11. Вект и смеш произв вект в коорд

Вект:Теорема:Д-во: Смеш: теорема: д-во: ;

2.Уравнение кривых и поверхностей.

1. Общ дек систа коорд. Коорд тчк. Выч расст межд тчк.

Д.с.к определяется заданием точки и базиса 3д пространства (т. О {e₁,e₂,e₃}) Прямые проход через т О назыв осями коор-т (х-абцис, у-ординат, z-аппликат) Плоскости проход через оси – назаыв коорд плоск-ми.

- радиус вектор т М; в базисекоординаты т М назыв коорд-ми ее рад вект-а. Если С лежит на АВ, тоД-во: (так жеy,z).

Прямоуг д.с.к – ее базис ортонормированный. ({O,i₁,j₂,k₃} – прав тройка).

2.Расстояние между двумя точками

Расст межд тчкми: еслив прям.д.с.к

3. Полярная сист коорд на пл-сти.

т О – полюс, луч L – полярная ось. R – полярн радиус, r≥0, r=0=O, φ – полярн угол. Если угол отсчит-ся против час стрелки, то его значение счит-ся положительн, если против – отриц. Полярн угол опред-ся с точностью до слагаемого 2π (-π<φ≤ π или 0<φ≤ 2π). Связь с прямоуг.д.с.к:

4. Уравн линий и поверхн

Линия на плоск – это множество точек, координаты которых удовл F(x,y)=0, данное ур-е должно иметь решение и не должно быть тождеством, в этом случае говорят, что кривая задана не явно. Если кривая задается множ-ом тчк y=f(x)– явно. (x+1024y-1100=0 - прямая). Если в неявном ур-ии кривой F(x,y)=0, F(x,y) – многочлен относ x,y то такая кривая – алгебраическая. Степень данного мн-на порядок кривой. Если F(x,y) нельзя представить в виде мн-на относ x,y то кривая назыв трансцендентной. (Ax+By+C=0 – алг, y=cosx - трансц). Параметрич ур-ями кривой наз ур-ия вида , гдеt – параметр, котор приним знач от а до b (a≤t≤b) F(x,y)=0 => F(x(t),y(t))=0 (y-kx-b=0

Поверхностью в 3д пространсте назыв множ-во тчк корд-ты кот-ых удовл: F(x,y,z)=0 если пов-сть задается z=z(x,y) то говорят что пов-сть задана явно (Ур-ие F(x,y,z)=0 имеет реш и не явл тожд) (x,y,z) – прям.д.с.к. (Ax+By+Cz+D=0) (про мн-ны, алг и трансц тоже самое) парам-ское Ур-ие: ,u,v – парам. Кривая может быть задана как пересечение двух поверхностей или парам ур. (x=x(t) и тд)

5. Примеры постр кривых. Вывод в полярн и прямоуг д с к.Циклоида.

Пример постр: Пример вывода: Эта кривая – множ тчк равноуд от нек-ой тчк. Вывод:r=a – ур окружн (в полярн с.к.) Конхоида: кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении радиус-вектора каждой точки данной плоской кривой на постоянную величину. Конх Никомеда: имеет две ветви, сама прямая конхоиды является асимптотой обоих ветвей Для полярн с.к:Для д.с.к:Циклоида: траектория фиксированной точки окружности, которая катится без скольж по неподвижн прямой. а – радиус,

Циклоида.

Циклоида- траектория фиксированной точки окружности, которая катится без скольжения по неподвижной прямой.

r=a, t-угол поворота, ;В декартовой прямоугольной системе координат;;

3.Прямые и плоскости

1.Прямая на плоскости.Общее Ур-ние.Нормальный вектор.Направя cosы вектора.Урние прямоы проход через точку.Параметрические урния.

Опр: Прямая на плоскости представляет собой алгебраич кривую 1-го порядка в прямоуг д с к. Задается Ур-нием такие случаи не учитываются: Частные случаи:;;Нормальный вектор. Рассмотрим прямкю и 2 точки: фиксирванная точка.- произвольная точкаПустьВекторпрямой, наз её нормальным векторомявляется нормальным вектором прямой, которай задаётся нормальным уравнениеми задается с точностью до множителя. Ур-ние, предст собой ур-ние прямой проход через точкуи имеющий заданный вектор нормалиЗамечание: Возьмём произв вектор в базисе.

- направляющие косинусы вектора. Частный случай: ;

Параметрическое ур-ние: вектор || прямой или лежащий на ней, наз напрявл вектором прямой ;|| прямой.- фиксированная точка, М-произвольная.

- параметрическое урние прямой в векторном виде. в координатном виде.Пример: -параметрическое.координ напр вектора. Замечание: На плоскости зная координаты нормального вектора, можно найти координаты направл и обратно.В частности: