Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TEORIYa_MIRI_TA_INTEGRALU_chast1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2015

Размер:

1.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

множині ϕ(a), або не належить. Наприклад, порожня множина не містить

елемента, якому вона відповідає, тому що вона взагалі не містить елементів, а підмножина, яка збігається з множиною A, очевидно містить елемент, якому

вона відповідає.	Розглянемо множину M ={a A:a ϕ(a)} і нехай
m A −елемент,	якому відповідає підмножина M , тобто M =ϕ(m) .

Одержимо суперечність, тому що елемент m не може належати M =ϕ(m),

тому що в M зібрано усі елементи, які не належать своєму образу, а з іншого боку він повинен там бути.

Застосування теореми Бернштейна

Теорема 1.5.2. Множина С[a;b] −усіх неперервних функцій на відрізку [a;b] має потужність континууму.

Доведення. Нехай C0 ={kt, t [a;b], k R1}, C0 − підмножина множини С[a.b] , яка визначається одним індексом – числом k , що приймає континуум значень. Отже C0 має потужність континууму і можно записати C[a;b] С0 ~ H R , де H R − множинаусіх послідовностей дійсних чисел.

З іншого боку, кожної функції f C[a;b] поставимо у відповідність послідовність ( f (rk )), де {rk } −множина усіх раціональних чисел відрізку [a;b] . Множину усіх таких послідовностей позначимо через H0 . Завдяки тому, що кожна неперервна функція f C[a;b] однозначно визначається послідовністю ( f (rk )), указана відповідність є взаємно однозначною між

множиною С[a.b]	і H0 ,	отже С[a;b] ~ H0 H R . Таким чином виконуються
умови теореми	Бернштейна, застосовуючи яку, одержимо С[a;b] ~ H R .
Оскільки множина H R		має потужність континууму (див. властивість 6), то

C[a;b] = c.

Задачі.

1. Довести, що множина L(N) − всіх підмножин множини натуральних чисел є множиною потужності континууму.

2.Довести, що множина L(A) −всіх підмножин будь-якої зчисленної множини A є множиною потужності континууму.

3.Довести, що множина всіх дійсних функцій, заданих на сегменті [0;1], має потужність більшу, ніж континуум.

ГЛАВА II

ВІДКРИТІ І ЗАМКНЕНІ МНОЖИНИ В Rn

Означення 2.1.1 Точка a називається граничною точкою множини

A Rn , якщо у будь -якому околу точки a знайдеться хоча б одна точка множина A, що відрізняється від точки a .

Теорема 2.1.1. Для того щоб точкаa була граничною точкою множини

A Rn , необхідно і достатньо щоб у будь-якому околу точки a знаходилась нескінченна множина точок з A.

Доведення. Достатність очевидна, необхідність доведемо від противного. Нехай точка a є граничною точкою множини A, і в деякому околу точки a знаходиться скінченна множина {a1,a2 ,...,am} точок з A, що


відрізняється	від точки a . Нехай dk = ρ(ak ,a) −відстань від точки ak		до a і
ε = min ak . Тоді в околу радіуса ε ні буде не одної точка множини			A, що
k=1,2...,n	від точки a , а це суперечить тому, що точка	a гранична.
відрізняється

Одержана суперечність спростовує припущення.

Теорема 2.1.2. Для того щоб точка a була граничною точкою множини

A Rn , необхідно і достатньо щоб знайшлась послідовність різних точок з множини A , що збігається до точки a .

a є	Доведення. Достатність очевидна, доведемо необхідність. Нехай точка
a є	граничною точкою множини A і U1/ n (a) − послідовність околів радіусу
1/ n .	Виберемо	довільну точку	a1 ≠ a	в околу U1 (a),	a2 ≠ a,a1 в околу
U1/ 2 (a), і так		далі виберемо	точку	ak U1/ k (a), яка	відрізняється від

попередніх и точки a , і так далі. Оскільки ρ(ak ,a)<1/ n, то послідовність точок ak прямує до a .

Зауваження. Гранична точка множини A може належати або не належати множині A. Наприклад, граничними точками півінтервала (a;b] є

точки сегмента [a;b] .

Означення 2.1.2 Множина називається замкненою, якщо вона містить усі свої граничні точки. Далі замкнену множину будемо позначати буквою F .

Приклади замкнених множин: сегмент [a;b],R1,Rn , , будь-яка

скінченна множина, множина усіх натуральних чисел N , множина усіх цілих чисел Z .

Означення 2.1.3 Точка a A Rn називається внутрішньою точкою множини A, якщо вона належитьA разом з деяким околом.

Означення 2.1.4 Множина G Rn називається відкритою, якщо кожна точка множини G −внутрішня.

Приклади відкритих множин: інтервал (a;b),R1,Rn , , об'єднання інтервалів.

Означення 2.1.5	Точка a A Rn називається ізольованою точкою,
якщо існує окіл точки a , який не містить точок множина A, крім точки a .
Означення 2.1.6	Замкнена множина F називається досконалою, якщо
кожна точка множини	F є граничною точкою цієї множини, тобто у

множини F немає ізольованих точок.

Властивості відкритих і замкнених множин

1. Для того щоб множина A Rn була відкритою необхідно і достатньо, щоб доповнення (доповнення до Rn ) було замкнуто.

Доведення. Необхідність. Нехай множина G відкрита і припустимо, що CRn G не містить граничну точку a . Тоді a G і отже існує окіл U (a)

такий, що U (a) G , а це означає, що U (a)не містить не одної точки множини CRn G . Отже не є граничною множини CRn G , а це суперечить припущенню.

Достатність. Нехай множина CRn G −замкнена і точка a CRn G . Тоді існує окіл U (a) цієї точки, що не містить не одної точки множини CRn G ,

тому що у протилежному випадку точка a була би граничною точкою множини CRn G і належала би CRn G . Отже окіл U (a) G , тобто множина

G−відкрита, що і треба було довести.

2.Об’єднання будь-якої сім’ї {Gi },i I, відкритих множин є множина відкрита.

Доведення. Нехай a Gi . Тоді a Gi і існує окіл точки a такий, що
		i I	0

U (a) Gi Gi . Отже множина Gi −відкрита.
0	i		i I

3. Перетин будь-якої сім’ї {Fi },i I, замкнутих множин є множина замкнута.

Доведення. Внаслідок співвідношень двоїстості і властивостей 1 і 2

множина CRn Fi = CRn Fi −відкрита, отже (властивість 1) Fi −замкнена.
i	i		i
4. Перетин скінченного набора {G1,G2 ,...,Gm} відкритих множин є
множина відкрита.
Доведення. Нехай a		m
		Gi . Тоді для кожної множини Gi ,i =1,2,...,m,
знайдеться окіл U∂	(a) G .	i=1	min δi . Очевидно, що для
		Покладемо δ =
i		i {1,2,...,m}

будь-якого i :U∂ (a) Gi і U∂ (a) Gi .

i=1

5. Об’єднання скінченного набора {F1,F2 ,...,Fm} замкнених множин є множина замкнена.

Доведення.

множина CRn i=1 Fi

В	силу	співвідношень двоїстості і властивостей 1 і 4
	m	Fi −відкрита, отже (властивість 1)	m
=	CRn	Fi −відкрита, отже (властивість 1)	Fi −замкнена.
	i		i=1

Покажемо на прикладах, що умова скінченнності у властивостей 3,4 не зайва.

			Gi = (0;1 +1/ i). Тоді	∞
Приклад 1. Нехай				(0;1+1/ i) = (0;1] −множина і
не відкрита і не замкнена.				i=1

Приклад		2. Нехай	Fi =[1/ i;1]. Тоді	∞	множина і	не
				[1/ i;1] = (0;1] −
відкрита і не замкнена.				i=1

Нехай	F	є довільної, обмеженою знизу, замкненою			множиною з
простору R1	і	A =inf{x :x F}. Внаслідок означення точної нижньої межі
для будь-якого натурального числа n знайдеться елемент xn F такий,						що


A ≤ xn < A +1/ n .	Якщо серед елементів		xn існує нескінченна множини
різних, то точка	A є граничною точкою множини F і належить F . В
протилежному випадку існує число n0		таке, що для всіх n ≥ n0 елементи
xn = A , отже A F . Аналогічно, якщо		F	є довільної, обмеженою зверху,

замкненою множиною з простору R1 і B =sup{x :x F}, то B F .

Якщо F є довільної, обмеженою, замкненою множиною з простору R1 , то A,B F , а сегмент [ A;B] називається найменшим сегментом, що містить

замкнену множину F .

Теорема 2.1.3 (Структура відкритої обмеженої множина з простору

R1 ). Будь-яка відкрита обмежена множина G R1 є об’єднання скінченної або зчисленної множини попарно неперетинних інтервалів (αk ;βk ), кінці

яких не належать множині G . Інтервали (αk ;βk ) називаються складовими інтервалами множини G .

Доведення. Нехай a G . Так як множина G −обмежена, то множина

F = (СR G) [a;∞)обмежена знизу і замкнена. Тому β =inf F належить F , а
1	належить G . Аналогічно множина F = (СR G) [−∞;a)
півінтервал [a;β)
	1

обмежена зверху і замкнена. Тому α =sup F належить F , а півінтервал (α;a] належить G . Отже інтервал (α;β) належить G , а кінці його не належать G . Інтервал (α;β) називається складовим. Покажемо, що два довільних складових інтервалів не перетинаються. Припустимо, що знайшлись два

інтервала (αk ;βk ) і	(αm ;βm ), що мають спільну точку x , і	нехай
αk <αm < x . Тоді точка	αm (αk ;βk ) і через те належить множині	G , а це

суперечить тому, що інтервал (αm ;βm ) − складовий.

Покажемо, що складових інтервалів не більш ніж зчисленна множина. Для цього виберемо по раціональній точці з кожного інтервала. Оскільки інтервали не перетинаються, то ці точки різні і тому утворюють деяку підмножину Q0 множини раціональних чисел. Таким чином установлена

взаємно однозначна відповідність між множиною складових інтервалів множини G і множиною Q0 . Оскільки множина Q0 не більш ніж зчисленна,

то і множина складових інтервалів множини G не більш ніж зчисленна. Теорема доведена.

Теорема 2.1.4 (Структура замкненої обмеженої множина з простору

R1 ). Будь-яка замкнена обмежена множина F R1 є або сегментом [ A;B], або одержується з найменшого сегмента [ A;B], що містить замкнену

множину F , вилученням скінченної або зчисленної множини попарно неперетинних інтервалів (αk ;βk ), кінці яких належать множині F .

Інтервали (αk ;βk ) називаються доповняльними множини F .

Доведення.		Якщо F є сегмент,	то все очевидно. Нехай F ≠[ A;B].
Розглянемо	C[ A;B]F =[ A;B] \ F . Очевидно, що [ A;B] \ F =СR1 (F) [ A;B].
Оскільки	точки	A,B [ A;B] \ F , то	[ A;B] \ F =СR1 (F) (A;B). Отже

множина [ A;B] \ F є відкритою і за теоремою 2.1.3 ії можно зобразити у вигляді (αk ;βk ) не більш ніж зчисленної множини попарно неперетинних

інтервалів. Тоді F =C[ A;B] ([A;B] \ F) =C[ A;B] ( (αk ;βk )) =[ A;B] \ (αk ;βk ).

k	k
Теорема доведена.

Із означень досконалої множини і ізольованої точки внаслідок теореми 2.1.4 очевидно випливає наступне твердження.

Теорема 2.1.5 Для того щоб замкнена обмежена множина F R1була досконалою необхідно і досить, щоб точки A,B не були кінцями інтервалів

(αk ;βk ) і будь-які доповняльні інтервали (αk ;βk )не мали спільних кінців.

Канторова відкрита множина, Канторова досконала множина

Трійковим дробом називається сума ряду ∑∞ αk , де αk = 0, або 1, або 2.

k=1 3k

Цей ряд збігається, сума його невід’ємна і не перевищує одиниці, тому що члени його мажоруються членами геометричної прогресії. Трійковий дріб

будемо	зображати	символом	0,α1α2 ...αn ...	і		також називати		трійковим
дробом.	Трійковий	дріб виду	k			≠ 0, називається			трійково-
дробом.	Трійковий	дріб виду	∑0 αk , де αk			≠ 0, називається			трійково-
			k=1 3k		0		m
раціональним числом. Ця сума дорівнює раціональному числу							m			, де ціле
раціональним числом. Ця сума дорівнює раціональному числу										, де ціле
						k	3k0
число m менше за						k				≠ 0, крім
число m менше за		3k0 . Трійково-раціональне число ∑0 αk , де αk								≠ 0, крім
						k=1 3k		0

зображення 0,α1α2 ...αk0 (0) (запис (0) («0 в періоді») означає, що усі αk = 0 , якщо k > k0 ) має зображення 0,α1α2 ...(αk0 −1)(2) (запис (2) («2 в періоді ») означає, що усі αk = 2 , якщо k > k0 ). Має місце наступне твердження.

Теорема 2.1.6 Будь-яке число x [0;1]	можливо зобразити трійковим
дробом. При цьому зображення єдине, якщо	x не є трійково-раціональним
числом.

Доведення теореми 2.1.6 аналогічне доведенню теореми 1.4.2.

Далі розглянемо наступні інтервали. Нехай I0 є інтервал (0,1; 0,1(2)) і

для кожного

k=1,2,…

розглянемо

інтервалів I

= I

(β ,β

,...,β

) =

= (0,β1β2 ...βk 1(0); 0,β1β2 ...βk 1(2)),деβi

= 0,

або 2. Довжина кожного з них

дорівнює 1/ 3k+1 . Очевидно, що інтервали

можливо зобразити у вигляду

Ik = (0,β1β2 ...βk 0(2); 0,β1β2 ...βk 2(0)).

Лема 2.1.1. Різним наборам чисел

β1,β2 ,...,βk відповідають

різні

інтервали Ik (β1,β2 ,...,βk ). Крім того вони не перетинаються,

не мають

спільних кінців і, очевидно, що точки 0 і 1 не є кінцями ціх інтервалів.

Дійсно,

нехай Ik

= Ik (β1β2 ...βi 0βi'+2 ...βk' ), Im = Im (β1β2 ...βi 2βi'+'

2 ...βm'' ),

де m і k −довільні. Покажемо, що лівий кінець інтервала Im більше правого кінця інтервалуIk :

0,β1β2 ...βi 0βi'+2 ...βk' 1(2)≤ 0,β1β2 ...βi 02...21(2)< 0,β1β2 ...βi1 <

0,β1β2 ...βi 2 ≤ 0,β1β2 ...βi 2βi'+' 2 ...βm'' < 0,β1β2 ...βi 2βi'+' 2 ...βm'' 1(0).

Із означень інтервалів Ik (β1,β2 ,...,βk ) випливає, що точки 0 і 1 не є кінцями ціх інтервалів.

Арифметична характеристика	чисел, які	належать інтервалам
Ik (β1,β2 ,...,βk ).
Лема 2.1.2. Для того, щоб x Ik (β1,β2 ,...,βk )		необхідно і достатньо,

щоб число x в трійковому запису мало вигляд x = 0,β1β2 ...βk 1αk+2αk+3..., де βk = 0, або 2, а αk+ j , j = 2,3,...−довільні і хоча б одно з них не дорівнює нулю

і хоча б одно з них не дорівнює 2.	x в трійковому запису має вигляд
Достатність. Нехай число	x в трійковому запису має вигляд
x = 0,β1β2 ...βk 1αk+2αk+3..., де βk = 0,	або 2, а αk+ j , j = 2,3,...−довільні і хоча б

одно з них не дорівнює нулю і хоча б одно з них не дорівнює 2. Тоді:

0,β1β2 ...βk 0(2) = 0,β1β2 ...βk 1(0)< 0,β1β2 ...βk 1αk+2αk+3...= x < 0,β1β2 ...βk 1(2).

Необхідність. Якщо x Ik (β1,β2 ,...,βk ), то x повинно бути більше за

лівий кінець інтервалу Ik (β1,β2 ,...,βk ), тобто x = 0,β1β2 ...βk 1αk+2αk+3..., де хоча б одна з цифр αk+ j , j = 2,3,..., не дорівнює нулю (тому що у

протилежному випадку x збігається з лівим кінцем інтервалу Ik (β1,β2 ,...,βk )

і отже не належить йому), а з іншого боку x повинно бути менше за правий

кінець інтервалу Ik (β1,β2 ,...,βk ), тобто x = 0,β1β2 ...βk 1αk+2αk+3..., де хоча б одна з цифр αk+ j , j = 2,3,..., не дорівнює двом, тому що у протилежному

випадку x збігається з правим кінцем інтервалу Ik (β1,β2 ,...,βk ) і тому не належить йому. Лему доведено.

Побудова Канторових множин.

Поступимо наступним чином: вилучимо з сегмента [0;1] спочатку інтервал I0 , потім два інтервалу I1 , на k −му кроці вилучимо 2k інтервалів Ik (β1,β2 ,...,βk ). Об’єднання усіх інтервалів Ik (β1,β2 ,...,βk ) називається Канторовою відкритою множиною і позначається через G0 , а доповнення множини G0 до сегмента [0;1] називається Канторовою досконалою множиною і позначається через P0 . За лемою 2.1.2 Канторова відкрита множина це множина усіх чисел з сегмента [0;1], трійковий запис яких

неможливий без цифри 1. Наприклад, число (в трійковому запису) 0,1 має також вигляд 0,0(2), а тому воно не належить множині G0 . Канторова

досконала множина дійсно досконала тому, що одержується з сегмента [0;1] вилученням зчисленної множина інтервалів Ik (β1,β2 ,...,βk ), що не мають

спільних кінців і точки 0 і 1 не є кінцями ціх інтервалів. З арифметичної характеристики множини G0 випливає, що Канторова досконала множина це

множина усіх чисел сегмента [0;1], трійковий запис яких містить тільки цифри 0 і 2, тобто це множина усіх трійкових дробів вигляду 0,β1β2 ...βk ..., де βk = 0, або 2, отже це множина потужності континууму. Обчислимо суму довжин вилучених інтервалів: Спочатку вилучається інтервал I0 , довжина якого дорівнює 1/ 3 , потім два інтервала, довжина кожного з яких дорівнює 1/ 32 , на k −му кроці вилучається 2k інтервалів Ik (β1,β2 ,...,βk ), довжина

кожного з яких дорівнює 1/ 3k+1 . Отже, сума довжин вилучених інтервалів дорівнює

1	+		2		+	...+	2k	+...=1.
3		32					3k+1

Означення 2.1.5 Сім’я				{G j }, j J				відкритих множин називається
покриттям множини E R1 , якщо						E j J G j
Лема 2.1.3. (Гейне-Бореля). Із будь-якого покриття замкненої
обмеженої множини F R1				відкритими множинами можна виділити
скінченнне покриття.
Доведення. Припустимо, що лема не має місце. Так									як множина F
обмежена, то знайдеться сегмент						[a;b] ,		що містить множину F . Нехай
с = (a + b)/ 2 . Тоді хоча б для одної з замкнених множин									F [a;c] або

F [c;b] не існує скінченнного покриття. Позначимо цю множину, або одну

з них, якщо їх дві, через F1 , а сегмент, в якому вона міститься через [a1;b1 ]. Очевидно, що [a1;b1 ] [a;b] і довжина сегмента [a1;b1 ] у два рази менша довжини сегмент [a;b] :(b1 − a1)=1/2 (b − a). Нехай побудована послідовність

вкладених

сегментів

[am ;bm ]

таких,

що

для

множин Fm = F [am ;bm ]

неможливо вилучити

скінченнне покриття, [am ;bm ] [am−1;bm−1 ],

а також

− a

)=1/ 2m (b − a). Нехай

= (a

+ b

)/ 2 .

Тоді хоча

б для

одної

замкнених множин

Fm [am ;cm ]

або

Fm [cm ;bm ] не існує скінченнного

покриття. Позначимо цю множину, або одну з них, якщо їх дві, через

Fm+1 , а

сегмент, в якому вона міститься через [am+1;bm+1 ].

Внаслідок принципу математичної індукції існують послідовність

вкладених

сегментів

[an ;bn ] ,

довжини

яких

прямують

до нуля,

послідовність вкладених замкнених множин Fn+1 Fn , таких, що для кожної

з них неможливо вилучити скінченнне покриття.

За теоремою про послідовніть вкладених сегментів існує єдина спільна точка x0 [an ;bn ]. Тоді точкаx0 є граничною точкою замкненої множини F

і, отже належить до неї. Нехай G j − відкрита множина з даного покриття, що
0	. Якщо m таке, що (bm − am )<δ , то
містить точку x0 , і (x0 −δ;x0 +δ) G j	. Якщо m таке, що (bm − am )<δ , то
0
усі сегменти [an ;bn ] (x0 −δ;x0 +δ)	за умовою,	що n ≥ m . Отже всі
множини Fn покриваються відкритою множиною G j		за умовою, що n ≥ m , а
	0

це суперечить властивостям множин Fn . Одержана суперечність спростовує припущення. Лема доведена.

Зауваження. Лема Гейне-Бореля має місце і в просторі Rk .

ГЛАВА III

МІРА ЛЕБЕГА ОБМЕЖЕНИХ МНОЖИН У R1

3.1. Елементарні множини та їх властивості

Означення 3.1.1 Будь-які інтервали (α;β), півінтервали (α;β] або [α;β), або сегменти [α;β] будемо називати відрізками і позначати літерой I . При цьому у число відрізків включаємо порожню множину = (a;a) і сегмент, що складається з одної точки [α;α].

Означення 3.1.2 Елементарними множинами в R1 будемо називати будь-ялі скінченні об’єднання попарно неперетинних відрізків. Зокрема, будь-який відрізок – елементарна множина.

Одже будь-яка елементарна множина E має вигляд E = Ik , де m

k=1

може бути довільним натуральним числом і відрізки Ik попарно не

перетинаються.

Властивості елементарних множин.

1. Перетин скінченної множини елементарних множин є елементарна множина.

Доведення. Твердження очевидно, якщо розглянути перетин двох

відрізків. Розглянемо випадок двох множин E

і E

. Маємо

= I

I 2

k=1

j=1

E E

m n

= (I1 I 2 ).

k=1 j=1

Загальний випадок доводиться методом математичної індукції.

Доповнення

елементарної множини

E до

деякого

відрізка I є

елементарною множиною.

Доведення. Твердження очевидно, якщо елементарна множинаE сама є інтервалом, полуінтервалом або сегментом. Загальний випадок випливає з

	m	m
рівності:	СI E = CI Ik =	CI Ik .
	k=1	k=1
3. Об’єднання скінченної множини елементарних множин є
елементарна множина.				m				n
Доведення. Розглянемо випадок двох множин			E	m	1 і	E		n
Доведення. Розглянемо випадок двох множин			E	= I	1 і	E	2	= I 2 .
			1	k=1	k		2	j=1	j
				k=1				j=1
Нехай	I містить об’єднання E1 E2 . Розглянемо доповнення множини
E1 E2 до I : E =CI (E1 E2 ) = (CI E1 ) (CI E2 ). Внаслідок властивостей 2 і 1
множина	E − елементарна.	Тоді за властивостю 2,	E1 E2 − елементарна,
тому, що	E1 E2 =СI E .
									24

4. Різниця E1 \ E2 двох елементарних множин є елементарна множина.

Доведення. Зобразимо різницюE1 \ E2 у вигляду: E1 \ E2 = E1 CI E2 , деI містить об’єднання E1 E2 . Внаслідок властивостей 2 і 1 множина

E1 \ E2 − елементарна.

5. Симетрична різниця E1∆E2 двох елементарних множин є

елементарна множина.

Ця властивість випливає з 4 і 3 , тому що E1∆E2 = (E1 \ E2 ) (E2 \ E1 ).

3.2. Міра елементарних множин та її властивість

Означення 3.2.1

Мірою

будь

якого відрізка

називається його

довжина. Позначається міра символом m(I).

Тобто незалежно від того,

чи

буде відрізок

інтервалом (α;β),

сегментом [α;β] , пів інтервалом

(α;β]

або [α;β),

m(I) = β −α .

Зокрема

міра відрізку [α;α] і порожньої множини дорівнює нулю.

Означення 3.2.2

Мірою будь якої елементарної множини

E = Ik

k=1

називається сума довжин відрізків

Ik , тобто m(E) = ∑m(Ik ).

Розглянемо наступні властивості.

k=1

1. Якщо множини

і E

= I

= I 2 не мають спільних елементів,

k=1

j=1

то m(E1 E2 ) = m(E1 ) + m(E2 ).

Доведення. Позначимо Ik =

k =1,2,...,s,

Тоді

Ik2−s ,s +1 ≤ k ≤ s + n.

s+n

m(E1 E2 ) = ∑m(Ik )

= ∑m(Ik1 ) + ∑m(Ik2−s ) =m(E1 ) + m(E2 ).

k=1

k=s+1

Методом математичної індукції ця властивість поширюється на випадок скінченної множини неперетинних елементарних множин. Ця властивість називається адитивністю міри.

Наслідок 1. Якщо E1	і E2 − елементарні множини і E1		E2 , то
m(E1 \ E2 ) = m(E1 ) − m(E2 ).			(3.2.1)
Доведення. Зобразимо множину E1 у вигляді		E1 = E2 (E1 \ E2 ). В
силу адитивності міри	m(E1 ) = m(E2 ) + m(E1 \ E2 ),	а це еквівалентно
сформулюваному.
Наслідок 2. Якщо E1	і E2 − елементарні множини і E1		E2 , то
m(E1 )≥ (E2 ).

Ця властивість виливає з (3.2.1), тому що m(E1 \ E2 )≥ 0 , і називається монотонністю міри.

Наслідок 3. Якщо E1

і E2

− елементарні множини, то

m(E1 E2 ) = m(E1 ) + m(E2 ) − m(E1

E2 ).

(3.2.2)

Доведення. Зобразимо множину E1 E2 у вигляді двох неперетинних

множин

E1 E2

= E1 (E2

\ (E1 E2 ))

далі

застосуємо

властивість 1

наслідок 1:

m(E1 E2 ) = m(E1 ) + m(E2 \ (E1 E2 )) = m(E1 ) + m(E2 ) − m(E1 E2 ).

Наслідок 4.

Якщо елементарна множина E міститься в об’єдненні

скінченної множини елементарних множин E j ,

j =1,2,...,r,

то

m(E)

≤ ∑m(E j

j=1

Доведення. Нехай E

' = E ,

= E

\ E ,..., E' = E

r −1

. Множини

Ek' попарно не перетинаються і,

як легко перевірити,

Ek'

Ek . Отже,

внаслідок монотонності і адитивності одержимо

k =1

m(E)≤ m(

Ek ) = m( Ek'

)= ∑m(E'j )

≤ ∑m(E j ).

k =1

j =1

2. Якщо елементарна множина E міститься в об’єдненні зчисленної

множини елементарних множин E j ,

j =1,2,..., то

∞

m(E)

≤ ∑m(E j ).

(3.2.3)

j=1

Доведення. Нехай E

s j

Inj . Для кожного відрізку Ik і для

Ik ,

E j =

k=1

n=1

будь-якого

ε > 0

знайдемо

сегмент

[ak ;bk ]

такий,

що

[ak ;bk ] Ik

m(I

)< (b

− a

)+ε / s . З іншого боку для кожного відрізка

I j

і ε > 0 знай-

демо інтервал δnj такий, що δnj Inj і

mδnj < mInj

+ ε/ s j 2 j

. Тоді

m(E)

= ∑m(Ik )

< ∑(bk − ak ) + ε

(3.2.4)

k =1

∑j mδnj < ∑j

(mInj +

) = m(E j ) +

(3.2.5)

s j 2 j

n=1

2 j

Оскільки множина E міститься в об’єдненні множин E j , то система

інтервалів {δj		} покриває замкнену обмежену					s		;b ] .		За
інтервалів {δj		} покриває замкнену обмежену				множину F = [a		k	;b ] .		За
	n						k=1	k		k
лемою Гейне-Бореля			існує скінченне покриття, яке позначимо через
{δ1,δ2 ,...,δp}.		Оскільки	сегменти [ak ;bk ]		попарно		не перетинаються,				то
s	p
∑(bk − ak )< ∑mδr і внаслідок нерівностей (3.2.4-3.2.5) маємо
k =1	r =1
							p
		m(E) − ε = Σs m(Ik ) − ε < Σs (bk − ak )< ∑mδr ≤
			k =1	k =1		r =1
			∞ s j			r =1
	∞		∞ s j	∞			∞
	≤ ∑ ∑mδr ≤		∑∑mδnj	< ∑(m(E j ) + ε		/ 2 j ) =∑m(E j ) + ε.
	j =1r:δr =δnj		j =1n=1	j =1			j =1
		∞
Отже	m(E)< ∑m(E j ) + 2ε. Спрямувавши				ε	до нуля одержимо (3.2.3).
		j =1
Властивість 2 доведена.
	Наслідок 4. Якщо елементарна множина					E є об’єднання зчисленної
множини неперетинних елементарних множин E j ,							j =1,2,...,			то
				∞
			m(E)	= ∑m(E j ).						(3.2.6)
				j=1
				∞
	Доведення. В силу ( 3.2.3) m(E)≤ ∑m(E j ), а з іншого боку, тому,										що
				j=1
							n
елементарна множина E містить елементарну множину E j , де n −довільне
							j=1
натуральне число, то внаслідок монотонності							та адитивності міри
	n		∞
m(E)	≥ ∑m(E j	) і отже	m(E)≥ ∑m(E j ), що з раніш одержаною нерівністю
	j=1		j=1
	∞
m(E)	≤ ∑m(E j	) доводить (3.2.6).

j=1

3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.

Означення 3.3.1 Нехай A− довільна обмежена множина з R1 . Число

µ (A) =	inf	∑m(Ek ),	(3.3.1)
	Ek A k
	k
де точна нижня межа береться по		усім скінченним або	зчисленним
об’єднанням елементарних множин	Ek , називається зовнішньою мірою
обмеженої множини A.

Властивості зовнішній міри.

1.Зовнішня міра невід’ємна.

2.Зовнішня міра елементарної множини E збігається з m(E), тобто

m(E) = µ (E).

Доведення. Якщо Ek E , то в силу властивості 2 міри елементарних

множин, m(E)≤ ∑k m(Ek ) і слід m(E)≤ k infEk E ∑k m(Ek ) = µ (E). З іншого боку m(E)≥ µ (E) тому, що E входить в множину по якої обчислюється точна нижня межа.

3. Якщо обмежена множина B A, то µ (B)≥ µ (A).

Ця властивість випливає з означення зовнішньої міри і називається монотонністю.

4. Якщо обмежена множина A An , де {An} −скінченна, або

зчисленна сім’я множин, то µ (A)≤ ∑µ (An ).

Доведення. В силу властивості точної нижньої межі для кожної

множини

An і довільного числа ε > 0 знайдеться скінченна, або зчисленна

система

елементарних

множин

така,

що

A En

∑m(Ekn )< µ (An ) +

. Тоді A An Ekn

n k

µ (A)≤ ∑m(Ekn ) = ∑∑m(Ekn )< ∑(µ (An ) +

)≤ ∑µ (An ) +ε .

n,k

n k

Спрямувавши ε до нуля, одержимо указану властивість.

5. Для будь-яких обмежених множин A іB має місце нерівність

\| µ (A) − µ (B)\|≤ µ (A∆B).		(3.3.2)
Доведення. Використовавши	співвідношення	A B (A∆B) і
попередню властивість, одержимо	µ (A)≤ µ (B) + µ (A∆B). Помінявши

місцями A іB одержимо µ (B)≤ µ (A) + µ (A∆B) і отже маємо (3.3.2).

3.4Поняття вимірної множини

Означення 3.4.1 Обмежена множина A називається вимірною, якщо для довільного числа ε > 0 знайдеться елементарна множина E така, що

µ (A∆E)<ε .

Якщо множина A вимірна, то її мірою називається µ (A). Міра позначається символом µ(A) і називається мірою Лебега.

Із означення вимірної множини випливає, що будь-яка елементарна множина E вимірна і у сенсі останнього означення і µ(E) = m(E).

Властивості вимірних множин.

1. Якщо множина A вимірна, то вимірне доповнення множина до відрізка I A .

Доведення випливає з рівності

(CI A)∆(CI E) = (A∆E).

2. Об’єднання скінченної сім’ї вимірних множин є множина вимірна.

Доведення. Розглянемо спочатку дві множини					A1 і A2 . Для будь-якого
числа ε > 0 знайдуться елементарні множини E1 іE2					такі, що
µ (A ∆E )<ε / 2 і		µ (A ∆E	2	)<ε / 2 .
1	1	2

Так як об’єднання скінченної множини елементарних множин є елементарна множина, то, використовуючи включення

(A1 A2 )∆(E1 E2 ) (A1∆E1 ) (A2∆E2 )

івластивості 3,4 зовнішньої міри, одержимо.

µ[(A1 A2 )∆(E1 E2 )]≤ µ (A1∆E1 ) + µ (A2∆E2 )<ε .

Припустивши вимірність об’єднання Ak вимірних множин , в силу

k=1

рівності	m+1	A	m	A	A	одержимо вимірність множини	m+1	A . Завдяки
			=
	k=1	k	k=1	k	k+1		k=1	k

принципу математичної індукції вимірною буде скінченне об’єднання вимірних множин.

3. Перетин скінченної сім’ї вимірних множин є множина вимірна.

Доведення і в цьому випадку достатньо провести для двох множин A і

B . Розглянемо доповнення множини A B до інтервалу	(a;b) A1 A2 .
Внаслідок двоїстості операцій об’єднання і перетину
C(a;b)(A B) = (C(a;b) A) C(a;b)(B).

За властивостю 1 доданки у правій частині вимірні, і завдяки властивості 2 вимірна права частина, а тоді за властивістю 1 вимірна множина A B тому,

що A B =C(a;b)(C(a;b)(A B))

4. Різниця A1 \ A2 вимірних множин є множина вимірна.

Доведення. Нехай інтервал (a;b) A1 A2 . Тоді A1 \ A2 = A1 C(a;b) A2 і отже, внаслідок властивостей 1 і 3, різниця – вимірна.

5. Симетрична різниця вимірних множинA1 і A2 є множина вимірна.

Ця властивість випливає з останньої властивості, властивості 2 і рівності

A1∆A2 = (A1 \ A2 ) (A2 \ A1 ).

