Сортировка с помощью обменов

Сортировки с помощью обменов основываются на сравнении двух элементов. Если порядок элементов не соответствует упоря­доченности, то происходит их обмен. Процесс повторяется до тех пор, пока элементы не будут упорядочены.

Следует отметить, что и для рассмотренных ранее алгоритмов также имел место обмен элементов, однако в рассматриваемом ти­пе алгоритмов обмен местами двух элементов представляет собой характернейшую особенность процесса.

Пузырьковая сортировка

Алгоритм заключается в просмотре исходной последовательно­сти справа налево, и при каждом шаге меньший из двух сосед­них элементов перемещается к левой позиции. В результате первого просмотра самый маленький элемент будет находиться в крайней левой позиции. После этого повторяем описанный выше процесс, рассматривая в качестве исходной последовательности массив, на­чиная со 2- й позиции и т. д.

Оценим трудоемкость приведенного выше алгоритма пузырько­вой сортировки.

Перемещение минимального из п элементов в крайнюю левую позицию требует в худшем случаеС∙(n-1) операций (число срав­нений ключей не зависит от порядка элементов; число присваива­ний минимально, если элементы упорядочены, и максимально, если они расположены в обратном порядке).

Рекуррентное уравнение будет иметь следующий вид:

Т(n) = С • (n- 1) + Т(n- 1),T(1) = 0.

Алгоритм пузырьковой сортировки имеет трудоемкость 0(п²).

Шейкерная сортировка

Анализ алгоритма пузырьковой сортировки приводит к следую­щим наблюдениям.

1. Если при некотором из проходов нет перестановок, то алго­ритм можно завершить.

2. Если зафиксировать индекс к последнего обмена (все пары левее этого индекса уже упорядочены), то просмотр можно завершить на этом индексе, а не идти до нижнего предела для индексаi.

3. Чередование направлений для просмотра (всплывает самый легкий, а тонет самый тяжелый).

Шейкерная сортировка с успехом используется в тех случаях, когда известно, что элементы почти упорядочены.

Сортировка слиянием

Сортировка слиянием заключается в следующем.

1.Делим последовательность элементов на две части.

2.Сортируем отдельно каждую из частей.

3.Производим слияние отсортированных частей последователь­ности (при слиянии сравниваем наименьшие элементы и мень­ший из них отправляем в список вывода; повторяем описан­ные действия до тех пор, пока не исчерпается одна из частей; все оставшиеся элементы другой части пересылаем в список вывода).

Рекуррентное уравнение алгоритма сортировки слиянием имеет вид:

Т(n) = 2T(n/2) + Сn.

По теореме о решении рекуррентного уравнения трудоемкость описанного алгоритма есть O(пlog п).

Сортировка с помощью разделения

Данный алгоритм сортировки был разработан Ч. Хоаром и явля­ется одним из самых быстрых методов сортировки массива. Данный алгоритм часто называют быстрой сортировкой (Quicksort).

Суть алгоритма состоит в следующем.

1. Выбрать некоторый элемент х для сравнения (это может быть средний, первый или последний элемент).

2. Используя обмены, выполнить процедуру разделения, суть которой заключается в следующем: разбить массив на две ча­сти: левую с ключами ≤ х и правую с ключами ≥х . Данные действия могут быть выполнены, например, следующим алго­ритмом:

- просматриваем массив слева, пока не встретим элемент а[i] > х;

- просматриваем массив справа, пока не встретим элемент a[j] <х;

- меняем местами эти два элемента;

- продолжаем просмотр и обмен до тех пор, пока не будут просмотрены все элементы массива (г > j).

3. Повторить процедуру разделения к получившимся двум ча­стям, затем к частям частей и так далее, пока каждая из ча­стей не будет состоять из одного единственного элемента.

Построим рекуррентное уравнение для алгоритма быстрой сортировки.

Процедура разделения n элементов требует Сп операций, так как каждый элемент последовательности необходимо сравнить с выбранным элементом, поэтому рекуррентное уравнение будет иметь вид:

T(n)=Cn+T(│A₁│) +T(│A₂│),

где │A1│— размер левой части массива после процедуры разделе­ния,│А₂│ — размер правой части массива после процедуры разде­ления.

Если предположить, что разделение в среднем разбивает часть пополам, то

Т(n) = Сn+ 2T(n/2)

и по теореме о решении рекуррентного уравнения трудоемкость ал­горитма быстрой сортировки в среднем есть O(п logп).

Худшим случаем является ситуация, когда в качестве сравни­ваемого элемента выбирается наибольший из всех элементов рас­сматриваемой части. В этом случае после процедуры разделения │A1│ =n- 1 и│А₂│ = 1.

Рекуррентное уравнение будет иметь вид:

T(n) = Сn+T(n-1) +T(1)

и трудоемкость алгоритма быстрой сортировки в худшем случае есть 0(п²).

Сам Ч. Хоар предполагает, что х надо выбирать случайно, а для небольших выборок останавливаться на медиане.