7. Общ ур линий второго порядка (нЕцентральные линии).

Приведение к конанич виду в два этапа: на первом - поворос с.к. таким образом что бы ур-ие не содержало xy (т.е. b^|=0). На втором – параллельный перенос с.к.

1этап) Если ур-ие не содержит xy то первый этап можно пропустить. Если b не равн нулю: ((далее тупо подставить в ур крив)) …

Пусть ; 1 случай) если а=с; 2 случ) если; После первого этапа ур кривой бедет иметь вид:

Второй этап: ((нецентр кривые)) ; либо либо; пусть;;

1) если :;;- порабола

если :;(пар перенос), где

2) если - пара парал прямых

3) если - пара мнимых парал прямых

4) если - пара совп прямых

Теорема: Пусть в прямоуг д.с.к. задано ур крив втор порядка. Существует такая прямоуг д.с.к. в которой ур-ие принимает один из девяти кон видов.((перечислены выше))

8. Классификация кривых 2-го порядка.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Классификация кривых второго порядка:

1)Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если Могут возникать следующие варианты:

• Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если 

  • эллипс — при условии D > 0 и ΔI < 0;

    • частный случай эллипса — окружность — при условии

    •  I² = 4D или a₁₁ = a₂₂,a₁₂ = 0;

  • мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии ΔI > 0;

  • гипербола — при условии D < 0;

• Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если ΔI = 0

  • парабола — при условии D = 0.

2)Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

• вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;

• пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;

• вырожденная парабола — при условии D = 0:

  • пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;

  • одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;

  • пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.

9. Эллипсоид. Канон ур-ие. Сечения. Эллипсоиды вращения.

-Сечение плоскостью xOy

- Сечения эллипсоида координатными плоскостями

-эллипсоид вращения

a,b,c>0 – полуоси;

1) xOy: z=0;

2) xOz: y=0;

3) yOz: x=0;

4) ; а)эллипс с полуосями(чем |h| больше, тем полуоси меньше);

б) |h|>|c| - пустое множество

в) |h|=|c| две точки (0,0,c) и (0,0,-c)

Вращение: вращать эллипс вокругOx: илиOy:

10. Гипербалоиды

Однополостный:

-сечение однополосного гиперболойда 2-мя плоскостями

-сечение однополосного гиперболойда

-однополосный вращение

1) yOz:

2) xOz:

3) ; а)эллипс с полуосями(чем |h| больше, тем полуоси больше);

Прямолинейной образующей поверхности назовем прямую целиком лежащую на поверхности. Теорема: через каждую точку однополостного гипербалоида проходят две прямолинейных образующих. Д-во: ;;- ур-ия двух пл-стей (первая прямая);- вторая прямая

Вращение гиперболы вокругOz:

Двухполостный:

-Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью xOz

-двуполосный гиперболоид

1) yOz: - гипербола с действ осьюz и мнимой у

2) xOz: - гипербола с действ осьюz и мнимой х

3) ;а) эллипс с полуосями(чем |h| больше, тем полуоси больше);

б) |h|<|c| - пустое множество

в) |h|=|c| - 2 точки (0,0,c) и (0,0,-c)

Вращение гиперболы вокругOz:

-двуполосный вращение