6. Адитивність міри. Міра об’єднання скінченної сім’ї вимірних попарно неперетинних множин Ak ,k =1,2,...,n , дорівнюю сумі мір, тобто

µ(

k =1

Ak ) = ∑µ(Ak ).

k =1

Доведення. Спочатку розглянемо дві множини A1 і A2 − загальний

випадок легко одержимо методом математичної індукції. Перш за все, використовуючи властивість 4 зовнішньої міри, одержимо

µ(A	A ) = µ (A A )≤ µ (A ) + µ (A ) = µ(A ) + µ(A ) (3.4.1)
1	2	1	2	1		2	1	2
За означенням вимірності, для будь-якого числа ε > 0 знайдемо								елементарні
множини E1 іE2	такі, що
	µ (A	∆E )<ε / 2	і	µ (A ∆E	2	)<ε / 2.		(3.4.2)
	1	1		2	2
Надалі значок,	що позначає зовнішню міру, будемо опускати тому, що усі

множини вимірні. Розглянемо наступні співвідношення і нерівності. Оскільки множини A1 іA2 не перетинаються, то

E1 E2 (E1 \ A1 ) (E2 \ A2 )

і, тим більше,

E1 E2 (A1∆E1 ) (A2∆E2 ).

А тоді, внаслідок (3.4.2)
µ(E1 E2 )≤ µ(A1∆E1 ) + µ(A2∆E2 )<ε	(3.4.3)
З властивості 5 зовнішньої міри (див. нерівність (3.3.2)) випливає, що
µ(E1 )≥ µ(A1 ) − µ(A1∆E1 ) > µ(A1 ) −ε / 2 ,	(3.4.4)

µ(E2 )≥ µ(A2 ) − µ(A2∆E2 ) > µ(A2 ) −ε / 2 ,	(3.4.5)
і, аналогічно, використовуючи включення
(A1 A2 )∆(E1 E2 ) (A1∆E1 ) (A2∆E2 ),
одержимо
µ(A1 A2 )≥ µ(E1 E2 ) − µ((A1 A2 )∆(E1 E2 )≥
≥ µ(E1 E2 ) − µ(A1∆E1 ) − µ(A2∆E2 )≥ µ(E1 E2 ) −ε .	(3.4.6)
Завдяки адитивності міри елементарних множин (див. наслідок 3)
µ(E1 E2 ) = µ(E1 ) + µ(E2 ) − µ(E1 E2 ).	(3.4.7)

Застосуємо спочатку нерівність (3.4.6), потім рівність (3.4.7) і на кінець нерівності (3.4.3 – 3.4.5)

µ(A1 A2 )≥ µ(E1 E2 ) −ε = µ(E1 ) + µ(E2 ) − µ(E1 E2 ) −ε >

>µ(A1 ) + µ(A2 ) −3ε .

Всилу довільності ε одержимо нерівність

µ(A1 A2 )≥ µ(A1 ) + µ(A2 ),

що разом з (3.4.1) дає необхідну рівність.

Припустимо тепер,		що властивість має місце для		m ≥ 2	вимірних
попарно неперетинних множин A1,A2 ,...,Am , тобто
	m	m
	µ(	Ak ) = ∑µ(Ak ).
	k=1	k=1
Розглянемо далі	m +1	вимірних	попарно неперетинних		множин
A1,A2 ,...,Am , Am+1 .	Тоді,	внаслідок	властивості для	двох	множин і
припущення одержимо			m+1
m+1		m	m+1
µ( Ak ) = µ( Ak ) + µ(Ak+1 ) = ∑µ(Ak ) .
k=1		k=1	k=1

За принципом математичної індукції, адитивність має місце до будьякої кількості вимірних попарно неперетинних множин A1,A2 ,...,An .

Наслідок 1. Якщо A1 і A2 − вимірні множини і A1 A2 , то

µ(A1 \ A2 ) = µ(A1 ) − µ(A2 ).

Доведення аналогічно доведенню такої ж властивості міри елементарних множин.

Наслідок 2. Якщо A1 і A2 − вимірні множини, то

µ(A1 A2 ) = µ(A1 ) + µ(A2 ) − µ(A1 A2 ).

(3.4.8)

Доведення. Зобразимо об’єднання множин A1 іA2 у вигляді

A1 A2 = A1 (A2 \ (A1 A2 ))

Множини A1 іA2 \ (A1 A2 ) не перетинаються, тому на підставі властивості 6

інаслідку 1, маємо

µ(A1 A2 ) = µ(A1 ) + µ(A2 \ (A1 A2 )) = µ(A1 ) + µ(A2 ) − µ(A1 A2 ).

Рівність (3.4.8) у теорії ймовірностей називається теоремою додавання.

Наслідок 3. Якщо A1 і A2 − довільні обмежені множини, то

		µ (A ) + µ (A )			≥ µ (A A ) + µ (A A ).				(3.4.9)
			1	2	1	2	1	2
Доведення.		В силу властивості точної нижньої межі для кожної з
множин	A1 і A2	та	довільного	числа ε > 0			знайдеться	скінченна, або
зчисленна система елементарних множин Ekn , n =1,2 така, що
A1	Ek1 = B1,		A2 Ek2 = B2		і ∑m(Ekn )< µ (An ) +ε, n =1,2 .
	k		k		k

Тоді на підставі наслідку 2

µ (A1 ) + µ (A2 )≥ ∑m(Ek1 ) +∑m(Ek2 ) − 2ε ≥ µ(B1 ) + µ(B2 ) − 2ε =

=µ(B1 B2 ) + µ(B1 B2 ) − 2ε ≥ µ (A1 A2 ) + µ (A1 A2 ) − 2ε .

Спрямувавши ε до нуля, одержимо (3.4.9).

7.Обмежено об’єднання зчисленної сім’ї вимірних попарно

неперетинних множин Ak	є множина вимірна.
Доведення. Нехай	A		∞	Ak . Тоді,	в силу	адитивності міри і
Доведення. Нехай	A	=		Ak . Тоді,	в силу	адитивності міри і
			k=1
	n			n		∞
обмеженості множини А: ∑		µ(Ak ) = µ Ak			≤ µ (A)< ∞. Отже ряд ∑µ(Ak )
	k=1			k=1		k=1
збігається. Тоді для довільного числа ε > 0 знайдеться						натуральне число m
∞
таке, що ∑µ(Ak )<ε / 2	. В наслідок властивості					4 зовнішньої міри,
k=m
одержимо				∞
µ ( ∞				∞
µ ( ∞			Ak )	≤ ∑µ (Ak )<ε / 2		(3.4.10)
	k=m			k=m
				k=m
						32

m−1

Оскільки множина B = Ak вимірна, то існує елементарна множина E така,

k=1

що

µ (B∆E)<ε / 2 .

(3.4.11)

Тоді з нерівностей

(3.4.10 – 3.4.11)

і співвідношення

A∆E (B∆E) ( ∞k=m Ak )

випливає µ

(A∆E)≤ µ

(B∆E) + µ

∞

<ε . Одже множина A є вимірною.

8. Обмежено об’єднання зчисленної

сім’ї

вимірних

множин

вимірна множина.

∞

k−1

Доведення.

Нехай A

A' = A \

,...,

= A \

k=1

j=1

Множини A' попарно не перетинаються,

вимірні і,

як легко перевірити,

∞

A' . Отже, внаслідок попередньої властивості,

A −вимірна множина.

A =

k=1

∞

Наслідок 4. Якщо виконуються умови властивості 8, то µ(A)

≤ ∑µ(Ak ).

k=1

Доведення.

µ(A) = µ

∞

≤ ∑

(Ak ) = ∑µ(Ak ).

k=1

9. Перетин зчисленної сім’ї вимірних множин Ak

є множина вимірна.

Доведення.

Нехай

∞

інтервал

(a;b) A .

Тоді

∞

k=1

(a;b))

і,

внаслідок

властивості

множина

A = (Ak

k=1

∞

C(a;b) A = k C(a;b)(Ak (a;b))−вимірна, одже множина A є вимірною.

10. Міра обмеженого об’єднання зчисленної сім’ї вимірних попарно неперетинних множин Ak множин дорівнює сумі мір.

Доведення.	∞	Ak . Тоді з одного боку, в силу властивості
	Нехай A =
зовнішньої міри,	k=1

∞

µ(A)≤ ∑µ(Ak ),

k=1

а з іншого

n	n
∑	µ(Ak ) = µ	Ak ≤ µ(A).
k=1	k=1

Отже

∞

µ(A) = ∑µ(Ak ).

k=1

11.Нехай вимірні множини Ak такі, що Ak Ak+1 (a;b), k =1,2,....

Тоді

µ∞ Ak = lim µ(An ).

k=1 n→∞

Доведення. Внаслідок монотонності				послідовності множин, множини
A1, A2 \ A1,...,Ak \ Ak−1,... попарно неперетинні і виконується рівність
∞	A	= A	∞		\ A
			(A			) .
k=1	k	1	k=2	k	k−1

Використовуючи попередню властивість і наслідок з властивості 6, одержимо

∞		∞
µ	Ak	= µ(A1 ) + ∑µ(Ak \ Ak−1 ) =
k=1		k=2

n
= µ(A1 ) + lim ∑	(µ(Ak ) − µ(Ak−1 )) =lim µ(An ).
n→∞ k=2	n→∞

12.Нехай вимірні множини

µ∞ Akk=1

Ak такі, що Ak Ak+1, k =1,2,.... Тоді

= lim µ(An ).

n→∞

Доведення. Внаслідок монотонності послідовності множин, множини Bk =CA1 Ak = A1 \ Ak задовольняють умову попередньої властивості. Отже

∞		= lim µ(B ) = µ(A ) − lim µ(A ).
µ B		= lim µ(B ) = µ(A ) − lim µ(A ).
k=1	k	n→∞	n	1	n→∞	n

Внаслідок співвідношень двоїстості одержимо

∞	A	∞		\ B
µ	A	= µ (A		\ B	)
k=1	k	k=1	1	k

=µ(A1 ) − µ ∞ Bk =

k=1

		∞	=
= µ CA		Bk	=
	1	k=1

lim µ(An ).

n→∞

13. Нехай множини Ak

такі, що Ak Ak+1 (a;b), k =1,2,.... Тоді

∞

(A ).

(3.4.12)

= lim

k=1

n→∞

Доведення. Внаслідок обмеженості і монотонності

послідовності

множин і монотонності зовнішньої міри lim µ (A ) існує і

n→∞

lim µ

(A )≤ µ

∞

(3.4.13)

n→∞

k=1

An і довільного

Щоб довести протилежну нерівність, для кожної

множини

числа ε > 0

знайдемо

скінченну,

або

зчисленну систему

елементарних

множин Ekn

таких, що An Ekn

∞

і ∑m(Ekn )< µ (An ) +ε . Нехай Bm = Ekn .

n=m k

Очевидно, що B B

Am і

∞

. Використовуючи

m+1

k=1

вимірність множин

і властивість 11, одержимо

∞

= lim µ

(B )≤

≤ µ

= µ

k=1

n→∞

____

≤ lim µ Ekn

≤ lim ∑m(Ekn )≤ lim µ (An ) +ε .

n→∞

n→∞ k

n→∞

Завдяки довільності числа ε, маємо

µ∞ Ak ≤ lim µ (An ),

k=1 n→∞

Що разом з (3.4.13) дає рівність (3.4.12).

Захід, за допомогою якого визначена міра Лебега на множинах, більш загальних за елементарні множина, називається продовженням міри за Лебегом.

3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.

Означення 3.5.1 Різниця (b − a) − µ (C(a;b) A) називається внутрішньою мірою множини A (a;b) і позначається символом µ (A).

НехайA1 іA2 −довільні обмежені неперетинні множини і A1 A2 (a;b). Застосуємо нерівність (3.4.9) до множин C(a;b) A1, C(a;b) A2

µ (C	(a;b)	A ) + µ C	(a;b)	(A )≥b − a + µ (C	A C	A ). (3.4.14)
	(a;b)	1	(a;b)	2	(a;b) 1	(a;b) 2

Використавши рівність C(a;b)A1 C(a;b)A2 =С(a;b)(A1 A2 ), віднімемо ліву і праву частини нерівністі (3.4.14) від числа 2(b − a). Тоді

2(b − a) − µ (C	A ) − µ C	(a;b)	(A )≤b − a − µ (C	(a;b)	(A A )) (3.4.15)
	(a;b) 1	(a;b)	2	(a;b)	1	2
На підставі означення 3.5.1 нерівність (3.4.15) можливо записати як
	µ (A1 A2 )≥ µ (A1 ) + µ (A2 ),					(3.4.16)

де A1 і A2 −довільні обмежені неперетинні множини.

По індукції нерівність (3.4.16) поширюється на випадок скінченної системи обмежених неперетинних множин, а потім, внаслідок монотонності внутрішньої міри і на випадок зчисленної системи неперетинних множин Ak ,

об’єднання яких обмежене:

µ ( ∞k =1 Ak )≥µ( mk =1 Ak )≥ ∑т µ (Ak ).

k =1

Оскільки m −довільне, то маємо нерівність

∞
µ ( ∞k=1 Ak )≥ ∑µ (Ak )		(3.4.17)
k=1
Теорема 3.5 Для того щоб обмежена множина		A була вимірною,
необхідно і достатньо щоб
µ (A ) = µ	(A).	(3.4.18)
1
Доведення. Необхідність. Нехай множина A (a;b)		є вимірною. Тоді
вимірна множина C(a;b) A і
µ (A) = (b − a) −µ (C(a;b)A) = (b − a) −µ(C(a;b)A) =µ(A) =µ (A).

Отже (3.4.18) виконується.

Достатність. Припустимо тепер, що (3.4.18) має місце. Внаслідок

властивості точної нижньої межі для кожної з множин						A і С(a,b)A та
довільного числа ε > 0	знайдеться	скінченна,		або	зчисленна			система
елементарних множин En , n =1,2 така,		що A E1		= B ,	C	(a;b)	A E2 = B
k		k	k	1		(a;b)		k	k	2
		k						k
і ∑m(Ek1 )< µ (A) +ε / 3,	∑m(Ek2 )< µ (C(a;b) A) +ε / 3 .				Тоді на			підставі
k	k
наслідку 2 і внаслідок того, що B1 B2 (a;b)
µ(B1 B2 ) =µ(B1) + µ(B2 ) −µ(B1 B2 )<
<µ (A) + µ (C(a;b)A) − (b − a) + 2ε/ 3 = µ (A)−µ (A)+ 2ε = 2ε/ 3 .								(3.4.19)
Якщо множинаB є об’єднання скінченної системи множин E1 , то в якості
1							k
елементарної множини E візьмемо множину B1 ,				а якщо нескінченної,						то
∞									n
виберемо таке n , що ∑m(Ek1 )<ε / 3 , і покладемо множину E рівною									Ek1 .
k=n+1									k=1

∞

Тоді A \ E − або порожня множина, або A \ E B1 \ E = Ek1 . Отже

k=n+1

				∞
µ (A \ E) = 0 , абоµ (A \ E)				≤ µ (B1 \ E)≤ ∑m(Ek1 )<ε / 3	. Розглянемо різницю
				n+1
E \ A = E C	(a;b)	A B B	2	. Внаслідок нерівності (3.4.19) µ (E \ A)< 2ε / 3.
	(a;b)	1	2

Отже µ (E∆A)≤ µ (A \ E) + µ (E \ A)< 2ε . За означенням вимірної мнжини

множина A є вимірною. Теорема доведена.

Приклади вимірних множин і невимірної множини.

1. Будь-яка обмежена відкрита множина G вимірна і µ(G)дорівнює

сумі мір складових інтервалів.

Доведення. Якщо відкрита множина G є об’єднання скінченної

множини

складових

інтервалів,

то

G −елементарна

множина

(βk −αk ).

Нехай

∞

(αk ;βk ). В

наслідок властивості

µ(G) = ∑

k=1

∞

множина

G є вимірною і

µ(G) = ∑(βk −αk ).

k=1

вимірна

Будь-яка

обмежена

замкнена

множина

µ(F) =b − a − µ(C[a;b] F),

де [a;b] −найменший сегмент, що містить замкнену

множину F .

Доведення. Нехай

[a;b] −найменший сегмент,

що містить замкнену

множину

F . Тоді

множина

C[a;b] F відкрита і

отже

вимірною, а тоді,

внаслідок властивості 1 вимірних множин,

F вимірна і (завдяки наслідку із

властивості 6) µ(F) =b − a − µ(C[a;b] F).

3.Будь-яка обмежена не більш ніж зчисленна множина A вимірна і

µ(A) = 0.

Доведення. В силу адитивності, якщо множина A скінченна, або

σ−адитивності, якщо множина A зчисленна,		і тому що міра одно елементної
множини дорівнює нулю, маємо	µA = µ {xk } = ∑µ({xk }) = 0 .
	k	k
4. Означення 3.4.2	Необмежена	множина A R1 називається

вимірною, якщо до будь-якого d > 0 вимірною є множина A (−d;d). Мірою

вимірної необмеженої множини A R1 називається lim µ(A (−d;d)).

d→∞

Так як величина µ(A (−d;d)) не спадає, коли d зростає, то границя

lim µ(A (−d;d)) існує. Якщо вона дорівнює ∞, то µ(A) = ∞.

d→∞

Приклад. Множини R1 , будь-який промінь з R1 , N, Q вимірні.

µ(R1 ) = ∞, µ(N) = µ(Q) = 0 .

5. Відображення, що визначається функцією ϕ(x) = x + d, x R1, d − фіксоване дійсне число, називається зсувом.

При зсуві	будь-який інтервал переходить в інтервал тієї ж довжини.
Дійсно, якщо x	задовольняє нерівність a < x <b , то a + d < x + d <b + d .

Отже образом інтервала (a; b) буде інтервал (a + d; b + d) тієї ж довжини.

Аналогічно доводиться, що будь-який півінтервал або сегмент перетворюється у півінтервал або сегмент тієї ж довжини. Зсув є взаємно однозначним перетворенням, тому елементарні множини переходять в елементарні тієї ж міри. Отже при зсуві зовнішня міра множин не змінюється, вимірні за Лебегом множини переходять у вимірні тієї ж міри.

Приклад невимірної обмеженої множини.

Два числа x,y будемо називати еквівалентними, якщо їх різниця									x − y
є раціональне число. Через K(x) позначимо множину усіх									чисел
еквівалентних	числу x . Очевидно, що якщо числа x,y еквівалентні,									то
K(x) = K(y).	Різні	класи не мають спільних елементів.						Дійсно,	якщо
z K(x) K(y), то		z = x + r1 = y + r2 , а тоді x − y = r2 − r1 . Отже числа x,y
еквівалентні і	K(x) = K(y). Розглянемо				множину	K	усіх	різних	класів.
Оскільки множина K − незчисленнна, то використовуючи теорему Цорна, із
кожного класу виберемо по точці			x [−0,5; 0,5] і множину вибраних						точок
позначимо через A.
Нехай	усі	раціональні	числа		сегмента	[−1;1]		записані		у
послідовність:	{0,x1,x2 ,...,xn ,,,}. Позначимо через					Ak	зсув множини A на
число xk , тобто Ak = A + xk ={x + xk :x A}, зокрема A0 = A . Тоді
				∞
		[−0,5; 0,5]		Ak .				(3.4.20)
				k=0
Дійсно,	нехай	x [−0,5; 0,5].		Число x попаде			в клас	A(x).	Нехай
представником цього класу у множині					A буде число		x0 [−0,5; 0,5]. Тоді

різниця x − x0 [−1;1] і є число раціональне, тобто x − x0 = xk . Отже число x


є зсув числа x0 A на величину xk , тобто x Ak .
Важливо,		що множини Ak і Aj	не мають спільних елементів, якщо
k ≠ j . Дійсно,	нехай z Ak Aj . Тоді z = xk + rk			= x j + rj , де xk ,x j	належать
множини A і,	внаслідок означення класу A, є представниками різних класів
K(xk )і K(x j ).		Але із зображення	числа	z випливає, що	різниця

xk − x j	= rj − rk		є раціональне число. Отже числа xk ,x j не можуть належати
різним	класам			K(xk ) і			K(x j ).	Одержана		суперечність	спростовує
припущення, що множини Ak							і Aj мають спільні елементи.
Нехай		µ (A) = M , µ				(A) = m .		Оскільки A −зсув множини A, то
										k
µ (A ) = M ,		µ		(A ) = m . На підставі співвідношення (3.4.20)							і властивості
k				k
зовнішньої міри маємо								∞	∞
								∞	∞
				1 = µ[−0,5; 0,5] ≤ ∑					µ (Ak ) = ∑M .
Отже,								k=0	k=0
Отже,					(A) = µ (A ) = M > 0 .
				µ	(A) = µ (A ) = M > 0 .						(3.4.21)
								k
Оскільки A [−0,5; 0,5], а xk [−1;1], то кожна множина Ak [−1,5;1,5]
і отже	∞		[−1,5;1,5] .		Тоді на			підставі властивості внутрішньої міри
і отже	Ak		[−1,5;1,5] .		Тоді на			підставі властивості внутрішньої міри
	k=0
дістаємо									∞	∞
							∞		∞	∞
		3 = µ[−1,5;1,5]			≥ µ ( Ak )				≥ ∑µ (Ak ) = ∑µ (A).
Звідки випливає, що							k=0		k=0	k=0
Звідки випливає, що
				µ (A) = µ (Ak ) = m = 0 .							(3.4.22)
Із (3.4.21) − (3.4.22) випливає невимірність множини A.

Зауваження 1. Якщо у приведеної побудові невимірної множини замість сегмента [−0,5; 0,5] взяти довільну вимірну за Лебегом множину B ,

додатної міри, то тиж самі міркування позволили би одержати невимірну множину A B .

3.6. Поняття півкільця, кільця, σ-алгебри

Означення 3.6.1. Система множин називається півкільцем, якщо

вона містить порожню множину, перетин будь яких множин з		, а також,
якщо A,A1 , A A1 , то знайдуться попарно неперетинні множини
A2 ,A3 ,...,An такі, що	n
	n
A \ A1	= Ak .	(3.6.1)
	k=2

Означення 3.6.2. Непорожня система множин називається кільцем, якщо вона разом з будь-якими множинами A,B містить їх об’єднання, перетин і різницю.

Будь-яке кільце є півкільцем. Дійсно, так як − не порожня множина, то існує A , отже = A \ A , і очевидно виконується умова (3.6.1): достатньо взяти A2 = A \ A1 .

Множина I системи множин називається одиницею системи , якщо до будь-якої множини A з цієї системи A I = A

Приклади.

1.Нехай A −довільна множина, система множин { ,A} є кільце.

2.Нехай A −довільна множина, система усіх підмножин множини A є

кільце.

3.У прикладах 1,2 множина A є одиницею кільця.

4.Множина усіх відрізків I R1 є півкільце. Дійсно порожня множина

є інтервал (a;a), перетин двох відрізків є відрізок і різниця двох відрізків

єабо відрізок або сума двох відрізків. Проте множина усіх відрізків не буде кільцем тому, що сума двох неперетинних відрізків не є відрізком.

5.Множина усіх елементарних множин із R1 буде кільце. Це випливає

звластивостей 1 – 4 елементарних множин. Одиниці немає, оскільки немає елементарної множини, що містить усі інші елементарні множини.

6.Множина усіх елементарних множин, що містяться у деякому

сегменті [a;b] , є кільце. Сегмент [a;b] є одиниця кільця.

7. Множина усіх вимірних за Лебегом множин із R1 буде кільце. Це випливає з властивостей 1 – 4 вимірних множин. Одиниця кільця є множина

R1 .

8. Множина усіх обмежених і вимірних за Лебегом множин із R1 буде кільце без одиниці тому, що R1 −необмежена множина.

Означення 3.6.3. Кільце називається σ-кольцом, якщо разом з

послідовністю A1,A2 ,...,An ,... містить їх об’єднання			∞
послідовністю A1,A2 ,...,An ,... містить їх об’єднання			An .
			n=1
Означення 3.6.4.		Σ-кольцо з одиницею називається σ-алгеброю.
Теорема 3.6.1.	Σ-алгебра разом з послідовністю A1,A2 ,...,An ,...
містить їх перетин	∞	An .
містить їх перетин		An .
	n=1

Доведення. Нехай I −одиниця σ-алгебри і A1,A2 ,...,An ,...− довільна послідовність множин із . Внаслідок співвідношень двоїстості

∞∞

СI An = СI An . Оскільки є σ-алгеброю, то права частина належить ,

n=1 n=1

∞

отже і An належить .

n=1

Завдяки цієї теореми σ-алгебру ще називають δ-алгеброю.

Зауваження 2. Внаслідок означення 3.5.4 і завдяки властивості 8 вимірних множин, множина усіх вимірних за Лебегом множин, що містяться

у деякому інтервалі (α;β), буде σ-алгеброю, одиниця якої є інтервал (α;β).

Означення 3.6.5. Нехай довільна система множин. Мінімальною (або найменшою) σ-алгеброю, що містить систему множин , називається перетин усіх σ-алгебр, що містять систему множин .

Мінімальна σ-алгебра існує. Нехай X = A і (X)− σ-алгебра усіх

підмножин множини X. Перетин усіх σ-алгебр, що містяться у (X) і містять систему множин , і буде мінімальною σ-алгеброю.

Означення 3.6.6. Мінімальна σ-алгеброю, що містить систему усіх інтервалів, називається борельовою, а множини, що належать борельовою σ- алгебри, називається борельовами множинами.

Означення 3.6.7. Борельовами множинами відносно множини A називається перетин B A, де B −довільна множина.

Зауваження 3. Із зауваження 1 і означення відносно борельових множин випливає, що σ-алгебра борельових відносно деякому інтервала (α;β), буде частиною σ-алгебри усіх вимірних за Лебегом множин, що

містяться у інтервалі (α;β).

Зауваження 4. Так як σ-алгебра усіх вимірних за Лебегом множин містить усі інтервали, то із означення σ-алгебри борельових множин, як мінімальної σ-алгебри, що містить усі інтервали, випливає, що кожна борельова множина вимірна за Лебегом. Більш того потужність множини усіх борельових множин є континуум, а потужність множини усіх вимірних за Лебегом множин більша за континуум.

3.7. Поняття вимірної множини в Rn


Означення 3.7.1.	Паралелепіпедом P в просторі Rn будемо називати
множину точок x = (x1,x2 ,...,xn ), координати яких задовольняють умови:
ak ¥ xk Ŧ bk ,k =1,2,...,n ,		де символи¥, Ŧ незалежно один			від	одного
приймають значення < або		≤, і ak ≤bk .
Зокрема умови	ak ≤ xk ≤bk ,		k =1,2,...,n ,	визначають		звичайний
паралелепіпед, а умови	ak < xk <bk , k =1,2,...,n , − відкритий паралелепіпед.
Очевидно, що	перетин паралелепіпедів є паралелепіпед, умова
a < xk < a, k =1,2,...,n ,	визначає		порожню	множину,	різницю двох

паралелепіпедів можливо зобразити як об’єднання скінченної множини неперетинних паралелепіпедів, отже множина усіх паралелепіпедів є півкільце.

Означення 3.7.2. Елементарними множинами в Rn будемо називати будь-ялі скінченні об’єднання попарно неперетинних паралелепіпедів. Зокрема, будь-який паралелепіпед – елементарна множина.

Отже будь-яка елементарна множина E має вигляд E = Pk , де m

k=1

може бути довільним натуральним числом і паралелепіпеди Pk попарно не перетинаються.

Означення 3.7.3. Мірою будь якого паралелепіпеду P називається його об’єм. Позначається міра символом m(P).

Тобто незалежно від того, чи буде паралелепіпеду P замкнутим, або

відкритим, або не містить деякі свої грані m(P) =∏(bk − ak ). Зокрема, міра

k=1

паралелепіпеду меншої вимірності і міра порожньої множини дорівнює нулю.

Означення 3.7.4. Мірою будь якої елементарної множини E = Pk

k=1

називається сума об’ємів паралелепіпедів Pk , тобто m(E) = ∑m(Pk ).

k=1

Властивості міри елементарних множин такі, як і в одномірному випадку. Тому і продовження міри за Лебегом здійснюється аналогічно.

В загалі, якщо визначена міра на деякому півкільці , розглядається

кільце усіх скінченних об’єднаннь Em , де Em і продовжується міра

k=1

спочатку на кільце , а потім і на більш широке кільце вимірних множин.

Узагальнення поняття вимірності в R1

Нехай f (t) −деяка неспадаюча неперервна зліва функція, що задана на сегменті [a;b] . Покладемо m(a;β) = f (β) − f (α + 0), m[a;β) = f (β) − f (α),

m(a;β] = f (β + 0) − f (α + 0),	m[a;β] = f (β + 0) − f (α). Маючи міру на будь-
якому відрізку, визначимо	спочатку міру до будь-якої елементарної

множини E [a;b], а потім користуючись її адитивністю продовжимо за

Лебегом на більш широку σ-алгебру вимірних множин. Цю міру називають мірою Лебега-Стільтьєса і позначають символом µf (A). У випадку, коли

f (t) =t , вона збігається з мірою Лебега. Можливі наступні три випадки.

1. Дискретна міра. В цьому випадку функція f (t) −кусково-стала.

Тобто існує скінченна множина точок xk [a;b],		k =1,2,...,m, таких,		що
f (t) = сk , t (xk ,xk+1 ], k =1,2,...,m −1.	Міра µf (I)	будь-якого	відрізку
I [a;b] дорівнює ∑ck . Можливо	розглянути функцію f (t),		що	має
k:xk I

зчисленну множину точок розриву.

2. Абсолютно неперервна міра. Вона визначається функцією f (t) такою, що µf (A) = 0, якщо міра Лебега множини A дорівнює нулю. Ця міра

визначається так званими абсолютно неперервними функціями, які будемо розглядати пізніше.

3. Сингулярна міра. В цьому випадку міра будь-якої скінченної множини дорівнює нулю, проте існує множина A0 така, що міра Лебега

множини A0 дорівнює нулю а µf (C[a;b] A0 ) = 0 .

Приведемо приклад такої міри. Розглянемо інтервали Ik [0;1], що є складовими інтервалами канторової відкритої множини G0 . Відомо, що

= (0,β1β2 ...βk 0(2); 0,β1β2 ...βk 2(0)),

де β1β2 ...βk

= 0 2 , k = 0,1,... .

Будь-

яка точка x канторової замкнутої множини F0

має вигляд x = 0,β1β2 ...βk ...[3] ,

де β1,β2 ,...,βk = 0 2 . Значок [3]

означає,

що x подано у трійковий системи

числення. Для будь-якого

x F

визначимо

(x) = 0,β1 β2 ...βk ...[2] ,

де

2 k

значок [2] означає, що

цій дріб подано у двійковий системи числення.

лівому кінці інтервалуIk функція f0 (x)приймає значення:

0,β1 β2 ...

βk 0(1)[2] ,

β1 β2

...βk

а у правому

теж саме значення:

1(0)[2] . Визначимо функцію

f0 (x) на кожному інтервалі Ik

рівною

спільному значенню її на кінцях

інтервалу. Властивості функції

f0 (x).

1. f0 (0) = 0, f0 (1) =1.

Функція

f0 (x)

не

спадає на

сегменті [0;1]. Дійсно,

якщо

< x

x ,x

F ,

то

= 0,β

...β

−1

0β

j+1

...[3],

x = 0,β

...β

j−1

2β'

...[3],

де

j −довільне натуральне число. Отже,

f0 (x1 )< f0 (x2 ).

3. Функція f0 (x)

неперервна на сегменті [0;1]. Припустимо, що це так.

Тоді знайдеться точка

x0 [0;1] така,

що

f0 (x0 )< f0 (x0 + 0). Тоді,

внаслідок

того, що функція

f0 (x)

не спадає,

будь-яке число y0 ( f0 (x0 ); f0 (x0 + 0))

функція f0 (x)не приймає.

Запишемо

його у

двійковий

системі

числення:

y0 = 0,α1α2 ...α j ...[2] . Тоді

функція

f0 (x)

точці x1 = 0,β1β2 ...βj ...[3],

де

βj = 2α j , j N,	приймає значення		y0 . Одержана суперечність спростовує
припущення.
Покажемо, що функція f0 (x)			породжує сингулярну міру. Перш за все,
в силу неперервності у кожній точки a [0;1] ,				µf0 [a;a] = 0 . Отже, завдяки
адитивності міри µf0 ,		міра будь-якої скінченної або зчисленної множини
дорівнює нулю.	Очевидно також, що µf0 [0;1] =1, а µf0 (G0 ) = ∑µf0 (Ik )= 0
тому, що µf0 (Ik ) = 0 ,		бо функція	f0 (x) на кінцях кожного інтервалу Ik
приймає рівні значення. Нагадаємо, що звичайна міра Лебега µ(G0 ) =1.
Функція	f0 (x)	називається	канторової	сингулярною функцією.

Пізніше цю функцію будемо розглядати у зв’язку з іншими задачами.

Зауважимо, що в загальному випадку міра може визначатися як сума розглянутих мір.

	3.8 Загальне поняття міри
Нехай	(X)− деяка σ-алгебра підмножин множини X. Дійсна функція
µ множини	називається мірою, якщо вона визначена на (X), приймає

невід’ємні значення і σ-адитивна, тобто

1.µ(A) R1, A (X).

2.µ(A)≥ 0.

3. µ( Ak ) = ∑µ(Ak ) до будь-якої скінченної або зчисленної системи
k	k

множин Ak (X).

Пара (X, (X)) називається вимірним простором, а трійка (X, (X),µ), де міра µ визначена на σ-алгебрі (X), називається простором з мірою. Зокрема, якщо міра µ нормована умовою µ(X ) =1, то трійка ( X, (X),µ)

називається ймовірнісним простором, а елементи σ-алгебри (X) − подіями.

ГЛАВА IY

ВИМІРНІ ЗА ЛЕБЕГОМ ФУНКЦІЇ

4.1.Означення вимірної функції.

Означення 4.1.1 Функцією f заданою на множені A називається

правило або закон по якому кожному елементу x A поставлено у відповідність число f (x).

Це відоме означення функції. Доповнимо його – будемо надалі вважати, що функція може приймати і нескінченні значення + ∞ і − ∞. Це

можливо мотивувати наступним прикладом.			Нехай частинні суми	Sn (x)
∞
функціонального ряду ∑ fk (x)	в точці x0	прямують до + ∞, якщо n → +∞.
k=1			x0 дорівнює + ∞,	тобто
Логічно визначити, що сума цього ряду в точці			x0 дорівнює + ∞,	тобто
S(x0 ) = +∞.

При цьому правила дії над цими «невласними» числами і звичайними числами визначаються так, щоб операція суми і добутку були комутативні і асоціативні. При цьому сума і різниця нескінченнності і звичайного числа дорівнює нескінченності того же знаку, добуток нескінченності на число, що не дорівнює нулю, а також добуток нескінченності на не скінченність, дорівнює нескінченності, знак якої визначається як і до добутку чисел, добуток нескінченності на нуль є нуль. Частка довільного числа і нескінченності є нуль. Сума нескінченностей одного знаку дорівнює нескінченності того же знаку. Різниця нескінченностей різних знаків є нескінченність зі знаком зменшуваного.

Не мають сенсу сума нескінченностей різних знаків, різниця нескінченностей одного знаку, частка нескінченностей.

