Добавил:
Upload
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:лекции-презентации ГЕОМЕТРИЯ / ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.ppt
X
- •ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- ••1. Понятие вектора
- •1. Понятие вектора
- •1. Понятие вектора
- •1. Понятие вектора
- •1. Понятие вектора
- •1. Понятие вектора
- •Два невырожденных направленных отрезка AB и CD называются коллинеарными, если прямые AB и
- •Два невырожденных направленных отрезка AB и CD называются коллинеарными, если прямые AB и
- •Два невырожденных направленных отрезка AB и CD называются коллинеарными, если прямые AB и
- •Два невырожденных направленных отрезка AB и CD называются коллинеарными, если прямые AB и
- •Два невырожденных направленных отрезка AB и CD называются коллинеарными, если прямые AB и
- •Геометрическим вектором
- •Геометрическим вектором (вектором)
- •Геометрическим вектором (вектором) будем называть направленый отрезок
- •обозначают
- •обозначают
- •обозначают
- •обозначают
- •обозначают
- •Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не имеет определённого направления
- •Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не имеет определённого направления
- •Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не имеет определённого направления
- •Из равенства векторов
- •Из равенства векторов
- •Из равенства векторов
- •Из равенства векторов
- •Свободным вектором называется класс всех равных между собой направленных отрезков
- •2. Линейные операции над векторами
- •2. Линейные операции над векторами
- •2. Линейные операции над векторами
- •Операция сложения векторов
- •Операция сложения векторов
- •Правило сложения обладает свойствами:
- •Правило сложения обладает свойствами:
- •Правило сложения обладает свойствами:
- •Правило сложения обладает свойствами:
- •Правило сложения обладает свойствами:
- •3) по определению суммы
- •3) по определению суммы
- •3) по определению суммы
- •3) по определению суммы
- •3) по определению суммы
- •4) Вектор а’, противоположный вектору а,
- •4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую
- •4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую
- •4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую
- •4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую
- •По определению суммы двух векторов:
- •По определению суммы двух векторов:
- •По определению суммы двух векторов:
- •Из 1) вытекает
- •Из 1) вытекает
- •Из 1) вытекает
- •Из 1) вытекает
- •Из свойств 1-4
- •Из свойств 1-4
- •Из свойств 1-4
- •Из свойств 1-4
- •Правило построения разности
- •Правило построения разности
- •Правило построения разности
- •Правило построения разности
- •Операция умножения вектора на вещественное число
- •Операция умножения вектора на вещественное число
- •Операция умножения вектора на вещественное число
- •Геометрический смысл : при умножении вектора а на число вектор а «растягивается», в
- •Свойства
- •Свойства
- •Свойства
- •Свойства
- •6) и 7) очевидны
- •3. Понятие линейной зависимости векторов
- •Пусть а1 а2 а3…аn – вектора, а 1 2 3 … n -
- •Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа 1
- •Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа 1
- •Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации
- •Критерии линейной зависимости систем из 1,2,3 и 4 векторов
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 ||
- •Теорема 3: Система из трёх векторов а1 , a2 и a3 линейно зависима
- •Вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях
- •Вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях
- •) а1 ,a2, a3 - линейно зависимы,
- •) а1 ,a2, a3 - линейно зависимы,
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •) а1 ,a2, a3 - компланарны
- •Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4
- •Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4
- •Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4
- •Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4
- •Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4
- •Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4
- •• а1 ,a2, a3 - линейно независимы, (по т.3) а1 ,a2, a3 -
- •Следствия:
- •Следствия:
- •Следствия:
- •Следствия:
- •4. Понятие базиса
- •4. Понятие базиса
- •4. Понятие базиса
- •Теоремы о базисе на плоскости и в пространстве
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.
