Измерения

Выполнение этой части работы требует особого внимания и тщательности. Углы отклонения оборотного маятника рекомендуется брать меньше 10^о, т.к. при больших амплитудах может возникнуть скольжение призмы по опорной площадке.

Определите период колебания маятника для 10 различных положений SчечевицыDна шкале (см. рис. 1). Это следует проделать, перемещая чечевицу по шкале на 5 – 10 мм. При каждом положении чечевицы период колебаний маятника нужно измерять при прямом и перевернутом положении маятника не менее двух раз. Полученные данные поместите в таблицу, форму которой разработайте самостоятельно.

Затем постройте график T=f(S) для прямого и перевернутого положений маятника. Точка пересечения прямых определяет местонахождение подвижной чечевицыS, которое дает наиболее близкие друг к другу значения периодов.

Это местонахождение чечевицы можно определить и расчетным путем методом наименьших квадратов.

Пусть для прямого положения маятника

,

а для перевернутого

.

При условии Т_{1 =} Т₂ имеем

откуда

.

Здесь a иbозначают коэффициенты уравнения, получаемые методом наименьших квадратов.

При этом положении чечевицы определите периоды колебаний Т₁иТ₂(в прямом и перевернутом положении маятника) с наибольшей тщательностью несколько раз.

Для определения величин L₁иL₂(см. рис. 1) снимите маятник с кронштейна и осторожно положите его стержнем на специальную подставку. На подставке, которая имеет острую грань, маятник уравновесьте. Расстояние от точки центра тяжести маятника, находящейся над гранью, до опорных призм дает величиныL₁ иL₂. Измерение их проведите со всей тщательностью (от этого зависит точность определения величиныg).

При расчете учтите, что L₁+L₂ = 0.730 м. Данные измерений занесите в таблицу. Пользуясь формулой Бесселя (5), определите величину ускорения силы тяжести. По формуле (10) рассчитайте погрешностьg.

УПРАЖНЕНИЕ 3.

Физическим маятником называют любое твердое тело, которое под действием силы тяжести может свободно качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Движение маятника описывается уравнением

,

гдеI— момент инерции маятника,

 — угол отклонения маятника от положения равновесия,

t — время,

М — момент сил, действующих на маятник.

В данном упражнении в качестве физического маятника используется однородный стальной стержень длины L. На стержне закреплена опорная призма, острое ребро которой является осью качания маятника. Призму можно перемещать вдоль стержня, меняя таким образом расстояниеОСот точки опоры маятника до его центра масс. Пусть это расстояние равноd (рис. 5).

Тогда по теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции маятника

,

гдеm— масса маятника.

Момент силы тяжести, действующей на маятник,

.

Если уголмал, тоsinи.

В

Рис. 5

исправной установке маятник совершает около сотни колебаний без заметного затухания, поэтому моментом силы трения в первом приближении можно пренебречь. Подставляя выражения дляIиMв (11), получим уравнение

, (12)

где . (13)

Легко убедиться, что решением этого уравнения является функция

.

Амплитуда колебаний Аи их начальная фаза_о зависят от того, как возбуждаются колебания маятника, а частота колебаний, согласно (13), определяется только параметрамиLиd. Изполучаем

. (14)

Мы видим, что период колебаний физического маятника не зависит ни от фазы, ни от амплитуды колебаний. Это утверждение справедливо для колебаний, подчиняющихся уравнению (12). Движение маятника описывается этим уравнением приближенно — в той мере, в какой справедлива использованная при выводе (12) формула sin.

Исследование правильности утверждения о том, что период колебаний маятника не зависит от амплитуды, является чувствительным методом проверки теории.

Как известно, период колебаний математического маятника определяется формулой

,

где L^’— длина математического маятника.Приведенной длинойфизического маятника называется длина такого математического маятника, который имеет период колебаний такой же, как у данного физического маятника. Поэтому величина (см. (14))

(15)

равна приведенной длине физического маятника. Точку О^’, отстоящую от точки опорыОна расстояниеL_пр, называютцентром качания физического маятника. Можно доказать, что центр качания и точка опоры маятника обратимы, т.е. при качании маятника вокруг точки О^’ период должен быть таким же, как и при качании вокруг точкиО. Исследование справедливости этого утверждения является другим хорошим методом проверки теории.

Еще один метод заключается в проверке правильности формулы (14). Входящую в эту формулу величину dможно изменять, передвигая опорную призму по стержню.

В качестве математического маятника в упражнении используется массивный свинцовый шарик, подвешенный на двух расходящихся нитях (бифилярный подвес). Длину нитей можно изменять, наматывая нить на ось.