Надалі вважаємо, що функція f (x) задана на вимірній множині A, що належить деякій σ-алгебри вимірних множин, можливо, ради простоти

можливо уважати, що A вимірна за Лебегом обмежена підмножина R1 . При цьому будемо уважати, що якщо на σ-алгебри введена міра, то вона задовольняє наступну вимогу: будь-яка підмножина A' множини A , міра якої дрівнює нулю, є вимірною і міра її теж нуль. Множини вимірні за Лебегом задовольняють цю вимогу.

Введемо позначення: A( f < c) ={x A: f (x)< c}, де c −довільне дійсне

число. Аналогічно визначаються множини		A( f ≤ c) ={x A: f (x)≤ c},
A( f > c) ={x A: f (x) > c} і	A( f ≥ c) ={x A: f (x)≥ c}.
Означення 4.1.2. Функція f ,	що	задана на вимірній множені A

називається вимірною, якщо для будь-якого c вимірна множина A( f < c).

Теорема 4.1.1 (Критерій вимірності). Для того щоб функція f була

вимірною необхідно і достатньо щоб для будь-якого c вимірними були множини A( f ≤ c), A( f > c), A( f ≥ c).

Доведення. Нехай функція f вимірна. Зобразимо множину A( f ≤ c) у вигляді

∞

A( f ≤ c) = A( f < c +1/ k) .

k=1

Дійсно,	якщо f (x)≤ c ,		то для будь-якого k N : f (x)< c +1/ k і слід
елемент x належить провій частині. Навпаки,					якщо елемент x		належить
провій частині,		то f (x)< c +1/ k . Спрямувавши k			в + ∞, одержимо		f (x)≤ c ,
слід елемент	x	належить лівій частині. Оскільки множини				A( f < c +1/ k)
вимірні, то і множина A( f ≤ c)− вимірна.
Вимірність множин A( f > c),				A( f ≥ c) випливає із рівностей:
A( f > c) =СA A( f ≤ c),				A( f ≥ c) =CA A( f < c).
Нехай для будь-якого c вимірна множина A( f ≤ c). Множину A( f < c)
можливо зобразити у вигляді
			∞
		A( f < c) = A( f ≤ c −1/ k).
			k=1
Дійсно,	якщо f (x)< c ,		то знайдеться натуральне число m таке, що
f (x)< c −1/ m	і слід елемент		x належить провій частині.			Навпаки, якщо
елемент x належить провій частині,				то знайдеться натуральне число m таке,

що f (x)≤ c −1/ m . А тоді f (x)< c і отже елемент x належить лівій частині. Оскільки множини A( f ≤ c −1/ k) вимірні, то і множина A( f < c)− вимірна.

Нехай для будь-якого c вимірна множина A( f ≥ c). Тоді вимірне доповнення до множини A, тобто вимірна множина A( f < c). Якщо вимірна для будь-якого c множина A( f > c), то вимірне доповнення цієї множини до множини A, тобто вимірна множина A( f ≤ c).

Теорема доведена.
	4.2.1 Приклади вимірних функцій
1. Функція	f (x) = K, x A − вимірна.
	, c ≤ K,
Дійсно A(K < c) =
	A, c > K.
2. Функція	f (x), x A називається простою, якщо множину A

можливо зобразити у вигляді об’єднання скінченної або зчисленної множини вимірних попарно неперетинних множин Ak таких, що f (x) = ak , x Ak .

Будь-яка проста функція f (x) −вимірна.			Це випливає із вимірності
функції	f (x) на кожній множині Ak і з рівності		A( f < c) = Ak ( f < c).
			k
3.	Функція f (x), що	визначена і неперервна на сегменті [a; b] , є
вимірною. В даному прикладі		A =[a; b].


Покажемо, що множина				A( f ≤ c) замкнена для будь-якого c .				Нехай
x0 [a; b] −гранична		точка	множини		A( f ≤ c). Тоді існує послідовність
xk A( f ≤ c)	така,	що	xk	→ x0 , коли		n →∞. Спрямувавши		n до
нескінченності,	з нерівності			f (xk )≤ c		і	неперервності функції	f (x),
одержимо f (x0 )≤ с.		Отже множина			A( f ≤ c)		замкнена і тому є вимірною.
Завдяки критерію вимірності функція					f (x)є вимірною.

4.3.1.Загальні властивості вимірних функцій

1.Будьяка функція, що визначена на множині A міри нуль, вимірна.

Дійсно, в цьому випадку

множина

A( f < c) для

будь-якого c

підмножиною множини A міри нуль, отже і сама є множиною міри нуль.

Якщо

функція

f (x)вимірна

на

множині

то

функція

| f (x)| −вимірна.

Для будь-якого c розглянемо множину A(|

c ≤ 0,

f |< c) =

− c < f (x)< c, c > 0.

Оскільки множина розв’язків

нерівностей

− c < f (x)< c збігається

перетином A( f < c) A( f > −c) і отже вимірна,

тому | f (x)| −вимірна.

Зауваження. Якщо функція | f (x)| −вимірна на множині A, то функція

f (x) може бути невимірною на множині A, якщо µ(A) > 0 .

Дійсно, якщо µ(A) > 0 , то існує невимірна підмножина A'

множини A.

−1,

x A',

Розглянемо функцію f (x) =

(A \ A').

1, x

Очевидно, що

| f (x)|=1,

отже |

f (x)| −вимірна. Проте A( f <1) = A' , отже

f (x) невимірна.

Якщо

функція

f (x)

вимірна

на

множині

то

функція

f 2 (x) −вимірна.

A( f 2

c ≤ 0,

Для будь-якого c множина

< c) =

с <

f (x)< с, c > 0.

−

Множина розв’язків нерівностей

−

< f (x)<

збігається

з перетином

A( f <

) A( f > −

) і отже вимірна, тому функція f 2 (x) − вимірна.

4. Нехай множина A є об’єднання скінченної або зчисленної множини

вимірних множин		Ak	, на яких функція f (x) вимірна. Тоді функція f (x)
вимірна на множині A. Ця властивість випливає з наступної рівності.
			A( f < c) = Ak ( f < c).
				k
5. Якщо функції			f (x) і g(x) вимірні на множині A,		то множина
A( f < g) − вимірна.
Доведення.		Нехай		Q ={r1,r2 ,...,rk ,...}−множина усіх	раціональних
чисел. Доведемо рівність
				∞
		A( f < g) = A( f < rk < g).
				k=1
Нехай x A( f < g), тобто f (x)< g(x). Існує раціональне число rk0 таке,
що f (x)< rk0	< g(x), отже елемент x належить доданку правої частини з
номером k0 .	Якщо елемент x належить деякому доданку правої частини з
номером m0 , то виконуються нерівності f (x)< rm < g(x), отже					x A( f < g).
				0
Оскільки кожна множина				A( f < rk < g) = A( f < rk ) A(g > rk )	вимірна, то

об’єднання цих множин вимірне, отже множина A( f < g) − вимірна.

4.4.1. Властивості вимірних функцій пов’язані з алгебраїчними операциями

6. Якщо функція		f (x) вимірна на множині	A, то д	ля	будь-якої
константи λ функція f (x) + λ −вимірна.
Властивість випливає з рівності A( f + λ < c) = A( f < c − λ).
7. Якщо функція		f (x) вимірна на множині	A, то д	ля	будь-якої
константи λ функція λf (x) −вимірна.
Якщо λ=0,	λf (x) = 0, x A і отже λf (x) −вимірна. Нехай λ ≠ 0 . В
цьому випадку вимірність добутку випливає з рівності:
	A(λf	A( f < c / λ), λ > 0,
	A(λf	< c) =
		A( f > c / λ), λ < 0.
8. Якщо функції f (x) і g(x) вимірні на множині A, то сума і різниця
цих функцій вимірні.
Вимірність суми	f (x)± g(x) випливає з властивостей 4−6 і рівності
	A( f ± g < c) = A( f < c g).

9. Якщо функції	f (x) і g(x)	вимірні на множині			A,	то добуток
f (x)g(x) − вимірна функція.
Ця властивість випливає з властивостей 2, 6, 7 і рівності
f (x)g(x) =	( f (x) + g(x))2	− f 2 (x) − g 2 (x)		.
f (x)g(x) =		2		.
		2
10. Якщо функції	f (x) вимірна на множині A і f (x) ≠ 0 на множені A,
то функція 1/ f (x)− вимірна.
Властивість випливає з рівності
A( f < 0),			якщо c = 0,
			якщо c > 0,
A(1/ f < c) = A( f < 0) A( f >1/ c),			якщо c > 0,
	>1/ c) A( f <	0),	якщо c < 0.
A( f	>1/ c) A( f <	0),	якщо c < 0.
11. Якщо функції	f (x) і g(x)	вимірні на множині			A і	f (x) ≠ 0 на

множені A, то частка g(x)/ f (x)− вимірна функція. Випливає з властивостей 10 і 9.

4.5.1. Граничний перехід у класі вимірних функцій

Теорема 4.1.2 Границя f (x)		послідовності вимірних функцій fk (x), що
збігається у кожній точки множина A,− вимірна.
Доведення. Для будь-яких		натуральних чисел	m , k	і довільного
числа c	розглянемо вимірну множину A( fk < c −1/ m).			Теорема буде
доведена, якщо одержимо рівність
	∞
	A( f < c) = A( fk < c −1/ m).
	m,n k=n
Нехай елемент x A( f < c), тобто f (x)< c . Знайдемо натуральне число
m0 таке,	що f (x)< c −1/ m0 , а потім, використовуючи властивості границі,
знайдемо таке натуральне число n0 , починаючи з якого			fk (x)< c −1/ m0 . Тоді
елемент	∞
елемент	x A( fk < c −1/ m0 ) і отже належить правої частини. Навпаки,
	k=n0

∞	A( fk < c −1/ m), то знайдуться натуральні числа m0	і
якщо елемент x	A( fk < c −1/ m), то знайдуться натуральні числа m0	і
m,n k=n

	∞
n0	такі, що x	A( fk < c −1/ m0 ), тобто fk (x)< c −1/ m0	до усіх k ≥ n0 .
	k=n0

Переходячи в останній нерівності до границі, коли k →∞, дістанемо

f(x)≤ c −1/ m0

іотже f (x)< c . Рівність множин установлена і теорема доведена.

Означення 4.1.3. Деяка обставина (твердження, властивість, умова) має місце майже скрізь на множині A, якщо вона має місце для усіх елементів множини A, окрім елементів підмножини A' A, міра якої дорівнює нулю.

Означення 4.1.4. Функції f (x) і g(x), задані і вимірні на множині A, називаються еквівалентними, якщо вони майже скрізь збігаються на множені

A, тобто

µA( f ≠ g) = 0 .

Еквівалентність функцій

f (x)

g(x) будемо

позначати символом

f g .

Означення 4.1.5.

Функція

f (x)

називається майже скрізь скінченною,

якщо µA(| f |= +∞) = 0 .

Означення

4.1.6.

Послідовність

вимірних

на

множині

A функцій

fk (x) збігається майже скрізь до функції f (x),

якщо вона збігається у всіх

точках множини A, крім точок підмножини A' A, міра якої дорівнює нулю.

Теорема 4.1.3 (Узагальнення теореми 4.1.2)

Якщо послідовність

майже скрізь скінченних вимірних функцій fk (x)

збігається майже скрізь на

множині A до майже скрізь скінченної функції f (x), то f (x)

− вимірна.

Доведення.

Нехай B −підмножина тих

елементів

множини A, де

функції

fk (x)

і f (x)

приймають нескінченні

значення

послідовність

функцій

fk (x) не збігається до f (x).

За умовою теореми підмножина B має

міру нудь, отже на підставі властивості 1, f (x)

вимірна на

B . У кожній

точки вимірній множині A \ B послідовність скінченних вимірних функцій

fk (x) збігається

до скінченної функції f (x), отже

f (x)

є вимірною і на

множені A \ B . Завдяки властивості 4 функція f (x)

вимірна на A.

Означення

4.1.7.

Послідовність

вимірних

на

множині

A функцій

fk (x) збігається за мірою до функції

f (x), якщо для будь-якого σ > 0 міра

множини

A(|

fn − f |≥σ) прямує до нуля, коли n → +∞.

При цьому у

множину

A(| fn − f |≥σ) включаються і ті елементи,

у яких

fk (x) і f (x)

приймають нескінченні значення.

Теорема 4.1.4 (Теорема Лебега).

Якщо послідовність майже скрізь

скінченних вимірних функцій fk (x) збігається майже скрізь на множині A

до майже скрізь скінченної функції f (x), то					fk (x) збігається на множині A
до f (x)	за мірою.
Доведення. Нехай B −підмножина тих						елементів			множини A, де
функції	fk (x)	і f (x) приймають		нескінченні			значення		і послідовність
функцій	fk (x) не збігається до f (x).			За умовою теореми підмножина B має
міру нудь. Визначимо наступні множини
			∞				∞
		Rn (σ) = A(\| fk		− f \|≥σ)	і	R = Rn (σ).
			k=n				n=1
Множин	Rn (σ)	вимірні,	Rn (σ) Rn+1 (σ). Тому,				на підставі властивості 12
вимірних множин, µ(R)			= lim µRn (σ). Покажемо,				що R B . Нехай елемент
			n→∞
x B . Тоді в точці x послідовність fk (x) збігається до								f (x), отже для будь-
якого σ > 0 знайдеться число n0 таке, що для усіх n ≥ n0								має місце нерівність
			\| fk (x) − f (x)\|<σ .
Отже елемент		x не належить множині Rn			(σ),		і тим паче перетину R .
				0

Оскільки µ(B) = 0 , то і µ(R) = 0 . Тому µRn (σ)→0 , коли n →∞, але першим доданком об’єднання, що визначає Rn (σ), є множина A(| fn − f |≥σ), отже µA(| fn − f |≥σ)→0 , коли n → +∞.

Теорема доведена.
Теорема 4.1.5 Існують		послідовності		вимірних функцій fk (x), що
збігається за мірою до f (x),		але не збігається ні в одній точки до жодної
функції.
Доведення. До кожного натурального n розіб’ємо півінтервал (0;1] на
n неперетинних півінтервалів		((i −1)/ n; i / n],		i =1,2,...,n і визначимо групу
з n функцій:
fni (x) =		1,	x ((i −1)/ n; i / n],
			x ((i −1)/ n; i / n].
		0,
Функції fni (x) −прості і	тому		вимірні на	півінтервалі (0;1] . Запишемо
функції в рядок f11, f21,	f22 ,..., fn1, fn2 ,..., fnn ,...			так, щоб функції з більшим

верхнім індексом (з однієї групи) слідували за функцією з меншим індексом.

Цю послідовність позначимо символом fm (x). Очевидно, що	fm (x) = fni (x),
де m = n(n −1)/ 2 + i, i =1,2,...,n. Послідовність функцій fm (x)	збігається за
мірою до f (x) = 0, x (0;1] . Дійсно, для будь-якого 0 <σ ≤1

µ(| fm − 0 |≥σ) = 1n →0 .

Нехай x довільна точка з півінтервалу (0;1] . До кожного натурального n

знайдеться індекс ix {1,2,...,n} такий, що x ((ix −1)/ n; ix / n]. Тоді fnix (x) =1, а всі інші функції з цієї групи в точці x приймають значення нуль. Тому

послідовність функцій fm (x) не збігається ні в одній точці з півінтервалу

(0;1] .

Теорема 4.1.6 (Теорема Рісса). Якщо послідовність вимірних функцій fk (x) збігається за мірою на множині A до f (x), то із неї можливо

вилучити підпослідовність fkn (x), що збігається майже скрізь на множині A до f (x).

Доведення. Нехай монотонна послідовність невід’ємних чисел σn прямує до нуля, а послідовність невід’ємних чисел ηn така, що ряд ∑∞n=1ηn збігається. Знайдемо натуральне число k1 таке, що

µA(| fk1 − f |≥σ1 )<η1 .

Це можливо тому, що µA(| fn − f |≥σ1 ) прямує до нуля, коли n →∞. За тією ж причиною знайдеться натуральне число k2 таке, що k1 < k2 і

			µA(\| fk2 − f \|≥σ2 )<η2 .
Припустимо,			що	визначені		числа	k1 < k2 <...< kn−1.			Знайдемо
натуральне число kn таке, що kn−1 < kn						і
			µA(\| fkn − f \|≥σn )<ηn .
Покажемо, що підпослідовність					fkn (x) шукана.			Для цього		визначимо
наступні множини
				∞				∞
			Rm =	A(\| fkn	− f \|≥σn ) і		R = Rm .
				n=m			m=1
Множин	Rm вимірні, Rm Rm+1 . Тому, на підставі властивості 12 вимірних
множин,	µ(R) = lim µ(Rm ). Завдяки вибору послідовності чисел kn
	m→∞
		∞				∞	fkn − f		∞
	µRm = µ		A(\| fkn − f \|≥σn )			≤ ∑µA(\|	fkn − f	\|≥σn )< ∑ηn
	n=m					n=m			n=m
і оскільки ряд ∑∞n=1ηn збігається,					то	lim µ(Rm ) = 0,		отже	µ(R) = 0 . Тепер
						m→∞
доведемо, що у кожній точці множини A \ R послідовність									fkn (x)	збігається

до f (x). Нехай x A \ R , тоді x R і отже знайдеться натуральне число m0

таке, що x Rm , тобто для усіх	n ≥ m0 елемент x A(\| fk	n	− f \|≥σn ). Отже
0		n
\| fkn (x) − f (x)\|<σn для усіх n ≥ m0 .
Оскільки σn прямує до нуля, то	fkn (x) збігається до f (x).
Теорема доведена.

