§6. Применение рядов в приближенных вычислениях
Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определенных интегралов, которые являются «не берущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.
Примеры
I. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:
а)
Решение.Для вычисления
запишем ряд (5.3) при
,
принадлежащем области сходимости
:
Взяв первые пять членов разложения, на
основании следствия из теоремы Лейбница
для сходящегося знакочередующегося
ряда, мы допустим погрешность
,
не превышающую первого отброшенного
члена (по абсолютной величине), т.е.
.
Итак,
б)
Решение.Воспользуемся разложением
(5.11), подставив в него
,
входящее в область сходимости
:
Так как данный числовой ряд не является знакопеременным, то о погрешности нельзя судить по величине первого отбрасываемого члена.
Если в качестве
взять сумму первых трех членов, мы
допустим погрешность
(здесь
мы учли, что сумма сходящегося
геометрического ряда в скобках равна
)
Итак,
в)
Решение.Для вычисления
запишем ряд (5.4) при
,
принадлежащем области сходимости
:
(необходимо
взять два члена, так как при этом
погрешность
).
Итак,
.
II. Вычислить приближенно с точностью до 0,001 следующие интегралы:
a)
Решение.Так как интеграл «не берущийся», «точное» интегрирование здесь невозможно.
Воспользуемся разложением (5.4). Разделив
обе части на
,
получим
,
причем ряд сходится при всех значениях
.
Интегрируя почленно, получим:
Возьмем
первые три члена разложения, т.к.
.
Итак,
б)
Решение.Заменив
на
в разложении (5.3), получим:
.
Умножая полученный ряд на
:
,
и
почленно интегрируя в интервале
,
принадлежащем интервалу сходимости
ряда
,
имеем:
При этом
.
Итак,
.
Задачи
Разложить в ряд Маклорена следующие функции, указав промежутки сходимости полученных рядов.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
Разложить в ряд Тейлора следующие функции и найти область сходимости полученного ряда.
93.
по степеням
94
по степеням
95.
по степеням
96.
по степеням
97.
по степеням
98.
по степеням
Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:
99.
100.
101.
102.
103.
104.
Вычислить приближенно, взяв первые два члена разложения в ряд подынтегральной функции, и оценить допущенные при этом погрешности:
105.
106.
Ответы
В задачах 1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 42, 43, 44 – ряды сходятся.
В задачах 2, 4, 5, 11, 14, 16, 20, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 36, 39, 40, и 41 – ряды расходятся.
В задачах 45, 46, 47, 49, 50, 51, 55 – ряды абсолютно сходятся.
В задачах 48, 53, 54, 57 – ряды сходятся условно.
В задачах 52, 56, 58, 59 – ряды расходятся.
60.
(-1;1], 61. [-1/2;1/2), 62. {0}, 63. (-1/3;1/3],
64. (-1;1), 65. [0;2], 66. [-10;10),
67. (-∞;∞), 68.
(-7;-1), 69.
[-4;4), 70.
(-2;2), 71. 
,72. [1;3),
73.
(-1/3;1/3), 74.
(-∞;∞), 75.
[-1;1], 76. [-1;1),
77. (1;5],
78.
(-1/4;1/4),
79.
(-1/3;1/3), 80.
(-3;1], 81. (-1;1],
82.
(-∞;∞), 83.
,84.
,85. [-1/e;1/e),
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
.
Оглавление