1.3. Начисление простого процента и сложного процента.

Простой процент.

Простой процент начисляется за все время действия контракта на определенную первоначальную сумму. Этот способ начисления процентов называют “наращением без капитализации”. Наращенная сумма при ежегодном начислении процентов или будущая стоимость (future value) равна

, (1.8)

где r – годовая процентная ставка n – число лет.

Если начисление процента происходит ежедневно, то для простых процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле

, (1.9)

где - временная база, или число дней в финансовом году³, Т – число дней наращения.

Процентный доход равен или.

Пример 4. Кредит в размере 2 млн. руб. был выдан на 60 дней под 12% годовых. Найти наращенную сумму и процентный доход.

Пример 5. Банк предлагает депозит с начислением на первоначальную сумму. Первые три месяца по ставке 4% годовых, в следующие три месяца процентная ставка увеличивается на 0,5%. Найти наращенную сумму и процентный доход, если сумма вклада составляет 30 000руб.

Сложный процент.

Начисление сложного процента осуществляется на наращенную сумму, поэтому этот способ начисления называют «наращением с капитализацией». Наращенная сумма при начислении сложного процента за произвольное число дней равна

, (1.10)

где r - годовая процентная ставка, выраженная в виде долей единицы. Величина часто бывает нецелым числом. Иногда для расчета наращенной суммы при дробном числе лет применяться приближенная формула.

, (1.11)

где i- целая часть числа , аf - дробная часть этого числа. Если начисление сложных процентов происходит m раз в году течении n лет, то расчет наращенной суммы за время производят по формуле

, (1.12)

где r – годовая процентная ставка (номинальная), – процентная ставка за период (periodic interest rate). Величина– называетсямножителем наращения, а – коэффициентом наращения.

Наращенная сумма зависит от частоты начисления процентов. Чем больше частота начисления процентов, тем больше наращенная сумма. Таким образом, для вкладчика выгоднее частое начисление процентов, а для заемщика наоборот. В кредитных контрактах и депозитных договорах, когда начисление процентов происходит по сложной процентной ставке, указывается годовая процентная ставка, которая называется номинальной.

Непрерывное начисление процентов.

Если частота начисления процентов становится непрерывной, то есть частота начисления процентов бесконечно возрастает , а временной интервал начисления становится бесконечно малым, то наращенная сумма или будущая стоимость рассчитывается по формуле

, (1.13)

где – число лет. При выводе (1.13) использовалось известное приближение , где , при.

В практике кредитных расчетов непрерывное начисление процентов применяется редко. Обычно для кредитных расчетов применяется ежедневное начисление процентов. При непрерывном начислении процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле

, (1.14)

где – сила роста, которая является фактически непрерывной процентной ставкой. Если сила роста постоянна, то наращенная сумма за времяT равна

, (1.15)

Если величина , то используя приближение, получим.

При нестабильной экономике процентные ставки могут значительно изменяться в течение года. В этом случае наращенная сумма вычисляется по формуле

, (1.16)

где – последовательные значения процентных ставок в соответствующие периоды...

Если необходимо найти количество лет для увеличения начальной суммы в N раз, то для простых процентов из формулы (1.8) получим

; (1.17)

для сложных процентов из формулы (1.12) получим

, (1.18)

. (1.19)

Пример 6. Сколько лет потребуется для увеличения первоначальной суммы в 1,2 раза, если номинальная процентная ставка равна 9%, а начисление процентов происходит 4 раза в год.

Решение. По формуле (1.19) найдем необходимое число лет:

N = 1,2; m = 4, 2 года.

Пример 7. Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов начисления процентов за один год, два года, 5 лет. Начальная сумма равна 1000 руб., годовая процентная ставка равна 10%.

Решение. Расчет проведем по формуле (1.12) в Excel. Результаты расчетов приведены ниже в таблице и на гистограммах ниже.

Таблица 1.1. Наращенные суммы и множители наращения для различной частоты начисления процентов в году.

сумма	Частота начислений в году	Наращенная сумма	Базисное наращение	Цепное наращение
	m
Начальная сумма 1000	1	1100	100
	2	1102,5	102,5	2,5
	4	1103,813	103,813	1,313
	6	1104,260	104,260	0,448
	12	1104,713	104,713	0,453
	360	1105,171	105,171	0,458

частота начисления %	m	Множитель наращения
		один год	два года	пять лет
раз в год	1	1,1	1,21	1,61051
два раза в год	2	1,1025	1,2155	1,6289
раз в квартал	4	1,1038	1,2184	1,6386
шесть раз в году	6	1,1043	1,2194	1,6419
ежемесячно	12	1,1047	1,2204	1,6453
ежедневно	365	1,1052	1,2214	1,6486
непрерывное		1,1052	1,2214	1,6487

Из приведенных выше расчетов и графика (рис.1.5) видно, что чем больше частота начисления процентов за тот же период начисления , тем больше наращенная сумма. Причем цепное наращение, начиная с частоты равной 6 раз в год, растет практически на постоянную величину0,45. Эта динамика замедления роста наращенной суммы с ростом частоты начисления процентов видна и на рис. 1.5. Увеличение наращенной суммы с ростом числа лет (периода начисления) не замедляется, поскольку как видно из формулы (1.12)и рисунка является степенной функцией числа лет.