Теорема 4.1.7 (Теорема Єгорова). Якщо послідовність майже скрізь скінченних вимірних функцій fk (x) збігається майже скрізь на множині A

до майже скрізь скінченної функції f (x), то для будь-якого ∂ > 0 існує вимірна множина Aδ A така, що

1)	µ(Aδ ) > µ(A) −δ .
2)	На множині Aδ	послідовність функцій fk (x) збігається рівномірно
до функції f (x).
Доведення. Нехай		∞	A(\| fk − f \|≥σ). При доведенні теореми
Доведення. Нехай		Rn (σ) =	A(\| fk − f \|≥σ). При доведенні теореми
		k=n

Лебега було установлено, що для будь-якого σ > 0 : µRn (σ)→0 , коли n →∞. Нехай монотонна послідовність невід’ємних чисел σn прямує до нуля, а послідовність невід’ємних чисел ηn така, що ряд ∑∞n=1ηn збігається. Для кожного натурального числа m знайдемо натуральне число nm таке, що

µRnm (σm )<ηm .

Для будь-якого ∂ > 0 знайдемо натуральне число m0 таке, що

∞
∑ηm <δ	і покладемо			Aδ = A \
m=m0
властивості 8 вимірних множин
		∞	Rn		≤
	µ		Rn	(σm )	≤
	m=m0		m
	m=m0

∞	Rn	(σm ).	На підставі наслідку 5 із
	Rn	(σm ).	На підставі наслідку 5 із
	m
m=m0
∞			∞
∑	µRn	(σm )<	∑ηm <δ ,
	m		m=m0
m=m0			m=m0

отже µ(Aδ ) > µ(A) −δ . Візьмемо довільне додатне число ε і знайдемо таке натуральне число p , що p ≥ m0 і σ p <ε . Це можливо тому, що σm →0 , коли

m →∞. Нехай x Aδ	, тоді x	∞	Rn	(σm ) і отже x	Rn		(σ p ). Внаслідок
						p
		m=m0	m

означення множини		∞		− f \|≥σ) для	усіх k ≥ np буде
	Rn (σ) = A(\| fk
	k=n

виконуватися нерівність

| fk (x) − f (x)|<σ p <ε .

Оскільки число np не залежить від x , то на множині Aδ послідовність функцій fk (x) збігається рівномірно до функції f (x).

Теорема доведена.

ГЛАВА Y

Інтеграл Лебега

5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.

Нехай f (x) є простою функцією, визначеною на вимірній множині A,

тобто існує зображення множини A у вигляді об’єднання не більш ніж зчисленної множини попарно неперетинних вимірних множин Ak таких, що

f (x) = ak , якщо x Ak . Таке зображення множини A називається розбиттям.

Означення 5.1.1.	Якщо множин Ak скінченна кількість, то f (x)
називається інтегровною за Лебегом на множені A, а інтеграл Лебега буде
n
сума ∑ak µ(Ak ). Інтеграл позначається символом ∫ f (x)dµ, тобто
k=1	A
∫	n
∫	f (x)dµ = ∑ak µ(Ak ).
A	k=1

Якщо проста функція			f (x) приймає нескінченну множину значень,
то вона	називається інтегровною за Лебегом на множені A, якщо збігається
∞			∞
ряд ∑\|	ak \| µ(Ak ) і в цьому випадку інтеграл Лебега є сума ряду ∑ak µ(Ak ):
k=1			k=1
	∫		∞
	∫	f	(x)dµ = ∑ak µ(Ak ).
	A		k=1
	Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом
1. Функція f (x) =С,		x A інтегровна за Лебегом і ∫Cdµ =Cµ(A).
			A

2.Функція Діріхле, яка визначена на сегменті [0;1] рівністю

0, якщо x раціональне,

ψ(x) = 1, якщо x ірраціональне,

інтегровна за Лебегом на сегменті [0;1] і ∫ψ(x)dµ =1.

Зауваження 5.1.1. Цей приклад показує перевагу інтеграла Лебега в порівнянні з інтегралом Рімана, тому, що, як відомо функція Діріхле не інтегровна за Ріманом.

Властивості інтеграла Лебега від простих функцій

1. Проста функція f (x), що задана на множині A міри нуль, інтегровна за Лебегом і

∫ f (x)dµ = 0 .

Доведення. Нехай f (x) = ak , якщо x Ak , де множини Ak попарно

неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і A = Ak . Так як

µ(A) = 0 , то для будь-якого k : µ(Ak ) = 0 і тоді

∑| ak | µ(Ak ) = 0 .

Отже, функція f (x) інтегровна за Лебегом на множині A і

∞

∫ f (x)dµ = ∑ak µ(Ak ) = 0 .

Ak=1

2.Якщо проста функція f (x) обмежена, тобто | f (x)|≤C, x A , то вона інтегровна за Лебегом і

| ∫ f (x)dµ |≤ ∫| f (x)| dµ ≤Cµ(A).

A A

Доведення. Обмеженість простої функції			f (x) означає, що \| ak \|≤C , де
		∞	∞
ak −значення	функції f (x). Тоді	∑\| ak \| µ(Ak )≤ ∑Сµ(Ak ) =Сµ(A). Отже
функція f (x)		k =1	k =1
функція f (x)	інтегровна за Лебегом і
\| ∫	f (x)dµ \|=\| ∑ak µ(Ak )\|≤∑\| ak \| µ(Ak ) = ∫\| f (x)\| dµ ≤Cµ(A).
A	k	k	A

Зауваження 5.1.2. Ця властивість теж підкреслює перевагу інтеграла Лебега в порівнянні з інтегралом Рімана, тому, що, як відомо є обмежені функції (наприклад, функція Діріхле) які не інтегровні за Ріманом.

3. Нехай f (x) = ak , якщо x Ak , де множини Ak попарно неперетинні,

вимірні, їх не більш ніж зчисленна			кількість,	A = Ak	і	f (x) = d j , якщо
				k
x Dj , де	множини	Dj попарно	неперетинні,	вимірні,	їх	не більш ніж
зчисленна	кількість,	A = Dj . Тоді
		j
		∑\| ak \| µ(Ak ) = ∑\| d j \|µ(Dj )				(5.1.1)
		k	j
і якщо суми в (5.1.1) скінченні, то
		∑ak µ(Ak ) = ∑d j µ(Dj ),				(5.1.2)
		k	j

тобто існування інтеграла і сам інтеграл не залежить від того, як зображена проста функція.

Доведення. Кожну множинуAk і кожну множинуDj можливо зобразити

у вигляді	Ak = (Ak Dj ),		Dj = (Ak Dj ).	Окрім	того,	f (x) = ak = d j ,
	j		k
якщо x Ak Dj . Отже
	∑\| ak \| µ(Ak Dj ) = ∑\| d j \|µ(Ak Dj ).					(5.1.3)
	k,j		k,j
Суму зліва, використовуючи σ−адитивність міри,					можливо зобразити
у вигляді:
∑\| ak \| µ(Ak Dj ) = ∑\| ak \|∑µ(Ak Dj ) = ∑\| ak				\|µ (Ak Dj ) = ∑\| ak \| µ(Ak ).
k,j	k	j	k	j		k
Аналогічно, суму справа в (5.1.3) зобразимо у вигляді:
∑\| d j \| µ(Ak Dj ) = ∑\| d j \|∑µ(Ak Dj ) = ∑\| ak				\|µ (Ak Dj ) = ∑\| d j \| µ(Dj ).
k,j	j	k	j	k		j

З (5.1.3) і	одержаних рівностей випливає (5.1.1). Якщо суми в (5.					1.1)
скінченні, то з аналогічних міркувань випливає рівність (5.1.2) і
	∫ f (x)dµ = ∑ak µ(Ak ) = ∑d j µ(Dj ).
	A	k	j
4. Якщо проста функція f (x)			інтегровна за Лебегом на множині A,
то вона інтегровна за Лебегом на будь-якій вимірній підмножині A' A.
Доведення. Нехай		f (x) = ak ,	якщо x Ak ,	де множини Ak	попарно
неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна				кількість і A = Ak .		Тоді
				k
f (x) = ak , якщо x A' Ak		і A'= (A' Ak ). Так як µ(A' Ak )≤ µ(Ak ), то
		k
	∑\| ak \| µ(A' Ak )≤ ∑\| ak \| µ(Ak )< +∞.
	k		k
Отже f (x) інтегровна за Лебегом на множині A'.
5. Якщо проста функція f (x)			інтегровна за Лебегом на множині A,
то для будь-якого числа λ R1 інтегровна за Лебегом функція λ f (x)					і
	∫λf (x)dµ = λ∫ f (x)dµ.
	A		A
Доведення. Нехай		f (x) = ak ,	якщо x Ak ,	де множини Ak	попарно
неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна				кількість і A = Ak .		Тоді
λf (x) = λak ,	якщо x Ak і			k
λf (x) = λak ,	якщо x Ak і

∑| λak | µ(Ak ) =| λ | ∑| ak | µ(Ak )< +∞.

	k					k
Отже функція λ f (x)		інтегровна за Лебегом на множині A і
∫λf (x)dµ = ∑(λak )µ(Ak ) = λ∑ak µ(Ak ) = λ∫ f (x)dµ .
A			k			k	A
6. Якщо прості функції f (x)				і g(x) інтегровні за Лебегом на множині
A, то сума f (x)+ g(x)			інтегровна за Лебегом і
		∫( f (x) + g(x))dµ = ∫ f (x)dµ + ∫g(x)dµ .
		A				A	A
Доведення. Нехай			f (x) = ak ,		якщо x Ak ,		де множини Ak попарно
неперетинні, вимірні,	їх		не більш		ніж	зчисленна кількість,		A = Ak і
g(x) = d j , якщо x Dj ,		де множини Dj						k
						попарно неперетинні,		вимірні, їх не
більш ніж зчисленна	кількість,			A = Dj . Тоді			f (x)+ g(x) = ak + d j , якщо
					j

x Ak Dj , і

∑| ak + d j | µ(Ak Dj )≤ ∑| ak | µ(Ak Dj ) +

k,j k,j

+ ∑| d j | µ(Ak Dj ) = ∑| ak |µ(Ak ) + ∑| d j |µ(Dj )

k,j		k		j
Отже функція f (x)+ g(x) інтегровна за Лебегом на множині A і
∫( f (x) + g(x))dµ = ∑(ak + d j )µ(Ak Dj ) = ∑ak µ(Ak ) +
A	k,j			k
	+ ∑d j µ(Dj ) =	∫ f (x)dµ +∫g(x)dµ.
	j	A	A
Зауваження 5.1.3. Поняття простої на множині A функції пов’язано з
розбиттям множини	A на не більш ніж зчисленну суму вимірних множин. З
доведення попередньої властивості випливає, що якщо f (x) і g(x)					прості
функції задані на множині A, то можливо уважати, що розбиття множини A
для функцій f (x)	і g(x) одне	і	теж. Цим	зауваженням далі	будемо
користуватись.
7. Якщо для простих інтегровних за Лебегом на множині A функцій
f (x) і g(x) виконується нерівність			f (x)≤ g(x), то
	∫ f (x)dµ ≤ ∫g(x)dµ.
	A	A
Доведення. Нехай A = Ak ,		де множини		Ak попарно неперетинні,
	k			і f (x) = ak , якщо x Ak , а
вимірні, їх не більш ніж зчисленна			кількість,	і f (x) = ak , якщо x Ak , а
g(x) = dk , якщо x Ak . З умови випливає нерівність ak ≤ dk , і тоді
∫ f (x)dµ = ∑ak µ(Ak )≤ ∑dk µ(Ak ) =				∫g(x)dµ .
A	k		k	A

Ця властивість називається монотонністю інтеграла.

8. Якщо для простих на множині A функцій f (x) і g(x) виконується нерівність | f (x)|≤ g(x), і функція g(x) інтегровна за Лебегом на множині A, то функція f (x) інтегровна за Лебегом і

| ∫ f (x)dµ |≤ ∫| f (x)| dµ ≤ ∫g(x)dµ .

A	A	A
Доведення. Нехай	A = Ak , де	множини	Ak попарно неперетинні,
	k		f (x) = ak , якщо x Ak , а
вимірні, їх не більш ніж зчисленна		кількість, і	f (x) = ak , якщо x Ak , а

g(x) = dk , якщо x Ak . З умови випливає нерівність | ak |≤ dk , і

	∑\| ak \| µ(Ak )≤ ∑dk µ(Ak ) =		∫g(x)dµ .
	k	k	A
Отже функція	f (x) інтегровна за Лебегом і
\| ∫ f (x)dµ \|=\| ∑ak µ(Ak )\|≤∑\| ak \| µ(Ak ) = ∫\| f (x)\| dµ≤ ∫g(x)dµ .
A	k	k	A	A
Наслідок 5.1.1. Нехай		f (x) є простою функцією на множині A, Для

того щоб функція f (x)		була інтегровна за Лебегом на множині A, необхідно
і досить, щоб була інтегровна функція \|			f (x)\|.
Дійсно,	якщо	f (x) інтегровна	за Лебегом на множині A, то
інтегровність	функції \| f (x)\| випливає з означення інтегровності простої

функції. Обернено твердження випливає з попередньої властивості – достатньо взяти g(x) =| f (x)|.

Зауваження 5.1.4. Відомо, що якщо функція | f (x)| інтегровна за Ріманом, то функція f (x) може не бути інтегровною за Ріманом. Отже наслідок 5.1 показує перевагу інтеграла Лебега в порівнянні з інтегралом

Рімана.
9. Якщо для простих на множині A функцій	f (x) і g(x) виконується
нерівність \| f (x) − g(x)\|≤ λ , де λ −деяке дійсне	число, і	функція g(x)
інтегровна за Лебегом на множині A, то функція f (x)		інтегровна за

Лебегом.

Доведення. З умови випливає нерівність

|| f (x)| −| g(x)||≤| f (x) − g(x)|≤ λ

і отже нерівність

| f (x)|≤| g(x)| +λ .

Використовуючи останню нерівність, наслідок 5.1, приклад 1, властивості 6 і 8 інтеграла одержимо властивість 9.

10. Адитивність інтеграла Лебега. Нехай проста функція f (x)

інтегровна за Лебегом на множені A і A = Bj −деяке розбиття множини
	j
A на скінченну або зчисленну множину вимірних множин Bj . Тоді
∫ f (x)dµ = ∑ ∫ f (x)dµ		(5.1.4)
A	j Bj

і, якщо справа маємо ряд, то він збігається абсолютно.

	Доведення.	Нехай f (x) = ak ,		якщо x Ak , де множини		Ak попарно
неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна					кількість і A = Ak . Тоді, в
			функція f (x)			k
силу	властивості	6,	функція f (x)	інтегровна	за Лебегом	на	кожній
множеніBj і
∑\| ∫	f (x)dµ \| = ∑\| ∑ak µ(Bj Ak )\|≤∑\| ak \| ∑µ(Bj				Ak ) = ∑\| ak \| µ(Ak )		(5.1.5)
j Bj	j	k	k	j	k
Так як проста функція			f (x) інтегровна за Лебегом на множені A,				то ряд
справа збігається, отже абсолютно збігається ряд ∑ ∫ f (x)dµ .
					j Bj

Рівність (5.1.4) випливає з (5.1.5), якщо в (5.1.5) усюди убрати знак модуля.

11. Нехай A = Bj −деяке розбиття множини A на скінченну або
j
зчисленну множину вимірних множин Bj і проста функція	f (x) інтегровна
за Лебегом на кожній множені Bj . Якщо збігається ряд
∑ ∫\| f (x)\| dµ ,	(5.1.6)
j Bj

то функція f (x) інтегровна за Лебегом на множені A.

Доведення. Нехай f (x) = ak , якщо x Ak , де множини Ak попарно

неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і A = Ak . Тоді

∫\| f (x)\| dµ = ∑\| ak \| µ(Bj Ak )
Bj		k
і, оскільки µ(Ak ) = ∑µ(Bj Ak ), то			використовуючи збіжність ряду (5.1.6)
одержимо	j
одержимо
+ ∞ > ∑ ∫\| f (x)\| dµ = ∑∑\| ak \| µ(Bj Ak ) =
	j Bj	j	k
= ∑\| ak \| ∑µ(Bj Ak ) =∑\| ak \|µ(Ak ).
k		j	k
Отже, функція f (x)	інтегровна за Лебегом на множені A.

Теорема 5.1.1. (Критерій вимірності функції в термінах простих функцій). Для того щоб скінченна на множені A функція f (x)була вимірною

необхідно і достатньо, щоб існувала послідовність простих функцій fn (x), що рівномірно збігається на множені A до функції f (x).

Доведення. Достатність випливає з теореми 4.1.2 про граничний перехід у класі вимірних функцій. Доведемо необхідність. Для будь-якого натурального розглянемо множини

Ank = A(k / n ≤ f (x)< (k +1)/ n), k = 0,±1,...,±m,...

Оскільки функція			f (x)	вимірна,	то		множини Ak	вимірні і здійснюють
							n
розбиття множини			A. Покладемо		f	n	(x) = k / n, якщо	x Ak . Функції	f	n	(x)
						n		n		n
прості.	Оцінимо різницю			f (x) − fn (x). Нехай x A,				тоді знайдеться		ціле
число k	0	таке, що x Ak0 і
	0		n

0 ≤ f (x) − fn (x)< (k0 +1)/ n − k0 / n =1/ n.

Отже, послідовність простих функцій fn (x) рівномірно збігається на множені A до функції f (x).

Теорема доведена.

5.2. Інтеграл Лебега і його властивості у загальному випадку.

