§3. Признаки сходимости знакопеременных рядов

Определение.Знакочередующимся рядомназывается ряд вида

, (3.1)

где – положительные числа.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости:

Теорема Лейбница.Если члены знакочередующегося ряда (4.1) убывают по абсолютной величине и предел его общего члена приравен нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена.

Т.е. для того, чтобы исследовать знакочередующийся ряд на сходимость, достаточно проверить выполнение двух условий:

1) (3.2)

2) (3.3)

Замечание.Неравенства (3.2) могут выполняться, начиная с некоторого.

Примеры

Исследовать на сходимость следующие ряды:

1)

Решение.Т.к. члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:, и вообще,, а общий член ряда пристремится к нулю, то в силу признака Лейбница ряд сходится.

2) .

Решение.Проверим условие (3.2):. Доказать это неравенство достаточно сложно. Поэтому применим следующий прием: докажем, что функциямонотонно убывает на некотором интервале видас помощью вычисления производной и исследования функции (это уже было сделано в §2, разделIV, пример 2). В нашем случаепри, и функция монотонно убывает в данном промежутке. Следовательно, неравенства (3.2) выполняются для любых, начиная с трех.

Проверим условие (3.3). Для этого необходимо вычислить . Используя правило Лопиталя, получим. Следовательно, и.

Т.о., оба условия теоремы Лейбница выполняются, и, следовательно, данный ряд сходится.

Определение.Ряд называетсязнакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Очевидно, знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных.

Предполагаем теперь, что в записи

(3.4)

имеются как положительные, так и отрицательные .

Теорема.(Модульный признак сходимости знакопеременных рядов).

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного знакопеременного ряда (3.4):

(3.5)

сходится, то сходится и данный ряд.

Отметим, что если ряд (3.5) расходится, то отсюда не следует, что ряд (3.4) будет также расходящимся. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд из абсолютных величин его членов (гармонический ряд)расходится.

В связи с этим можно ввести понятие абсолютной и условной сходимости:

Определение.Знакопеременный рядназываетсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение.Знакопеременный рядназываетсяусловно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, а сам ряд сходится.

Например, ряд является условно сходящимся (см. пример 1). А рядявляется абсолютно сходящимся, т.к. ряд, составленный из абсолютных величин, сходится (обобщенный гармонический при).

Грубо говоря, различие между абсолютно и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые частично уничтожают друг друга.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно различаются: абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы: их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Возьмем, например, условно сходящийся ряд . Переставим члены ряда местами и сгруппируем их следующим образом:

Перепишем ряд в виде (произведя первое действие в каждой скобке):

Видим, что от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза.

Можно показать (теорема Римана), что от перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

Примеры

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.

1)

Решение.Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:сходится по признаку сравнения, т.к., а ряд– сходится (обобщенный гармонический ряд при). Следовательно, данный ряд является абсолютно сходящимся.

2)

Решение.Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:. Исследуем этот ряд на сходимость с помощью предельного признака сравнения, сравнив его с эталонным рядом(pподберем в процессе сравнения), имеемилишь при равенстве степеней числителя и знаменателя, т.е. при, следовательно, сравниваемые ряды являются расходящимися. Таким образом, ряд, составленный из модулей, расходится, и абсолютной сходимости нет.

Исследуем данный знакочередующийся ряд с помощью признака Лейбница. Очевидно, что:

1) , 2).

Оба пункта признака Лейбница выполнены, следовательно, данный ряд условно сходится.

Задачи

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:

45. 46.47.

48. 49.50.

51. 52.53.

54.55.56.

57.58.59.