5.Базис множества всех векторов в трехмерном пространстве.

Теорема3: 3 произв некомпл вектора обр базис множества векторов 3-х мерного пространства. Док-во: Пустьпроизвольные неколинеарн вектора. 1) Покажем, чтолин независимая система векторов.,,.(от обратного)Пусть- компланарны- противоречие. Т.к. если вектор раскладывается через другие, значит он лежит в их плоскости.-базис множества векторов прямой (АВ),- прямой АС- прямой АD. .

6.Скалярное произведение векторов

. Опр: Скалярным произв явл число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. .Свойства: 1) 2)3)4);,.

5) док-во:

6) Док-во: Замечание: 1)2)

7.Ортогональный и ортонормированный базисы. Опр: Базис множества всех векторов назовём ортогональным, если все его векторы попарно ортогональны. -ортогон базис.Опр: Базис множества всех векторов наз-ём ортонормированным, если все его векторы попарно ортогон. и по длине равны 1.ортонормированный базис обозначается:

8.Вычисление скалярного произведения векторов через координаты

. Пусть произвольный базис множества векторов 3х мерного простр.

Пусть ортонормиров базис.

9.Ориентация. Векторное произведение.

Ориентация на прямой: определяется заданием не 0го вектора, направление данного вектора положительное, противоположное- отрицательное. Ориентация на плоскости: опред заданием упорядоченной пары линейно-независимых векторов. 2 неколлинеарных вектора задают положит. ориентацию если кротчайший угол поворота осущ против часовой стрелки, и отрицат. в обратном случае. Ориентация в пространстве: опред. заданием упорядоченной тройки неколлинеарных векторов. (Правая и левая тройки) -правая 3ка, если кратчайший поворот междувиден из конца векторапротив часовой стрелки.Опр: Векторным произведением векторовназ. вектор, такой что: 1) Этот вектор перпендикулярен векторам2)-правая 3ка. 3)Обозначается. Если

_{Свойства векторного произв}: 1) 2)Док-во: направление: а) если

2) 3)Длина:

1) 2) 3) Док-во: (вспомогат) РассмтрДокажем, что,Рассмотрим:Для доказательства дост:Рассмотримвекторполучается изповоротом на 90 град против часовой стрелки в плоскоститак какумножаем4)или а, в коллинаерны 5)площади паралел-ма построенного на векторах а и вВыражение векторного произведения через координаты векторов в ортонормиров базисе.-базис

. пусть в базисеимеют координатыТеорема: в ортонормированном базисе

10.Смешанное произведение 3 векторов. Ориентированный V паралелепида

. Опр: Смешанное произ 3 векторов равно числу равному скалярному произведению векторного произведения 2 первых векторов на 3ий. Опр: Ориентированным объёмом паралел-да построенного на векторахназ объём паралел-да, взятым со знаком + если эти векторы обр правую тройку и – если тройка левая.

Свойства смешанного произв.

1) смешанное произведение 3 векторов равно ориентированному объёму паралел-да постр на этих векторах. Док-во:

1 случай) - правая тройка,2 случай) -левая тройка.

2) 3) Смеш произв не меняется при циклических перестановках векторов4) Если сомножителм поменять местами, произвед поменяет знак5) Векторыкомпланарны между собой тогда и только тогда когда