
- •ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- ••1. Понятие вектора
- •1. Понятие вектора
- •1. Понятие вектора
- •1. Понятие вектора
- •1. Понятие вектора
- •1. Понятие вектора
- •Два невырожденных направленных отрезка AB и CD называются коллинеарными, если прямые AB и
- •Два невырожденных направленных отрезка AB и CD называются коллинеарными, если прямые AB и
- •Два невырожденных направленных отрезка AB и CD называются коллинеарными, если прямые AB и
- •Два невырожденных направленных отрезка AB и CD называются коллинеарными, если прямые AB и
- •Два невырожденных направленных отрезка AB и CD называются коллинеарными, если прямые AB и
- •Геометрическим вектором
- •Геометрическим вектором (вектором)
- •Геометрическим вектором (вектором) будем называть направленый отрезок
- •обозначают
- •обозначают
- •обозначают
- •обозначают
- •обозначают
- •Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не имеет определённого направления
- •Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не имеет определённого направления
- •Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не имеет определённого направления
- •Из равенства векторов
- •Из равенства векторов
- •Из равенства векторов
- •Из равенства векторов
- •Свободным вектором называется класс всех равных между собой направленных отрезков
- •2. Линейные операции над векторами
- •2. Линейные операции над векторами
- •2. Линейные операции над векторами
- •Операция сложения векторов
- •Операция сложения векторов
- •Правило сложения обладает свойствами:
- •Правило сложения обладает свойствами:
- •Правило сложения обладает свойствами:
- •Правило сложения обладает свойствами:
- •Правило сложения обладает свойствами:
- •3) по определению суммы
- •3) по определению суммы
- •3) по определению суммы
- •3) по определению суммы
- •3) по определению суммы
- •4) Вектор а’, противоположный вектору а,
- •4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую
- •4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую
- •4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую
- •4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую
- •По определению суммы двух векторов:
- •По определению суммы двух векторов:
- •По определению суммы двух векторов:
- •Из 1) вытекает
- •Из 1) вытекает
- •Из 1) вытекает
- •Из 1) вытекает
- •Из свойств 1-4
- •Из свойств 1-4
- •Из свойств 1-4
- •Из свойств 1-4
- •Правило построения разности
- •Правило построения разности
- •Правило построения разности
- •Правило построения разности
- •Операция умножения вектора на вещественное число
- •Операция умножения вектора на вещественное число
- •Операция умножения вектора на вещественное число
- •Геометрический смысл : при умножении вектора а на число вектор а «растягивается», в
- •Свойства
- •Свойства
- •Свойства
- •Свойства
- •6) и 7) очевидны
- •3. Понятие линейной зависимости векторов
- •Пусть а1 а2 а3…аn – вектора, а 1 2 3 … n -
- •Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа 1
- •Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа 1
- •Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации
- •Критерии линейной зависимости систем из 1,2,3 и 4 векторов
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 3: Система из трёх векторов а1 , a2 и a3 линейно зависима
- •Вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях
- •Вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях
- •) а1 ,a2, a3 - линейно зависимы,
- •) а1 ,a2, a3 - линейно зависимы,
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4
- •Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4
- •Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4
- •Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4
- •Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4
- •Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4
- •• а1 ,a2, a3 - линейно независимы, (по т.3) а1 ,a2, a3 -
- •Следствия:
- •Следствия:
- •Следствия:
- •Следствия:
- •4. Понятие базиса
- •4. Понятие базиса
- •4. Понятие базиса
- •Теоремы о базисе на плоскости и в пространстве
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда x
- •Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда x
- •Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда x
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •5. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве
- •5. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве
- •Аффинные координаты на плоскости (в пространстве) определяются заданием
- •Аффинные координаты на плоскости (в пространстве) определяются заданием базиса e1,e2
- •Аффинные координаты на плоскости (в пространстве) определяются заданием базиса e1,e2
- •Координаты вектора
- •Координаты вектора
- •Координаты вектора
- •Деление отрезка
- •6. Прямоугольная система координат
- •Ортонормированный базис – это базис {e1,e2,e3}, если ei ej при i≠j, | ei
- •Ортонормированный базис – это базис {e1,e2,e3}, если ei ej при i≠j, | ei
- •Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси координат
- •Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси координат
- •Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси координат
- •Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси координат
- •Обозначим , , углы наклона OA к осям
- •Обозначим , , углы наклона
- •Обозначим , , углы наклона
- •Обозначим , , углы наклона
- •Три числа cos , cos , cos принято называть
- •x OAcos y OAcos z OAcos
- •Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон,то
4) Вектор а’, противоположный вектору а,
4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину и противоположное направление

4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину и противоположное направление
а

4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину и противоположное направление
а
a’

4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину и противоположное направление
B
B
A
A

По определению суммы двух векторов:
AB BA
B
B
A
A

По определению суммы двух векторов:
AB BA 0
B
A

По определению суммы двух векторов:
AB BA 0
A

1)a, b

1)a, b
b
a

|
a |
, |
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
O

b
O a

B
b
O
a A

B |
a |
C |
|
|
|
|
|
b |
|
||
|
b |
||
|
|
|
O
a A

B |
a |
C |
|
|
|
|
|
b |
|
||
|
b |
||
|
|
|
O
a A

B |
a |
C |
|
|
|
|
|
b |
|
||
|
b |
||
|
|
|
O
a A
OAC

B
b
O
a A
|
b |
+ |
|
a |
|
a C
b
OAC OC OA AC a b

B |
a |
C |
|
|
|
|
|
b |
|
||
|
b |
||
|
|
|
O
a A
OBC

B |
|
a |
C |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
||
|
|
b |
||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
b |
|
|
O
a A
OBC OC OB BC b a

OAC |
OC |
|
OA |
|
AC |
|
a |
|
b |
|
|||||||||
OBC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OC |
OB |
BC |
b |
a |
B b
a + b = b + a
a C
b
O
a A
2)

a, b, c
b
a
c
O

b
aA
c
O

b B
aA
c C
O

aA
O
b B
|
b |
+ |
|
a |
|
c C
OB OA AB a b

aA
O
b B
|
b |
+ |
|
a |
|
c C
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
OB OA AB a b
OC OB BC a b c

b B
aA
b+c
O
c C
AC AB BC b c

O
b B
aA
|
|
b+c |
c C |
|||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
AC AB BC b c
OC OA AC a b c

aA
O
b B
|
b |
+ |
|
a |
|
c C
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
b B |
|
|||
|
aA |
|
b+c |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
O |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c C