Таким образом, мы доказали, что координаты любой точки M (x; y)
эллипса удовлетворяют уравнению (2).
Таким образом, мы доказали, что координаты любой точки M (x; y)
эллипса удовлетворяют уравнению (2). Однако это уравнение пока нельзя назвать уравнением эллипса, т.к. не доказано обратное предположение:
Если числа x и y удовлетворяют уравнению (2), то точка M (x; y) удовлетворяет соотношению (1), т.е. лежит на эллипсе.
Если числа x и y удовлетворяют уравнению (2), то точка M (x; y) удовлетворяет соотношению (1), т.е. лежит на эллипсе.
F1M |
|
|
|
F2M |
|
2a |
1 |
|
|
|
x2 |
|
y2 |
1 |
2 |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
Докажем это утверждение
•Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2), тогда выразим :
|
y2 b2 (1 |
x2 |
) |
и подставим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 (1 |
x2 |
) |
|
|
|
|
MF |
|
(x c)2 |
y2 (x c)2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2xc c2 b2 b2 x2 |
|
|
x2 (a2 b2 ) |
2xc c2 |
b2 |
|
||||||||||||||
|
a2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
òàê êàê |
|
a2 c2 b2 , значит |
|
|
a2 b2 |
c2 |
после замены получим |
||||||||||||||
|
|
|
c2 b2 |
a2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x2c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xc |
|
|
|
|
2xc a |
2 |
|
|
(a |
xc |
) |
2 |
|
|
|
a |
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a2 |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
аналогично |
|
MF2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
òàê êàê |
a2 |
c2 b2 , значит |
|
|
a2 b2 |
c2 |
после замены получим |
||||||||||||||||||
|
|
c2 b2 |
a2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x2c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xc |
|
|
|
|
2xc a |
2 |
|
|
(a |
xc |
) |
2 |
|
|
|
a |
|
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
аналогично |
|
MF |
|
|
|
|
a xc |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èç |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 |
|
|
y2 |
|
1 |
следует, что |
|
|
|||||||||||||||
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
a, |
|
à òàê |
êàê 0 c a, òî |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a cx |
0 è |
|
a cx |
0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Значит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
F M |
|
a cx |
è |
|
|
F M |
|
a cx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
следовател ьно |
|
F1M |
|
|
|
F2M |
|
2a |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Таким образом, уравнение (2) есть уравнение эллипса, т.к. доказано, что координаты любой точки M (x; y) эллипса, т.е. любой точки, для которой выполняется выражение (1) удовлетворяет уравнению (2) и обратно, если два числа x и y удовлетворяет уравнению (2), то точка M (x; y) удовлетворяет соотношению (1), т.е. лежит на эллипсе.
|
x2 |
|
y2 |
|
1 |
|
a2 |
b2 |
|
||
|
|
|
|
||
каноническ |
îå |
уравнение |
|||
эллипса |
|
|
|||