44. Аналитический метод определения перемещений в балке при изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии. Вычисление прогибов и углов поворотов сечений.

Наиболее типичной схемой нагружения является изгиб балки , расположенной на двух опорах , под действием внешней поперечной сосредоточенной силы , лежащей в одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения балки.

При изгибе балки происходит искривление ее оси в плоскости действия внешней силы. Искривленная ось балки может описываться уравнением в дифференциальной форме , которое называется уравнением упругой линии балки и имеет общий вид:

± EJ (d²y/dx²) = M или ± EJ y″= M

Где Е – модуль упругости первого рода ,

Y - перемещение сечения балки,

J_z = bh³/12 - экваториальный момент инерции сечения балки относительно оси z.

М – изгибающий момент в сечении.

y' = dy/ dx = tg θ

где θ - угол поворота сечения балки при нагружении изгибающей нагрузкой .

Ввиду малости прогиба по сравнению с длинновыми размерами балки можно принять tg θ = θ

Уравнение прогибов сечений : Для первого участка :

EJY = - F(L-a)x₁³/6L + Fa(L-a)(2L-a)/6L;

Для второго участка

EJY = - F(L-a)x₂³/6L +F(x₂-a)³/6+ Fa(L-a)(2L-a)/6L;

Полученные зависимости позволяют определить прогибы и на консольном участке балки.

Преимущество аналитического метода- высокая точность расчетов ,а недостаток – сложность и громоздкость.

45. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения.

Общий случай нагружения бруса , когда в поперечных сечениях возникают нормальные и поперечные силы , изгибающие и крутящие моменты одновременно .

При разгрузке тела за счет потенциальной энергии производится работа.

Упругое тело является аккумулятором энергии.

Работа силы на упругом перемещении определяется половиной произведения наибольшего значения силы и перемещения ΔL .

U = ½ P ΔL

Если бы между силой и перемещением не было прямой пропорциональности, вместо коэффициента ½ был бы получен какой –то другой коэффициент. В частности при постоянной силе он равен единице.

Исключая из полученного для U выражения ΔL, найдем

U = P²l/2EF;

Энергия упругих деформаций стержня при изгибе определяется работой момента М на взаимном угловом перемещении dθ двух сечений.

dU = ½ M dθ

dθ = dz/ρ = Mdz/EJ_x

Если нормальная сила N меняется вдоль оси стержня, то потенциальная энергия деформации должна определяться суммированием по участкам dz. Для элементарного участка dU = N² dz /2EF, а для всего стержня

U = ^L₀∫ N² dz /2EF.

Энергетическое соотношение широко используется при определении перемещения в сложных упругих системах.

46. Определение перемещения бруса способом Верещагина

Правило Верещагина - графоаналитический прием вычисления интегралов . Заключается в замене операций интегрирования перемножением площади эпюры моментов от внешней нагрузки S_f на ординату у₀ линейной эпюры моментов от единичной силы F₀ , расположенную под центром тяжести площади первой эпюры, т. е. интеграл Мора

^L₀∫ M_fM₀dx = S_fY₀ или ^L₀∫ M_fM₀dx = _i=1∑ⁿ S_fiY_0i ;

Перемещение в заданной точке изогнутой балки

у = 1/EJ_z* ^L₀∫ M_fM₀dx

Метод Верещагина зависит от точности замеров , ошибка может составлять до ± 3%.

Данный метод намного проще и удобнее аналитического , но погрешности в в измерениях и смещение точки приложения силы может повлиять на точность подсчетов.