PRIKLADNAYa_MEKhANIKA_ch1

22

ПО.l0ЖНЫХ гранях возникают противоположные по направлениlO си­

.1Ы, то первые 1рlf УС.l0ВИЯ равновесия (суммы проекций всех сил на

оси x,y,z) УДОВ.1СТВОРЯЮТСЯ тождественно. Нетрудно убедиться, что

оставшиеся 1рИ уравнения ~fOментов сил относите:JЬНО осей x,y.;z. да­

ют:

эти зависимости выражают закон парности касате.1ЬНЫХ иа­ nряжений: на двух взаимно перпендикулярных гранях касательные

напряжения равны по ~fО..1)':JЮ и направ.'1ены либо к общему ребру,

.1Ибо от ребра. Закон ларности позво:JЯет уменьшить число неизвест­

ны:\: напряжений от девяти до шести.

Напряженное состояние в точке прi:дставляет собой тензор, опреде:IЯСМЫЙ шестью компонентами)

Тензор напряжеНIIЙ не зависит от ориентации осей х, у, z. Ее­

.1И выбрать новую систему координат, значения компонентов тензора

изменятся, однако сам тензор останется тем же.

3.7.Дефор.Jtuцuя твердого те/lа. Норма.lьные напряжения вызыва­

ют деформации уд,lинения (укорочения), в результате точки тела

смещаются. Рассмо1рИМ действие напряжения ~(рис.з.б,а) на беско­

нечно М'\.lЫЙ Э.'lемент (см. рис. З.5,б). Обозначим (рис.З.б,б): dx, dx' - длинi' элемента до и после деформации тела; А',В' - положения точек А, В вследствие деформации;

U, v - леремещения точки А ПО направлениям координатных осей х, у в результате деформации.

www.mitht.ru/e-library

23

Полагая, что u =u(x,y), V = у(х,у), можем ~исать, что пере-

IOТCЯ в npoцеитах.

Касательные напряжения вызывают .угловую деформацию (деформацию сдвнга). Рассмотрим действне на бесконечио малый

элемент (см.рис.3.S,б) напряжений 'tху='t)'S='t(рис.З.6,в).

УЧИТЫвая, что нас иtrrepeCyюr деформации элемекra, а не его

перемещсния как твердого тела, будем C'iИтать одну из граней

(нижнюю) условно иеподвижноЙ. В результате элемент примет форму

параллелограмма.

Мерой деформации ЯВJlJlется изменение npямого угла 'У1.у=у,

'1 - относительный сдвиг.

Если закрепить другую грань (вертикальную), ТО l'и 'Уху бу­

дyr такими же.

www.mitht.ru/e-library

25

8) www.mitht.ru/e-library

Рис. .3.в

26

д'1Я стали: Е ~2,1*)O МПа; G ~8*)O МПа;pt ~ 0,25 ...0,3.

Итак, изотропное упругое тело описывается тремя упругими

констаита.\ш, две из которых ЯВ,1ЯЮТСЯ независимыми величинами.

Расчет напряжеННО~pt'1WРОQaНIlОГО состояния является одним из

важных этапов решения задачи о прочностной надежности объектов.

3.9ОС1l0811ые nри1lциnы •.,ехОllики дефор.4fируемого т8ердого mела.

1.Приllциn с)'nерnозиции или независимости действия сил (справед.1ИВ д.1Я упругих систем).

НапряЖсННо-дефОРМИ{)ОЕ:4,НноQ состояние (ИДе) системы, на

которую действует НССКО.1ЬКО сил, определяется JCaK сумма иде от

каждой из си;, (рис.3.7).

2. ПриllЦUn Сеll-Венона. Вда..1И от места npиложения на­ грузки иде не зависит от способа приложения нагрузки (рис.3.8).

3. ПриllЦUn 1I0чолыIы.~ роз.."ерО8. При состав.'1ении уравне­ ннй равновесия статики обычно не учитывают изменения размеров

конструкции ВС,1едствие деформаций ее Э.1еМСНТО8 (например, пере­ мсщснием точки В бруса АВ вследствие удлинения каната ве можно

пренебрсчь, рис.3.9).

4. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОНСТРTh'"ЦИОВ­

Hыx МАТЕРИАЛОВ

4.1. Диогрtu..,.,о деформиРО80ltиR. Oclt08HbJe механические XIIраке­

ристики материалов.Для npактических расчетов необходимо знать

предельные значения напряжений и упругие константы материалов. е этой целью проводятся испытания, основным И3 которых является

испытание на растяжение.

www.mitht.ru/e-library

27

Испытание проводят на разрывной машине. Стандартный об­ разец (обычно цилиндрический) подвергаюг действию растягиваю­

щих сип Р (рис.4.l),.4- начальная расчетная длина образца, d - его

диаметр. Машина обеспечивает статическое нагружение образца и снабжена устройством, вычерчивающим график зависимости Р = Р(

4 i ),4 i - удлинение образца.

