Модуль 1.1.3 / Модуль 1.1.3 / Аналит. геометрія / пряма та площіна / Пряма у просторі

Пряма лінія в просторі

Пряма у просторі може бути задана:

1. загальними рівняннями

{	A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0,

де A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 і A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 –рівняння площин, що перетинаються по прямій;

2. параметричними рівняннями

x=x₀+mt, y=y₀+nt, z=z₀+pt,

де M₀(x₀; y₀; z₀) – задана точка, що належить прямій,

→ s=(m; n; p)

– напрямний вектор прямої;

3. канонічними рівняннями

x–x0	=	y–y0	=	z–z0	,
m		n		p

4. рівняннями прямої, що проходить через дві задані точки M₁(x₁; y₁; z₁) і

M₂(x₂; y₂; z₂) є

x–x1	=	y–y1	=	z–z1	.
x2–x1		y2–y1		z2–z1

Завдання для самоперевірки:

1. Пряма задана загальними рівняннями. Скласти канонічні та параметричні рівняння цієї прямої, якщо:

а)	{	2x–y+2z–4=0, x+2y–z–1=0;
	б)	{	x+2y–3z–5=0, 2x–y+z+2=0.

2. Скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки M₁ і M₂, якщо:

а) M₁(1; –2; 1), M₂(3; 1; –1);

б) M₁(3; –1; 0), M₂(1; 0; –3)

Кут між двома прямими

x–x1	=	y–y1	=	z–z1	і
m1		n1		p1

x–x2	=	y–y2	=	z–z2
m2		n2		p2

обчислюються за формулою

cos φ	=	m1m2+ n1n2+ p1p2	.
		√(m1)2+(n1)2+(p1)2 · √(m2)2+(n2)2+(p2)2

Умова паралельності прямих

m1	=	n1	=	p1
m2		n2		p2

Умова перпендикулярності прямих

m₁m₂+ n₁n₂+ p₁p₂=0.

Завдання для самоперевірки:

1. Визначити кут, утворений прямими

x+5	=	y	=	z–1
6		3		2

x+1=y−1=−(z+2) та

2. Обчислити кут між прямими

x	=	y	=	z	і
1		–2		3

{	3x+y–5z=0, 2x+3y–8z+1=0.

3. Довести паралельність прямих

а)

{

2x+2y–z–10=0, x–y–z–22=0

та

x+7	=	y–5	=	z–9
3		–1		4

б)

{

x+y+z–1=0, y+4z=0

та

{

2x+3y+6z–6=0, 3x+4y+7z=0.

x	=	y	=	z
2		3		1

4. Довести, що пряма перпендикулярна до прямої

{	x–z–1=0, y+z–1=0.

5. Написати канонічні рівняння прямої, що проходить через точку М₀ (2; 0; –3) паралельно:

→ s=(2; –3; 5)

а) вектору

x–1	=	y+2	=	z+1
5		2		–1

б) прямій

в) осі O_x

{	3x+y–5z=0, 2x+3y–8z+1=0.

г) осі O_z

д) прямій

е) прямій x=−2+t ¸ y=2t¸ z=1−1/2t.

Кут між прямою

x–x0	=	y–y0	=	z–z0	і площиною Ax+By+Cz+D=0
m		n		p

знаходять за формулою

sin φ	=	|Am+Bn+Cp|	.
		√m2+n2+p2 · √A2+B2+C2

Умова паралельності прямої і площини

Am+Bn+Cp=0

Умова перпендикулярності прямих

A	=	B	=	C
m		n		p

Завдання для самоперевірки:

1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку A (2; 0; –3) і пряму

{	2x–3y+z–3=0, x+3y+2z+1=0.

x–2	=	y	=	z+1
2		1		0

2. Задано пряму і точку М (0; 1; 2).

Треба:

а) скласти рівняння площини, що проходить через задану пряму і точку М

б) скласти рівняння площини, що проходить через точку М перпендикулярно до прямої

в) обчислити відстань від точки до прямої

г) знайти проекцію точки М на задану пряму

x–1	=	y	=	z+1
0		2		1

3. Задано площину x–y–z+1=0 і пряму

Треба:

а) обчислити синус кута між площиною і прямою

б) координати точки перетину прямої і площини

в) скласти рівняння площини, що проходить через задану пряму перпендикулярно до площини

4. При якому значенні коефіцієнта А площина Ax+2y–z+5=0 паралельна прямій

x	=	y–1	=	z+2
2		3		2

5. x	=	y–1	=	z+2
   2		3		2

   При яких значеннях коефіцієнта А і В площина Ax+Вy+9z–1=0 перпендикулярна

до прямої

6. Через точку М₀ (1; 1; 1) провести пряму паралельно площинам x+y+z+1=0 і

x–y– z+2=0

7. {	x–y+z–1=0, 2x+y–z+4=0.

   Скласти рівняння та знайти довжину перпендикуляра, опущеного з точки (1; 0; 4)

на пряму

{	x–y+2z+1=0, x–z+2=0.

8. Знайти точку, симетричну точці P (1; –2; –6) щодо прямої

9. х–1	=	y	=	z+2
   –2		1		1

   Знайти відстань від точки P (–1; 3; 3) до прямої

10. Знайти відстань між прямими

{	2x+2y–z–10=0, x–y–z–22=0							і

x+7	=	y–5	=	z–9
3		–1		4

11. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки перетину площини

2x+y–3z+1 з прямими

x–5	=	y–3	=	z+4
2		4		–6

x–3	=	y–5	=	z+1	і
1		–5		2