2.Гипербола. Вывод канонического уравнения. Свойства. Асимптоты
Гиперболой наз множеатво точек плоскости модуль разницы расстояний от которых до двух заданных точек есть величина постоянная. Две заданные точки наз фокусами.
фокусы.
, a<c. Если
-
модуль опускается со знаком минус. Если
,
со знаком плюс.
;
;
;
;
;
;
т.к.a<c
, то
;
;
-
каноническое ур-ние в канонической
системе координат. а(Ох)- действит
полуось,b(Оу)-
мнимая. Свойства: 1) пересечение с осями:
с Ох:
-
вершина. с Оу
не пересек. 2) Симметрия: а)
гиперб=>
симметричен отност Оу. б)
гиперб
=> симмет относит Ох в)
гипеб
=> центрально симметр относит начала
координат 3)
не является ограниченной. 4) Асимптоты-
прямые к которым кривые неограниченно
приближ удаляясь в бесконечность.
наклонная
асимптота. Если асимптота
если в
;
Рассмотрим случай:
;
;
.
Асимптоты в +бесконечн
,
Асимптоты в -бесконечн
5)Из
окружности
;
6)
;
7)
Эксцентриситет
директрисы
3. Парабола. Вывод канонического уравнения. Свойства.
Параболой наз множество точек плоскости расстояние от которых до зад точки (фокуса) и до заданной прямой (директрисы) равно.
|MK|=|MF|
р- фокальный параметр.
фокус.
директриса.
|MK|=|MF|
;
;
-
канонич ур-ние. Свойства: 1) пересечение
с осями:
О(0,0)-вершина. 2) Симметричность:
симметричн
относ Ох. 3)параметри ур-ние:
4)
директриса.
4.Родство эллипса, гиперболы и параболы.
Кривая
второго порядка-
это множество точек плоскости для
которых отношение расстояния
до заданной точки (фокуса) и до заданной
прямой (директрисы) есть величина
постоянная равная
.
а)
б)
в)
Опр:
Кривая второго порядка наз центральной,
если она имеет один центр симметрии и
не центральной или гиперболич, если
имеет бесконечное множество центров
симметрии, или не имеет. Общее ур-ние
кривой:
5.Преобразование прям д с к.
1)Параллельный
перенос:
старая
система кооорд.
новая.
Рассмотрим
точку М. У нее были корд (х,у) в старой
системе корд. и
в
новой.
-
в старой.
;
координатный
столбец точки М в старой с к.
корд
точки М в новой.
корд
точки
в старой с.к. <~ Связь между
.
2) Поворот прям д с к вокруг начала корд на угол альфа.
М(х,у)
в старой системе корд.
и
в
новой
.
;
;
;
;
detP=1.
P-
матрица
перехода от старого базиса
к новому
координатный
столбец в старой с.к.
в
новой.
3)
Общее преобразование прямоуг д с к,
состоит из поворота и переноса.
1] а)параллельный перенос начала координат
на
б) поворот относительно
;
2] а)поворот с.к. относительно О б) Перенос
относительно носой с.к.
композиция
;
корд
столбец нового начала координат.
6. Общ ур линий второго порядка (центральные линии).
Приведение
к конанич виду в два этапа: на первом
- поворос с.к. таким образом что бы ур-ие
не содержало xy
(т.е. b|=0).
На втором – параллельный перенос с.к.
1этап)
Если ур-ие не содержит xy
то первый этам можно пропустить. Если
b
не равн нулю:
((далее тупо подставить в ур крив)) …
Пусть
;
1 случай) если а=с
;
2 случ) если
;
После первого этапа ур кривой бедет
иметь вид:
Второй
этап: ((центр кривые))
;
;
;
;
,
где
Если
;
1)
если
- эллипс
2)
если
- мнимый эллипс
3)
если
разных знаков - гипербола
4)
если
одного знака – пара мнимых пересек
прямых (
)
5)
если
разных знаков – пересек прямые (
)
Теорема: ((в след билете))