Означення 5.2.1. Вимірна на множені A функція f (x) називається інтегровною за Лебегом, якщо існує послідовність простих інтегровних

функцій	fn (x), що рівномірно збігається на множені A до функції								f (x).
Означення		5.2.2.	Якщо функція			f (x)	інтегровна	за Лебегом на
множені A, то
		∫ f (x)dµ = nlim→∞ ∫ fn (x)dµ .
		A			A
Теорема 5.2.1. (Коректність означення інтеграла). Якщо послідовність
простих інтегровних функцій fn (x)					рівномірно збігається на множені A до
функції	f (x), то існує			nlim→∞ ∫ fn (x)dµ.		Ця границя не		залежить від
послідовності.				A
послідовності.
Доведення.		Для	будь-якого		довільного		числа	ε > 0	знайдемо

натуральне число m таке, що для усіх n,k ≥ m виконується нерівність

| fn (x) − fk (x)|<ε, x A .

На підставі властивості 3 інтеграла від простої функції маємо:

| ∫( fn (x) − fk (x))dµ |<εµ(A).

Отже послідовність інтегралів задовольняє умову Коші, тому існує скінченна границя.

Нехай послідовність простих інтегровних функцій fn (x) рівномірно збігається на множені A до функції f (x) і послідовність простих інтегровних функцій gn (x) рівномірно збігається на множені A до функції

f (x). Тоді послідовність	функцій		f1 (x),g1 (x), f2 (x),g2 (x),..., fn (x),gn (x),...
теж рівномірно збігається на множені			A до функції f (x)і в силу доведеного
послідовність інтегралів	∫ f1 (x)dµ,	∫g1 (x)dµ,..., ∫ fn (x)dµ,		∫gn (x)dµ,... має
	A	A	A	A

скінченну границю. На підставі властивості границі числових послідовностей підпослідовності з парними номерами і з непарними номерами мають ту саму границю.

Теорему доведено.

Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку

Довільна скінченна функція

f (x)

на множині

A міри

нуль

інтегровна і

∫ f (x)dµ = 0 .

Доведення. На

підставі

теореми 5.1.1

існує послідовність

простих

функцій

fn (x), що рівномірно збігається на множені A до функції

f (x). Так

як інтеграли від простих функцій fn (x)

по множені A міри нуль рівні нулю,

то, в силу означення 5.2.2 , ∫ f (x)dµ = 0 .

2. Довільна вимірна і обмежена на

множині A функція f (x)

інтегровна і

| ∫ f (x)dµ |≤Cµ(A), якщо |

f (x)|≤C .

Доведення. На

підставі

теореми 5.1.1

існує послідовність

простих

функцій

fn (x), що рівномірно збігається на множені A до функції

f (x),

тобто εn =sup | fn (x) − f (x)|→0 . Із

нерівності

| fn (x)|≤| f (x)| +εn ≤C +εn

x A

fn (x)(тому

f (x)

випливає

інтегровність простих

функцій

функція

інтегровна) і оцінка:

∫

f (x)dµ |= lim |

∫

(x)dµ |≤ lim(C +ε

)µ(A) =Cµ(A).

n→∞

3. Якщо функція

f (x)

інтегровна за Лебегом на множині A, то вона

інтегровна на будь-якій вимірній підмножині A' A.

Доведення. За означенням 5.2.1 існує послідовність простих

інтегровних

функцій

fn (x), що рівномірно

збігається на

множені

A до

функції f (x). Але тоді ця послідовність функцій

fn (x) рівномірно збігається

і на підмножині A' A до функції f (x) і функції fn (x) інтегровні на підмножині A' A. Отже функція f (x) інтегровна за Лебегом на A'.

4. Якщо функція f (x) інтегровна за Лебегом на множині A, то для будь-якого числа λ R1 інтегровна за Лебегом функція λ f (x) і

∫λf (x)dµ = λ∫ f (x)dµ.

A A

Доведення. За означенням 5.2.1 існує послідовність простих інтегровних функцій fn (x), що рівномірно збігається на множені A до

функції f (x). Але тоді послідовність функцій λfn (x) рівномірно збігається і

на множині A до функції f (x). Отже функція				f (x) інтегровна за Лебегом на
множені A і
∫λf (x)dµ = nlim→∞ ∫λfn (x)dµ = nlim→∞λ∫ fn (x)dµ = λ∫ f (x)dµ .
A		A	A	A
5. Якщо функції		f (x) і g(x)	інтегровні за Лебегом на множині A, то
сума f (x)+ g(x) інтегровна за Лебегом і
		∫( f (x) + g(x))dµ = ∫ f (x)dµ + ∫g(x)dµ .
		A	A	A
Доведення. За означенням 5.2.1 існує послідовність простих
інтегровних	функцій	fn (x), що рівномірно		збігається на множені A до
функції f (x)	і існує послідовність простих інтегровних функцій gn (x), що
рівномірно збігається на множені			A до функції g(x). Тоді послідовність

простих інтегровних функцій fn (x) + gn (x) рівномірно збігається на множені A до функції f (x)+ g(x) і

∫( f (x) + g(x))dµ = nlim→∞	∫( fn (x) + gn (x))dµ = ∫ f (x)dµ + ∫g(x)dµ.
A	A		A	A
6. Якщо на множині	A	для вимірної	функції	f (x) і інтегрованої
функції g(x) виконується	нерівність \| f (x)\|≤ g(x),			то функція	f (x)
інтегровна за Лебегом і
\| ∫ f (x)dµ \|≤ ∫\| f (x)\| dµ ≤ ∫g(x)dµ .					(5.2.1)
A		A	A
Доведення. На підставі		теореми 5.1.1	існує послідовність простих
функцій fn (x), що рівномірно збігається на множені				A до функції	f (x),
тобто εn =sup \| fn (x) − f (x)\|→0 . Із нерівності \|			fn (x) − f (x)\|≤εn випливає
x A
\|\| fn (x)\| −\| f (x)\|\|≤εn ,		\| fn (x)\|≤\| f (x)\| +εn .			(5.2.2)

За означенням 5.2.1 існує послідовність простих інтегровних функцій

gn (x), що рівномірно збігається на множені A до			функції	g(x),	тобто
δn =sup \| gn (x) − g(x)\|→0. Із нерівності \| gn (x) − g(x)\|≤δn випливає
x A
		g(x)≤ gn (x) +δn .			(5.2.3)
Із нерівностей (5.2.2) − (5.2.3) і умови \| f (x)\|≤ g(x) одержимо
\| fn (x)\|≤\| f (x)\| +εn ≤ g(x) +εn ≤ ≤ gn (x) +εn +δn .
Отже прості функції	fn (x) інтегровні на множені A і
\| ∫ fn (x)dµ \|≤ ∫\| fn (x)\| dµ ≤ ∫(gn (x) +εn +δn}dµ .
A	A	A
Спрямувавши n →∞, одержимо (5.2.1).
Наслідок 5.2.1 Для того щоб вимірна функція f (x) була інтегровна за
Лебегом на множині	A, необхідно і досить, щоб була інтегровна функція
\| f (x)\|.
Дійсно, якщо функція		f (x)інтегровна за Лебегом на множині			A, то
існує послідовність простих		інтегровних функцій	fn (x), що	рівномірно
збігається на множені	A до функції f (x). Тоді із нерівності (5.8) випливає,

що послідовність простих інтегровних функцій | fn (x)| рівномірно збігається на множені A до функції | f (x)|. Отже | f (x)| інтегровна.

Якщо функція \| f (x)\|	інтегровна на множині A , то для функцій	f (x) і
g(x) =\| f (x)\| виконуються	умови властивості 6. Отже функція	f (x)
інтегровна на множині A.
7. Адитивність інтеграла Лебега. Нехай функція f (x) інтегровна за

Лебегом на множені A і A = Bj −деяке розбиття множини A на скінченну
j
або зчисленну множину вимірних множин Bj . Тоді
∫ f (x)dµ = ∑ ∫ f (x)dµ		(5.2.4)
A	j Bj
і, якщо справа маємо ряд, то він збігається абсолютно.
Доведення. На підставі означення інтегрованості функції		f (x) для
довільного числа ε > 0 знайдеться проста інтегровна функція g(x)		така, що
\| f (x) − g(x)\|<ε, x A. Для функції g(x) виконується рівність (5.2.4) (см.
властивість 10) і ряд в (5.2.4)	збігається абсолютно. Тоді, використовуючи

рівність (5.2.4) для функції g(x) і властивість 2, одержимо

\| ∫ f (x)dµ − ∑ ∫ f (x)dµ \|=\| ∫ f (x)dµ − ∫g(x)dµ + ∑ ∫g(x)dµ − ∑ ∫ f (x)dµ \|≤
A	j Bj	A	A	j Bj	j Bj

≤ ∫\| f (x) − g(x)\| dµ + ∑ ∫\| g(x) − f (x)\| dµ <εµ(A) + ∑εµ(Bj ) = 2εµ(A).
A	j	Bj				j
Завдяки довільності ε > 0 одержимо ∫				f (x)dµ − ∑ ∫ f (x)dµ = 0 . Абсолютна
			A			j Bj
збіжність ряду (5.2.4)	випливає з нерівностей:
∑\| ∫ f (x)dµ \| ≤ ∑\|			∫g(x)dµ \| + ∑		∫\| f (x) − g(x)\| dµ \| ≤
j Bj		j	Bj	j	Bj
	∑\|	∫g(x)dµ \| +εµ(A).
	j	Bj
8. Нехай A = Bj −деяке розбиття						множини	A	на	скінченну або
j
зчисленну множину вимірних множин				Bj		і функція	f (x)		інтегровна	за
Лебегом на кожній множені Bj . Якщо збігається ряд
		∑ ∫\| f (x)\| dµ ,
		j	Bj
то функція f (x) інтегровна за Лебегом на множені A.
Доведення. На	підставі означення					інтегрованості		функції f (x)		на

кожній множені Bj для довільного числа ε > 0 знайдеться проста інтегровна на кожній множені Bj функція g(x) така, що | f (x) − g(x)|<ε, x A. Тоді

∑ ∫\| g(x)\| dµ ≤ ∑ ∫\| f (x)\| dµ + ∑ ∫\| f (x) − g(x)\| dµ ≤ ∑ ∫\| f (x)\| dµ +εµ(A).
j Bj	j Bj	j Bj	j Bj

На підставі властивості 11 інтеграла від простої функції, функція g(x) інтегровна за Лебегом на множені A, тоді і функція f (x) інтегровна за Лебегом на множені A.

9. Абсолютна неперервність інтеграла Лебега. Нехай функція f (x)

інтегровна	за Лебегом на	множені A.		Тоді для	довільного числа ε > 0
знайдеться	δ =δ(ε) таке,	що для довільної вимірної підмножини B A,
міра якої µ(B)<δ , виконується нерівність
		\| ∫ f (x)dµ \|<ε .
		B
Доведення. Розглянемо			спочатку	випадок	обмеженої	функції:
\| f (x)\|≤С.	Візьмемо довільне		ε > 0 і	покладемо	δ =ε / C . На	підставі

властивості 2 для довільної вимірної підмножини B A, міра якої µ(B)<δ , маємо

	\| ∫ f (x)dµ \|≤Cµ(B)<Cδ =C				ε		=ε .
	\| ∫ f (x)dµ \|≤Cµ(B)<Cδ =C				C		=ε .
	B				C
Нехай тепер	f (x) не обмежена.		Визначимо множини					Ak = A(k −1 ≤\| f \|< k),
де k −довільне натуральне число. В силу адитивності інтеграла Лебега
	∫\| f (x)\| dµ			∞
	∫\| f (x)\| dµ			= ∑ ∫\| f (x)\|		dµ .
	A			k=1 A
				k
Знайдемо	натуральне число m таке, що						∞
Знайдемо	натуральне число m таке, що					∑ ∫\| f (x)\| dµ < ε , позначимо
					k=m+1 A			2
m							k
m
через Bm = Ak і покладемо δ =ε / 2m . Тоді \|							f (x)\|< m,	x Bm і на підставі
k=1		m , для довільної вимірної підмножини B A,
властивості 2 і вибору числа		m , для довільної вимірної підмножини B A,
міра якої µ(B)<δ , маємо
\| ∫ f (x)dµ \|≤ ∫\| f (x)\| dµ + ∫							∞
\| ∫ f (x)dµ \|≤ ∫\| f (x)\| dµ + ∫			\| f (x)\| dµ ≤ mµ(e) + ∑ ∫\| f (x)\| dµ <ε .
B	B B	C B		B			k=m+1 A
	m	A m						k
10. Нерівність Чебишева.			Для довільної інтегрованої на множині A
функції f (x)	і довільного числа C > 0 має місце нерівність

µA(| f |≥C)≤ 1 ∫| f (x)| dµ. C A

Доведення. На підставі адитивності інтеграла Лебега маємо

∫| f (x)| dµ = ∫| f (x)| dµ + ∫| f (x)| dµ ≥ ∫| f (x)| dµ ≥Cµ(A).

A A(|f |≥C) A(|f |<C) A(|f |≥C)

Наслідок 5.2.2. (Наслідок з нерівності Чебишева). Якщо для інтегрованої на множині Aфункції f (x) має місце рівність

∫| f (x)| dµ =0,

то f (x)=0 майже скрізь.

Доведення. Застосуємо нерівність Чебишева для константи C =1/ n , де n довільне натуральне число

µA(| f |≥1/ n)≤ n∫| f (x)| dµ = 0

і зобразимо множину A(| f |≠ 0) у вигляді

∞

A(| f |≠ 0) = A(| f |≥1/ n).

n=1

Так як кожна множина A(| f |≥1/ n) має міру нуль, то і міра об’єднання дорівнює нулю.

11. Інтеграли Лебега від еквівалентних функцій. Якщо функції f (x)

і g(x) еквівалентні, то ∫ f (x)dµ = ∫g(x)dµ.

A A

Доведення. Розглянемо різницю інтегралів і використовуємо адитивність інтеграла і рівність нулю інтеграла Лебега по будь-якій множині міри нуль:

∫ f (x)dµ − ∫g(x)dµ = ∫(f (x)− g(x))dµ =

A A A

= ∫(f (x)− g(x))dµ + ∫(f (x)− g(x))dµ =0.

A( f =g) A( f ≠g)

Одержана властивість показує, що якщо у скінченної інтегрованої функції f (x)змінити її значення на множені міри нуль, то вона залишиться

інтегровною і значення інтеграла не зміниться. Це означає, що можливо нехтувати значенням скінченної інтегрованої функції f (x) на множені міри

нуль. Узагальнимо поняття інтегралу Лебега на випадок функцій, які можуть приймати нескінченні значення на множені міри нудь, так щоб остання властивість збереглася.

Означення 5.2.3. Вимірна і майже скрізь скінченна на множині A функція f (x) називається інтегровною за Лебегом, якщо функція f (x)

інтегровна на множені A \ A(| f |= +∞).

Очевидно, що усі властивості інтеграла Лебега для функцій, що приймають скінченні значення, мають місце і для майже скрізь скінченних.

5.3. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега

Теорема 5.3.1 (Теорема Лебега). Нехай послідовність вимірних майже скрізь скінченних на множині A функцій fn (x) збігається за мірою до

майже скрізь скінченної функції f (x) і існує невід’ємна інтегровна за Лебегом функція F(x) така, що майже скрізь на множині A: | fn (x)|≤ F(x). Тоді функція f (x) інтегровна за Лебегом на множині A і

∫ f (x)dµ = nlim→∞	∫ fn (x)dµ .	(5.3.1)
A	A

Доведення. На підставі теореми Рісса існує підпослідовність fnk (x), що збігається майже скрізь на множині A до функції. Тоді функція f (x)

вимірна і оскільки	\| fn (x)\|≤ F(x)	майже скрізь на множині	A, то функція
f (x) на підставі	k
f (x) на підставі	властивості 6	інтегровна за Лебегом на	множині A.

Приступаючи до доведення рівності (5.3.1) зауважимо, що можливо вважати, що міра множини A більша нуля, бо в протилежному випадку інтеграли у рівності (5.3.1) дорівнюють нулю і рівність очевидна. Для довільного числа

ε > 0	візьмемо	таке	число	σ > 0 , що	σµ(A)<ε / 2 .	Нехай
Bn (σ) = A(\| f (x) − fn (x)\|<σ)			і An (σ) = A(\| f (x) − fn (x)\|≥σ). Використовуючи
адитивність інтеграла, властивість 6 і нерівність					\| f (x) − fn (x)\|≤ 2F(x), яка
виконується майже скрізь, одержимо
	\| ∫ f (x)dµ − ∫ fn (x)dµ \|≤			∫\| f (x) − fn (x)\|dµ + 2 ∫F(x)dµ		(5.3.2)
	A	A		Bn (σ )	An (σ )

Щоб оцінити перший доданок у правій частини нерівності (5.3.2) застосуємо властивість 6:

∫| f (x) − fn (x)|dµ ≤σµBn (σ)≤σµ(A)<ε / 2

Bn (σ )

Для заданого ε > 0, внаслідок абсолютної неперервності інтеграла від функції F(x), знайдемо таке δ > 0 , що

		∫F(x)dµ <ε / 4 ,				(5.3.3)
		E
якщо µ(E)<δ . Оскільки послідовність функцій				fn (x)	збігається за мірою до
функції f (x),	то міра множини An (σ)		прямує до нуля, тому знайдеться
число m таке,	що для усіх n ≥ m має місце нерівність An (σ)<δ . Отже, для
усіх n ≥ m має місце нерівність
	2	∫F(x)dµ <ε / 2 .				(5.3.4)
	An (σ )
Таким чином із нерівностей (5.3.3) − (5.3.4)				для	усіх n ≥ m	випливає
нерівність
	\| ∫ f (x)dµ − ∫ fn (x)dµ \|<ε .
	A	A
Теорема доведена.
Наслідок 5.3.1 Нехай послідовність вимірних на множині						A функцій
fn (x) збігається майже скрізь до функції			f (x)	і існує невід’ємна інтегровна
за Лебегом функція F(x)		така, що	майже скрізь на множині A:
\| fn (x)\|≤ F(x). Тоді функція		f (x) інтегровна за Лебегом на множині A і має
місце рівність (5.3.1).

