пример 1. Даны точки A(2,-2,4), B(5,-3,0). Найти AB,BA, AB ,

направляющие косинусыАВ , орт AB .

Используя

указанные выше

определения, найдём:

3 ц

-3ц

AB =з

0 ч,BA= з

0 ч,

= 9+0+16 =5,

-4ш

4 ш

AB0

5 ч

= (cosa,cosb,cosg) = з

- 4

5ш

ж-1ц

Пример 2. Найти

a + b

a - b

, если a = з-5

ч,b = з 1

ч.

Используя свойства векторов, заданных в координатной форме,

найдём:

a+b = з-4ч,a -b = з-6ч,

a+b

= 4+16+16 = 6,

=14.

16+144+36

Пример 3. Даны a =з

ч,b = з

ч,c = з

. Разложить c по

-3

базису a,b.

Найдём такие числа x1 и x2, что

= x

2 ц

+ x

1ц

м9 = 2x

з ч

Чз

Чз ч

Ю н

-3 ч

2ч

4 = -3x

Ответ:

= 2

+ 5

Пример 4.

Определить, правая

c = x1 Чa + x2 Чb , т.е.

x2 Ю x = 2,x	2	= 5.
1	2
+ 2x2

или левая тройка векторов


	ж	1	ц		ж	4	ц			ж	0	ц
	з		ч		з		ч			з		ч
а = з2ч, b =з0ч, c =з1ч.
	з	3	ч		з	1	ч			з	1	ч
	и	3	ш		и	1	ш			и	1	ш
	Составим определитель из координат этих векторов и
определим его знак:
				1	2	3			1	2		3		1	2	3		1	2	3	= 3 > 0 .
				1	2	3			1	2		3		1	2	3		1	2	3
	D =			4 0 1				=	0 -8 -11				= -	0 1		1	= -	0 1 1
				0 1 1					0 1			1		0 -8 -11				0 0 -3

Ответ: вектора образуют правую тройку.

Задачи для самостоятельного решения

Разложить вектор с по векторам а и b:

7 ц

ж 3

-2ц

ж4ц

1ц

ж3ц

а) c =з

ч,a =

ч,b =

; б) c =з ч,a = з ч,b = з ч.

з ч

и-4ш

и-2ш

и9ш

2ш

и7ш

ж 3

ж-1ц

Даны а = з-5ч,b = з 1 ч. Найти

2a + b

a - 2b

и 8

и 4

3 ц

Даны

вектор

MN =з-1ч

точка

M(1,2,3).

Найти

точку

N(x,y,z).

ж 2 ц

Даны

вектор

AB =з-3ч

точка

В(1,-1,2).

Найти

точку

и-1

A(x,y,z) .

Может ли вектор составлять с осями координат следующие

углы:

а) a = 45o,b = 60o,g

=120o ; б) a = 45o,b =135o,g = 60o ?

Даны

точки

A(1,0,2),B(0,1,3),C(1,0,1).

Найти

= 2

0 ,

направляющие

косинусы

cosa,cos b,cosg

вектора

7) В параллелограмме ABCD даны стороны AD = a,AB = b

(рис.3). Выразить диагонали AC,BDи стороны BC,DC через a и b.

8) В DABC даны стороны AB = c,BC = a,CA = b и проведены медианы AM,BN,CP (рис. 4). Выразить медианы через a,b,c и

доказать, что AM +BN +CP = 0.

9) В

тетраэдре

ABCD

даны

рёбра

(рис.5). Выразить рёбра

через

AС

СB

ВА

10) В DABC известно, что

AD :CD = 2:3 , даны

(рис. 6). Найти

Ответы:

а)

- 2

, б)

;

506

- 2

N(4,1,7);

A(-1,2,3) ;

а)

да, б)

нет;

;

-1ц

0 ц

-2ц

3 ц

6) AB =з 0 ч,AC = з 0 ч,a =з

ч,

= 13,a

=з-

,0,

13 ш

1 ш

-1ш

пDC = b

,cosa = -

,cosb = 0,cosg

;

пAC = a + b

оBD = a - b

м
пAM = c + a
п	2

п
8) нпBN = a + b
п	2

п
п		c
пCP = b +		c
пCP = b +
п	2
о

мCB = b -c

; 9) пнBA = a - b ; 10)

пAC = с -a

BD = 3 a + 2 b .

5 5

А N

A D

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Занятие 7.

Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Даны вектора a1,...,ak . Составим их линейную комбинацию

х1 Ча1 +...+ хk Чаk , где х1,…,хk — произвольные действительные числа, и приравняем её к нулевому вектору:

x1a1 + x2 a2 +...+ xk ak = 0					(*)
	Система векторов		,...,
Определение.	Система векторов	a1	,...,	ak	называется

линейно независимой, если (*) выполняется тогда и только тогда,

когда все xi=0 (i=1,…,k), и называется линейно зависимой, если (*) выполняется для некоторого ненулевого набора чисел xi (i=1,…,k).

Однородные системы линейных уравнений.

Рассмотрим однородные системы линейных уравнений (см.

занятие №3). Их можно записать в виде Ax = 0, где

ж x	ц	ж	0ц
з 1	ч	з	ч

x = з...ч,0= з...ч — вектора-столбцы, А — матрица системы

зx	ч	з	0	ч
и	n ш	и		ш

размера mxn, где m — число уравнений. Решим систему методом

жз x1 цч

Гаусса, получив её общее решение x =з...ч. Пусть r неизвестных

зиxn чш

(например, x1,...,xr ) — свободные, а остальные (т.е. xr+1,...,xn ) — главные. Как отмечалось ранее, главные неизвестные представляются в виде вполне определённых линейных комбинаций свободных неизвестных, которые, в свою очередь, могут принимать любые значения. Рассмотрим r частных решений

	ж	1	ц	ж	0	ц
	з	0	ч	з	0	ч
	з	0	ч	з	0	ч
	з ...		ч	з ...		ч
	з	0	ч	з	1	ч
специального вида: x(1) =з		0	ч,...,x(r) = з		1	ч. В векторе
	зx(1)		ч	зx(r)		ч
	з	r+1	ч	з	r+1	ч
	з ...		ч	з ...		ч
	з x(1)		ч	зx(r) ч
	и	n	ш	и	n	ш

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра

#
24.03.2015120.9 Кб37Linal.pdf
#
24.03.20155.4 Mб44praktikum_po_lineinoi_algebre.pdf