Типичная диаграмма растяжения показана на рис.4.1,б. Она

может быть разделена на четыре основные зоны:

ОА - зона упругости (соблюдается закон Гука - удлинение npoпорционально силе; после снятия нагрузки образец восстанавли-

8ает свои размеры);

ВС - зона общей текучести, участок ВС - площадка теку'1ести (наблюдается рост деформации при почти постоянной нагрузке - ма­

териал течет);

СД - зона упрочнения (удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но более медленным, чем в·зоне упругоСти; зависнмость Р =Р( 4 i ) ~ нелинейиа; на образце намечается шейка -

место будущего разрыва образца; в точке Д нагрузка достигает наи­

оольшего значения - р. ); ДК - зона местной текучecni (у.zytинение

образЦа СОПРОВОЖдается уменьшением нагрузки вследствие сужения шейки; точка К соответствует разрушению образца).

Предполагаем, что при растяжении в образце возникает одно­

родное напряженное состояние (напряжения ПOCТOJfнны как по сече­

нию, taJ( и по д..1ине).

Если воспользоваться методом сечений (рнс.4.2,а), то очевид­ но, что в любом поперечном сечении n - n образца возникает нор­

мальная сипа N =Р. Сила N является равнодействующей внyrpенних сил в сечении. для однородного образца внyrpeнние сипы распреде­

лены по сечению равномерно. Тогда нормальное напряжение для всех точек сечения будет одним и тем же:

www.mitht.ru/e-library

где F - площадь поперечногосечения образца, F =1td'1./4.

для получения механнческих характеристик материала ис­

КJIЮчают влияние размеров образца. Диаграмму растяженИJI пере­

страиваютв координатах r5 = PIF,E= All е• .Зависимость назы­

вается диаграммой деформированИJI (рис.4.3), она подобна исходной.

Основные мt.ланические характеристнки маТериала - следую­

щие. d

f!) f1Ц - предел ПРОПОРЦИОН8JlЬНОСТН, наибольшее иanpJlЖение,

до которого сООлюдаЮСJl закон гужа (Е=С/Е).

6'т - предел текучecm, напряжение, при котором происходит

рост деформаций без заметного увеличения нагрузки. -

<?8 -временное сопporивленне (предел прочиости), orношение

мaJ(симальной сипы, которую выдерживает образец, к иачальной

площади его поперечного сечения.

Ь-orноснтельное (остаточное) удлинение при разрыве,

0'=(et - ep>I~~,4-длина обр~а после разрыва (см.рис.4.l,а н

рис.4.3). _

Если ["> 10 % (при(/d=S), материал называютпластичным,

при б< 3 % -хрупким.

уГOJJ наклона диаграммы деформирования в зоне упругости­

(см.рис.4.3) характеризует жесткость материала: tg 0.= Е.

Если образец разгрузигь на участке ОА, то разгрузка пойдет по той же линии (см.рнс.4.3). Ecnи образец разгрузигь на участке сд. например, в точке N, то лИННR разгрузkИ NL будет параллельна ли­

нии ОА. Полная деформациЯ образца в точке N :

е =r 8у + ёtJC!h. , С.У м Е. Р&ln. -

- упругая и остаточная (n.пacтичecкая) деформaцНR. При повториом

иагружеиии образца лИIIШI нагрузки совпадает с линией разгрузки, и

чacrъ диarpаммы (левее точки N) "('; ПОВТОРJЮrCя. Следовaтonъио, по-

www.mitht.ru/e-library

А11.,-4 nt+JJ? Jп

Рис. Э.7

~l

wwwРис.mitht, ~.1.ru/e-library

30

зышается предел пропорционмьности и уменьшается пластичность

материма. Это явление называют наклепом. Оно широко использует­

СЯ в технике.

Для многих пластичных материалов (меди, среднеуглероди­ стой стали) на диаграмме деформирования отсутствует выраженная

площадка текучести (рис.4.4), тогда вводится понятие yc,,'IOBHOГO пре­

делатекучести 60.2, ПI-.i котором ЕОСТ= 0.2 %.

для хрупких материалов (например, чугуна) диаграмма де­

формирования при растяжении не имеет П:lOщадки текучести и зоны

упрочнения (рис.4.5). Р;lзрушение образца происходит при малых

остаточных деформациях.

По-разному Beдyr себя пластичные и хрупкие материалы и при испытании на сжатие. Короткий цилиндрический образец (рисА.б,а) устанавливают между параллельиыми плитами и подвер­ гают действию сжимающих сил Р, образец сжимается в диск.

Диаграмма деформирования при сжатии пластичного мате­

риала. например, малоуглеродистой стали (рис.4.6,б) до прсде:Jа те­

К}'Чести подобна диаграмме при растяжении (см.рис.4.3), пределы

теk")'Чести одинаковы (б 1р= ~ те). Однако дальше кривая идет круто

вверх из-за увеличения площади сечения образца, и предел прочности

найти не удается.

В случае хрупкого материала диаграмма деформирования при

сжатии аналогична диаграмме при растяжении (см.рис.4.5), но пре­

дел прочности при сжатии ~ вс выше предела прочности при рас­

тяжениибар, например, для чугуна Овс =(3....5) бвр' Свойства мате­

риалов существенным обр.!зом зависят от температуры (обычно ис­

пытания проводят при tO =200с). для малоуглеродиcroй стали до tO =

200....3000С наблюдается повышение ({ви снижение ()~ при tO > зооОс

б.. падает,О растет. Л'i'ированные стали и цветные сплавы при по­

вышении температуры обнаруживают:снижение t5 вр И Отр;рост О

www.mitht.ru/e-library