Рис. 1.5. Зависимость наращенной суммы и величины множителя наращения от частоты начисления процентов.

Эффективная процентная ставка.

Эффективная процентная ставка позволяет сравнить доходности различных финансовых операций или, другими словами, сравнить различные способы получения процентного дохода.

В финансовых расчетах при анализе доходности финансовых операций часто приходится сравнивать различные виды процентных ставок, в которых выражается доходность данной конкретной финансовой операции. Например, банки предоставляют различные виды депозита с различными сроками, частотой начисления процентного дохода, различными номинальными ставками. Какой вариант выбрать? Или, например, вы хотите инвестировать 100000 руб. Возможны несколько вариантов: положить на депозит, купить облигации или купить акции. Эти финансовые операции также характеризуются величиной процентной ставки. Для сравнения результатов финансовых операций обычно применятся эффективная процентная ставка.

Эффективная процентная ставка численно равна годичной ставке сложных процентов, дающей то же соотношение между полученной суммой за времяt = T и затраченной суммой , которая получается при любой схеме выплат.

, (1.20)

, (1.21)

где Т измеряется в годах. Эффективная процентная ставка, как видно из формулы (1.21), зависит от отношения конечной и начальной сумм и от продолжительности периода начисления процентов .

Если проценты начисляются m раз в год по схеме сложных процентов, то формула (1.20) приобретает более простой вид. Действительно, из формулы (1.12), учитывая, что Т = n получим

. (1.22)

Эффективная процентная ставка позволяет сравнить доходности различных финансовых операций или, другими словами, сравнить различные методы получения процентного дохода.

Пример 8. Найти эффективную процентную ставку при ежеквартальном начислении сложных процентов. Номинальная (годовая) процентная ставка равна 18%.

Пример 9. Предприниматель может получить ссуду в размере 100 тыс. руб.: а) на условиях ежеквартального начисления сложных процентов из расчета 75% годовых, б) на условиях полугодового начисления сложных процентов из расчета 80% годовых. Какой вариант предпочесть?

.1. 4. Процентная ставка в условиях инфляции.

Если имеется инфляция, то для сохранения заданной доходности (реальной доходности) расчеты следует проводить по процентной ставке учитывающей инфляцию⁴.

, (1.23)

г

Процентная ставка, учитывающая инфляцию, равна

деr – номинальная процентная ставка, – реальная процентная ставка,– темп инфляции. Иногда номинальную ставку называют брутто-ставкой. Формулу (1.22) называют формулой Фишера, вывод которой приведен ниже. Обычно в популярной литературе считают, что для сохранения заданной доходности () достаточно чтобы номинальная ставка превышала реальную доходность на величину темпа инфляции, но это верно для малых величин0,2.

С темпом инфляции связан индекс цен за период T

. (1.24)

Если необходимо вычислить инфляцию за большой период , а она не является постоянной, то инфляцияравна

, (1.25)

где - темп инфляции за соответствующий временной период,– индекс цен соответствующийi – му моменту времени. Если в течении n периодов инфляция постоянна, то темп инфляции связан с индексомI соотношением .

Вывод формулы Фишера.

Пусть - стоимость товара в начале периода,- стоимость товара, например, через год. Темп инфляции равен

. (1.26)

Очевидно, что из-за инфляции на ту же сумму денег товаров можно купить меньше. Реальная стоимость денег при инфляции уменьшается. Для того, чтобы купить такое же количество товара нужна сумма . Пусть имеется сумма. Если текущая процентная ставка равнаr, то через год вы получите сумму равную . Чтобы деньги сохранили свою покупательную способность необходимо, чтобы наращенная сумма, или

. (1.27)

Если, кроме избегания инфляции, надо получить доход, то . Пусть эта сумма равна. Реальная процентная равна

. (1.28)

Из (1.28) после подстановкив (1.27) вместополучим

.

Если , то процентная ставка равна

. (1.29)

Такая процентная ставка обеспечивает реальную эффективность финансовой операции.

Реальная процентная ставка из (1.29) равна

. (1.30)

Если темп инфляции превышает номинальную ставку , то реальная процентная ставка становится отрицательной. Это означает, что наращенная сумма не компенсирует потерю покупательной способности денег из-за инфляции.

Полученная зависимость процентной ставки от темпа инфляции, может быть проверена статистическими методами, например, с помощью построения регрессионной модели. Такая проверка была проведена⁵. Предсказанная линейная зависимость подтвердилась для долгосрочных процентных ставок на срок более пяти лет. Для краткосрочных процентных ставок такая линейная зависимость не подтверждается.

Пример 10. Кредит 12,0 млн. руб. был выдан на 3 года. На этот период прогнозируется рост цен в 2,2 раза. Определить ставку процента при выдаче кредита и наращенную сумму долга, если реальная доходность этой финансовой операции для кредитора должна составлять 12% годовых.