2.Полугруппа. Обобщенная ассоциативность. Степень элемента (его кратное)

Опр: полугруппа- множество с одной бинарной алг операцией, которая явл ассоц. Если полугруппа сод конечное число элементов, то она наз конечной, а число элементов - порядком полугруппы, в противном случае наз бесконечной. Если операция явл коммуник кроме ассоц, то полугруппа наз коммуникат. Полугруппа с нейтральным элементом наз нейтральной или моноидом. Примеры: 1)некомуник моноид, е=Е. 2)коммуник моноид, е=0. 3)коммуник моноид, е=0. Обобщенная ассоциативность:. Теорема: Пусть (А,*)- полугруппа, тогда выражениене зависит от скобок. Док-во: Методом мат индукции.n=3. т.к. полугруппа..n=k+1:

Рассм левую часть равенства, приведём её к очередному виду: 1) l=k. 2)

аналогично скобки можно расставить и в правой части равенства (1). Следствия: Если (А,*)- полугруппа мультипликативная 1) ;2);3) если (А,*) с 1,4) Если *- комутатЕсли (А,*)- мультипликативная: 1);2)ma+na=(m+n)a; n(ma)=(nm)a 3) если (А,*) с 0, (число)0a=0(элемент множества) 4) n(a+b)=na+nb

3.Группа. Свойства. Примеры.

Опр: Полугруппа с нейтр эл-ом, каждый элемент которой имеет симметрический, наз группой. Аксиомы группы: (G,*) 1) 2)e*a=a*e=e 3) Если * - комутат опер, то группа назыв комутат или абелевой, Если в группе содерж конечное число элементов, то она наз конечной, а число элементов - порядком полугруппы, в противном случае наз бесконечной.

Свойства групп:

1) В группе сущ и единств е.

2) У произвольно элемента группы сущ единств симметр-кий элем.

3) В аддитивной группе можно опр операцию вычитание, в мультипликативной- деление.

4) В группе решаются ур-ния вида: х*а=b => x=b, a*x=b => x=b

5) В аддитивной определено целочисленное кратное (-m)a=m(-a) (m>0). В мультипликативной определена целочисленная степень (m>0) Примеры: 1) G={e},* (e*e=e)

2) G={e,a},* Таблица Кэли: 3) (С(n),•) 4) (Q,•)- не группа т.к. (Q\{0},•)- группа.

5) GL(n,R)- общая линейная группа, общая группа всех невырожденных матриц порядка n.

4. Подгруппа. Определение. Примеры.

Опр: Пусть (G,*) – группа. , (G,*) подгруппа группы G, если вып след условия:

1)

2)

4)

Замечание: (H,*) само явл группой, относительно *

Примеры: 1) (G,*); H={e}; H=G

2) Sl(n,R) –спец линейная группа. Множество всех матриц с определителем равным единице. Явл подгруппой Gl(n,R)

3) (C(n),*) – группа, C(n)={1,-1,i,-i}, C(2)={1,-1}, (C(n),*) – подгруппа группы (C(n),*)

5. Циклическая группа. Примеры.

Пусть (G,*) – мультипликат группа и пусть g – нейтральный эл-т G, такой что , тогдаG – назыв циклической группой с образующем эл-ом g. .

Пусть G – аддитивн группа и пусть g – некот эл-т G такой что , тогдаG – назыв циклической группой с образующем эл-ом g.

Примеры:

1) (C(n),*); C(4)={1,-1,i,-i}, C(4) = <i>=<-i>

2) (Z,+) = <1>=<-1>

3)

6.Симметрическая группа степени n.

Взаимно однозначное отображение множества из n элементов на себя наз подстановкой. {1,2,3… n} подстановка степениn.

1) f – взаимооднозначное отображение (инъекция)

2) f отображение А на В (сюръекция)

3) биекция = инъекция + сюръекция

Введем на множестве всех подстановок операцию произведение

Пример:

Множество всех перестановок степени n образуют вместе с операцией умножение обр группу, которая называется симметрическая группа степени n. Порядок такой группы – n!