- •Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда x
- •Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда x
- •Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда x
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •Теорема: Вычисление в координатах
- •5. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве
- •5. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве
- •Аффинные координаты на плоскости (в пространстве) определяются заданием
- •Аффинные координаты на плоскости (в пространстве) определяются заданием базиса e1,e2
- •Аффинные координаты на плоскости (в пространстве) определяются заданием базиса e1,e2
- •Координаты вектора
- •Координаты вектора
- •Координаты вектора
- •Деление отрезка
- •6. Прямоугольная система координат
- •Ортонормированный базис – это базис {e1,e2,e3}, если ei ej при i≠j, | ei
- •Ортонормированный базис – это базис {e1,e2,e3}, если ei ej при i≠j, | ei
- •Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси координат
- •Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси координат
- •Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси координат
- •Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси координат
- •Обозначим , , углы наклона OA к осям
- •Обозначим , , углы наклона
- •Обозначим , , углы наклона
- •Обозначим , , углы наклона
- •Три числа cos , cos , cos принято называть
- •x OAcos y OAcos z OAcos
- •Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон,то
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 || a2
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 || a2
) а1 ,a2 - линейно зависимы,
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 || a2
) а1 ,a2 - линейно зависимы,
1, 2 (хотя бы одно ≠0 ): 1а1 + 2a2 =0
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 || a2
) а1 ,a2 - линейно зависимы,
1, 2 (хотя бы одно ≠0 ): |
1а1 + 2a2 =0 |
|
|||||||
] 2 ≠0 |
, а2 = |
|
1 |
а1, обозначим |
|
1 |
, a2 = а1 |
а1||a2 |
|
2 |
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 || a2
) а1 ,a2 - линейно зависимы,
1, 2 (хотя бы одно ≠0 ): |
1а1 + 2a2 =0 |
|
||||||
] 2 ≠0 , а2 = |
|
1 |
а1, обозначим |
|
1 |
, a2 = а1 |
а1||a2 |
|
2 |
||||||||
|
||||||||
|
||||||||
) а1||a2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 || a2
) а1 ,a2 - линейно зависимы,
1, 2 (хотя бы одно ≠0 ): |
1а1 + 2a2 =0 |
|
||||||
] 2 ≠0 , а2 = |
|
1 |
а1, обозначим |
|
1 |
, a2 = а1 |
а1||a2 |
|
2 |
||||||||
|
||||||||
|
||||||||
) а1||a2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если а1 =0, то 1а1 +0·a2 =0
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 || a2
) а1 ,a2 - линейно зависимы,
1, 2 (хотя бы одно ≠0 ): |
1а1 + 2a2 =0 |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
] 2 ≠0 , а2 = |
2 а1, обозначим |
, a2 = а1 |
а1||a2 |
|||||
|
||||||||
) а1||a2 |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Если а1 =0, то 1а1 +0·a2 =0 |
1 ≠0 а1 ,a2 - линейно |
|||||||
зависимы |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 || a2
) а1 ,a2 - линейно зависимы,
1, 2 (хотя бы одно ≠0 ): |
1а1 + 2a2 =0 |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
= а1 |
а1||a2 |
|
] 2 ≠0 |
|
2 а1, обозначим |
||||||||
, а2 = |
, a2 |
|||||||||
|
||||||||||
) а1||a2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если а1 |
=0, то 1а1 +0·a2 =0 |
1 ≠0 а1 ,a2 - линейно |
||||||||
зависимы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если а1 |
≠ 0, то из а1||a2 : a2 = а1 |
|
|
|||||||
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 || a2
) а1 ,a2 - линейно зависимы,
1, 2 (хотя бы одно ≠0 ): |
1а1 + 2a2 =0 |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
= а1 а1||a2 |
|
] 2 ≠0 |
|
2 а1, обозначим |
|||||||
, а2 = |
, a2 |
||||||||
|
|||||||||
) а1||a2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если а1 |
=0, то 1а1 +0·a2 =0 |
1 ≠0 а1 ,a2 - линейно |
|||||||
зависимы |
|
|
|
|
|
|
|
||
Если а1 |
≠ 0, то из а1||a2 : a2 = а1 |
или а1 +(-1)a2=0 |
|||||||
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима а1 || a2
) а1 ,a2 - линейно зависимы,
1, 2 (хотя бы одно ≠0 ): |
1а1 + 2a2 =0 |
|||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
= а1 а1||a2 |
|
] 2 ≠0 , а2 = |
2 а1, обозначим |
|||||||
, a2 |
||||||||
|
||||||||
) а1||a2 |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Если а1 =0, то 1а1 +0·a2 =0 |
1 ≠0 а1 ,a2 - линейно |
|||||||
зависимы |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если а1 ≠ 0, то из а1||a2 : a2 = а1 |
или а1 +(-1)a2=0 |
|||||||
а1 ,a2 - линейно зависимы |
|
|
|
|
||||
Соседние файлы в папке лекции-презентации ГЕОМЕТРИЯ