	Доведення. За теоремою Лебега (див. теорему 4.1.4) послідовність
функцій fn (x) збігається за мірою до функції		f (x). Слід виконуються умови
теореми 5.3.1.
	Ще більш простий варіант теореми Лебега одержимо, якщо функцію
F(x) замінимо константою.
	Наслідок 5.3.2 Нехай послідовність вимірних на множині		A функцій
fn (x)	збігається майже скрізь до функції	f (x) і існує константа		K > 0
така,	що майже скрізь на множині A: \|	fn (x)\|≤ K . Тоді функція		f (x)
інтегровна за Лебегом на множині A і має місце рівність (5.3.1).
	Доведення. Якщо послідовність вимірних на множині		A функцій
fn (x)	збігається майже скрізь до функції f (x), то за теоремою Лебега (див.
теорему 4.1.4) послідовність функцій fn (x)		збігається за мірою до функції
f (x). Отже виконуються умови теореми 5.3.1.

Теорема 5.3.2 (теорема Леві). Нехай fn (x)− неспадаюча послідовність невід’ємних інтегровних на множині A функцій така, що для усіх n

∫ fn (x)dµ ≤C .	(5.3.5)
A

Тоді майже скрізь на множині A послідовність fn (x) збігається до майже скрізь скінченної інтегрованої функції f (x) і

			∫ f (x)dµ = nlim→∞ ∫ fn (x)dµ .					(5.3.6)
			A		A
	Доведення.		З монотонності послідовності функцій fn (x)					випливає
існування lim fn (x), покажемо, що майже скрізь ця границя скінченна.
	n→∞
	Введемо множину			A( fn → +∞) і покажемо, що µA( fn → +∞) = 0.					Для
довільного числа			r N	множина A( fn			∞
довільного числа			r N	множина A( fn		→ +∞) A( fn > r). Дійсно, якщо
lim fn (x) = +∞,							n=1
lim fn (x) = +∞,		то r N існує натуральне число m таке, що для усіх n ≥ m
n→∞
виконується нерівність				fn (x) > r . Отже		x	∞		що
виконується нерівність				fn (x) > r . Отже		x	A( fn > r). Завдяки тому,		що
							n=1
послідовність			fn (x)	не	спадає,		A( fn > r) A( fn+1 > r)	і	тоді
∞		= lim µA( fn > r).			Внаслідок		нерівності Чебишева	і умови
µ	A( fn > r)	= lim µA( fn > r).			Внаслідок		нерівності Чебишева	і умови
n=1		n→∞

теореми µA( fn	> r)≤	1	fn (x)dµ ≤		K	. Отже		∞		K	і для будь-
теореми µA( fn	> r)≤	r	fn (x)dµ ≤		r	. Отже	µ		A( fn > r) ≤	r	і для будь-
		r	∫A		r		n=1			r
якого r : µA( fn → +∞)≤ K				. Отже		µA( fn → +∞) = 0.
			r
Нехай Ar	= A(r −1 ≤ f < r). Множини Ar вимірні, попарно неперетинні і
∞	→ +∞).		На множені			∞		визначимо просту функцію
Ar = A \ A( fn	→ +∞).		На множені			B = Ar		визначимо просту функцію
r=1						r=1
g(x) = r , якщо x Ar		і покажемо, що вона інтегровна на множені B , тобто
доведемо збіжність ряду				∞						m
доведемо збіжність ряду				∑rµ(Ar ). Позначимо через Bm =						Ar і оцінимо
m				r=1						r=1
m
частину суму ∑rµ(Ar )			. Із означення функції g(x) випливає нерівність
r=1
		f (x)< g(x)≤ f (x) +1,					x B .				(5.3.7)
Використовуючи нерівність (5.3.7), наслідок 2 і умову (5.3.5) одержимо
	m		(Ar )= ∫g(x)dµ ≤ ∫( f (x) +1)dµ =
	∑rµ		(Ar )= ∫g(x)dµ ≤ ∫( f (x) +1)dµ =
	r=1			Bm		Bm
= lim	∫ fn (x)dµ + µ(Bm )				≤ lim ∫ fn (x)dµ + µ(A)≤ K + µ(A).
n→∞ B					n→∞ A
	m
Отже функція g(x) інтегровна на множені B і									fn (x)≤ f (x)< g(x), x B .
Таким чином для послідовності функцій fn (x)								виконуються умови наслідку
1. Тоді функція	f (x)	інтегровна на множені A і має місце рівність (5.16).

Теорема доведена.

Наслідок 5.3.3. Твердження теореми Леві збережеться, якщо функції

послідовності	fn (x) приймають значення різних знаків.			Щоб довести це,
треба ввести	функції gn (x) = fn (x) − f1 (x) і		константу	C в умові (5.3.5)
замінити на	C − ∫ f1 (x)dµ . Тоді	функція	lim gn (x) = lim fn (x) − f1 (x)		=
			n→∞	n→∞
= f (x) − f1 (x)	інтегровна на множені A і має місце рівність:
∫[ f (x) − f1 (x)]dµ = nlim→∞ ∫[ fn (x) − f1 (x)]dµ = nlim→∞ ∫ fn (x)dµ − ∫ f1 (x)dµ .
A	A		A	A
Порівнюючи початок і кінець рядка рівностей одержимо (5.3.6).
Наслідок 5.3.4. Нехай un (x)		послідовність невід’ємних і інтегровних
на множені A функцій таких, що ряд

∞

∑∫un (x)dµ

n=1 A

	∞
збігається. Тоді сума ряду ∑un (x)		є функція інтегровна на множені A і
	n=1
	∞	∞
∫∑un (x)dµ= ∑∫un (x)dµ.			(5.3.8)
A n=1		n=1 A
		k
Доведення. Нехай	Sk (x) = ∑un (x). Оскільки		un (x) − послідовність
		n=1	то Sk (x) −неспадаюча,
невід’ємних і інтегровних на множені A функцій,			то Sk (x) −неспадаюча,
послідовність невід’ємних і інтегровних на множені A функцій таких, що
	k	∞
∫Sk (x)dx = ∑∫un (x)dx ≤∑∫un (x)dx .
A	n=1 A	n=1 A

Отже виконуються умови теореми Леві, застосовуючи яку одержимо (5.3.8).

Теорема 5.3.3 (теорема Фату).					Нехай fn (x)−	послідовність
невід’ємних	інтегровних на	множині			A функцій, яка майже скрізь на
множині A збігається до функції f (x)				і така, що для усіх n
	∫ fn (x)dµ ≤C .					(5.3.9)
	A
Тоді функція	f (x) інтегровна на множині A і
	∫ f (x)dµ ≤С .					(5.3.10)
	A
Доведення. Нехай ϕn (x) =inf			fk (x),		x A. Функції ϕn (x) вимірні на
		k≥n
		∞
множені A, тому, що A(ϕn < c) =			A( fk		< c). Оскільки 0 ≤ϕn (x)≤ fn (x),		то
		k=n
ϕn (x) невід’ємні і інтегровні на множині					A. Крім того, ϕn (x)≤ϕn+1 (x) і,		за
умовою (5.3.9)
	∫ϕn (x)dµ ≤∫ fn (x)dµ ≤C .					(5.3.11)
	A	A
Отже для послідовності функцій ϕn (x) виконуються умови теореми
Леві, за якою	функція ϕ(x) = lim ϕn (x)			інтегровна на множені A і, внаслідок
(5.3.11)		n→∞
(5.3.11)
				___
	∫ϕ(x)dx = nlim→∞	∫ϕn (x)dµ		≤nlim→∞ ∫ fn (x)dµ ≤C .
	A	A			A

Покажемо,		що якщо послідовність		fn (x) збігається до + ∞, то послідовність
ϕn (x)	теж збігається до + ∞. Нехай K −довільне додатне число. Існує число
m N	таке, що для будь-якого k ≥ m виконується нерівність fk (x) > K . Тоді
для	усіх	n ≥ m	виконується	нерівність ϕn (x) =inf fk (x)≥ K .	Отже
				k≥n
lim ϕn (x) = +∞. Так як функція ϕ(x) майже скрізь скінченна, то і f (x)					така ж
n→∞
сама.
	Покажемо тепер, що якщо lim fn (x)< +∞, то ϕ(x) = f (x). Нехай ε > 0.
			n→∞
Знайдеться		число	m N таке,	що для будь-якого k ≥ m виконуються
нерівності		−ε < fn (x) − f (x)<ε .		Тоді, очевидно, що ϕn (x) − f (x)<ε	і для

усіх n ≥ m виконується нерівність −ε ≤inf fk (x) − f (x). Отже для усіх n ≥ m

k≥n

виконується нерівність

|ϕn (x) − f (x)|≤ε ,

Тобто ϕ(x) = lim ϕn (x) = f (x) майже скрізь і має місце нерівність (5.3.10).

n→∞

Теорема доведена.

5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега

Нехай

f (x) −обмежена функція, визначена на сегменті [a; b] , тобто

m ≤ f (x)≤ M ,

(5.4.1)

і ∆

={a = xi ,xi ,...,xi

=b} − послідовність

наборів

точок

сегменту

[a; b]

таких, що∆

∆

i+1

. Покладемо λ (∆

) = max(xi

− xi

= inf

,xi

f (x),

i i

1≤k≤n

k−1

x [ xi

]

k −1

M ki = sup

f (x) і визначимо дві послідовності простих функцій:

x [ xi

,xi ]

k −1

fi (x) = mki , x [xki −1;xki ), fi (b) = f (b),

(x) = M ki , x [xki −1;xki ),

(b) = f (b).

(x) і (5.4.1) випливає

Із означення функцій

fi (x),

m ≤ fi (x)≤ f (x)≤

(x)≤ M .

(5.4.2)

Отже, функції

fi (x),

(x) − прості і обмежені і слід інтегровні за Лебегом:

∫ fi (x)dx = ∑i mki (xki − xki −1 ) = si ,

∫

(x)dx =

∑i M ki (xki − xki −1 ) = Si ,

k=1

[a;b]

k=1

[a;b]

де si , Si

відповідно нижня і верхня суми Дарбу функції

f (x). Оскільки при

умові [xki −1;xki

] [xij+−11;xij+1 ]

виконуються нерівності mki ≤ mij+1, M ki ≥ M ij+1 ,

то

послідовність

функцій

fi (x) не

спадає, а послідовність функцій

(x)

не

(x)

зростає.

Отже для послідовностей функцій fi (x)

виконуються умови

f (x) = lim fi (x)

теореми

Леві, за якою

існують

майже скрізь

границі

(x) = lim

i (x), функції

(x)

i→∞

f (x)

інтегровні за Лебегом на сегменті [a; b]

i→∞

∫

f (x)dµ

= lim

∫

(x)dµ = lim s

(5.4.3)

i→∞

[a;b]

(x)dµ

= lim

(x)dµ = lim S

(5.4.4)

∫

i→∞

[a;b]

Окрім того, із нерівностей (5.4.2) випливає,

що для функцій f (x)

(x)

мають місце нерівності

m ≤ f (x)≤ f (x)≤

(x)≤ M .

(5.4.5)

Із (5.4.3) – (5.4.5) одержимо

0 ≤

∫(

(x) − f (x))dµ = lim(Si

− si ).

(5.4.6)

[a;b]

i→∞

Теорема 5.4.1

Для

того

щоб функція

f (x)була інтегровною

за

Ріманом необхідно і досить, щоб

f (x) =

(x)

майже скрізь на сегменті

[a; b] для будь-якої послідовності

∆i такої, що

λi (∆i )→0, коли i →∞ і в

цьому випадку функція

f (x) інтегровна за Лебегом

і інтеграл

Рімана

збігається з інтегралом Лебега:

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dµ.

[a;b]

Достатність.

Нехай

f (x) =

(x). Тоді, внаслідок

(5.4.6), інтеграл в

− si ) = 0 . Отже функція

f (x) інтегровна за

(5.4.6) дорівнює нулю і

lim(Si

Ріманом.

i→∞

Необхідність. Нехай функція

f (x) інтегровна за Ріманом. Тоді для

будь-якої послідовності

∆i

такої,

що λi (∆i )→0 , права частина в

(5.4.6)

дорівнює нулю. На підставі наслідку 5.2.2 (з нерівності Чебишева)

різниця

f (x) − f (x)

майже скрізь

дорівнює нулю. А тоді із нерівностей

(5.4.5)

f (x) функціям

f (x)і

(x). Отже,

випливає еквівалентність функції

функція

f (x) інтегровна за Лебегом і, в силу (5. 4.3) або (5.4.4), інтеграл Рімана збігається з інтегралом Лебега.

Теорема 5.4.2 (Теорема Лебега). Для того щоб обмежена функція f (x) була інтегровною за Ріманом на сегменті [a; b] , необхідно і досить,

щоб f (x)

була майже скрізь неперервною на сегменті [a; b] .

Достатність. Нехай f (x)майже скрізь неперервна на сегменті [a; b] і

A −множина точок розриву.

Візьмемо

будь-яку

послідовність

∆i точок

∞

тому

розбиття таку, що λi (∆i )→0 і нехай B = ∆i . Множина B зчисленна,

i=1

A B має міру нуль. Покажемо, що у кожній точці

x [a; b] \ (A B)

має

місце рівність

f (x) =

(x).

Візьмемо

довільне

число ε > 0.

Внаслідок

неперервності функції f (x)

в точці

x [a; b] \ (A B)

існує δ > 0 таке, що

| f (x) − f (y)|<ε / 2, якщо

| x − y |<δ .

Оскільки

λi (∆i )→0,

то

знайдеться

натуральне число m таке,

що для усіх i ≥ m сегменти [xki ;xki

+1 ],

що містять

точку x ,

будуть міститься в інтервалі

(x −δ;x +δ).

Тоді,

для усіх i ≥ m

різниця

(x)− fi (x)≤ε , тобто

f (x) =

(x)майже скрізь. За теоремою 5.4.1

функція f (x) інтегровна за Ріманом.

Необхідність. Нехай функція f (x)

інтегровна за Ріманом. За теоремою

5.4.1 і, в силу (5.

4.5), f (x) = f (x) =

(x)майже скрізь. Позначимо через D

f (x) ≠

(x).

множину

точок сегмента [a; b] , де

Візьмемо

будь-яку

послідовність ∆i

точок розбиття сегмента [a; b] таку, що λi (∆i )→0 і нехай

∞

Множина D B має міру нуль. Покажемо, що у кожній точці

B = ∆i .

i=1

f (x) неперервна. Візьмемо довільне число ε > 0.

x [a; b] \ (D B) функція

В силу збіжності послідовностей функцій

fi (x) і

(x) відповідно до функцій

f (x) і

(x) знайдеться

m таке, що

натуральне число

для

усіх i ≥ m

виконуються нерівності

(x) +ε / 2 >

i (x)≥

(x) = f (x)≥ fi (x) > f (x) −ε / 2 ,

із яких випливає нерівність

i (x) − fi

(x)<ε

(5.4.7)

Візьмемо сегмент [xki ;xki +1 ], що містить точку

x .

Оскільки

x не є точкою

розбиття,

то знайдеться інтервал (x −δ;x +δ),

що

міститься

сегменті

[xki ;xki +1 ].

Із означення функцій

fi (x),

i (x) і нерівності (5.4.7) маємо

| f (x) − f (y)|≤ f i (x) − fi (x)<ε

для будь-якого y (x −δ;x +δ). Теорема доведена.

5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри

Означення 5.5.1. Нехай		A −вимірна	множина нескінченної міри,
наприклад, множина усіх	дійсних чисел R1 , або			проміні [a;+∞), (−∞;b].
Послідовність An вимірних обмежених множин				називається	вичерпною,
			∞
якщо вона монотонно зростає, тобто An An+1 , і An = A .
			n=1
Означення 5.5.2.	Вимірна функція		f (x),	що задана	на вимірній
множині A нескінченної	міри,	називається	інтегровною за		Лебегом на

множині A, якщо для довільної вичерпної послідовності множин	An існує
скінченна границя
lim ∫\| f (x)\| dµ < ∞,	(5.5.1)
n→∞ A
n

яка не залежить від вибору послідовності множин An . Інтегралом від функції

f (x)називається
∫	f (x)dµ = lim	∫ f (x)dµ		(5.5.2)
A	n→∞ A
		n
Покажемо, що границя (5.5.2)		існує і скінченна,	якщо	виконується
(5.5.1). Нехай m > n , тоді
\| ∫ f (x)dµ − ∫ f (x)dµ \|=\|		∫ f (x)dµ \|≤
Am	An	Am \ An
≤ ∫\| f (x)\| dµ = ∫\| f (x)\| dµ − ∫\| f (x)\| dµ →0 ,
Am \ An	Am	An
коли m,n →∞.
Теорема 5.5.1. Якщо існує невласний інтеграл			Рімана	від функції

| f (x)|, що задана на осі, або проміні, то існує інтеграл Лебега і вони збігаються.

Доведення. Розглянемо випадок, коли функція f (x) визначена на осі, інший випадок аналогічний. Нехай існує невласний інтеграл Рімана

∞

I = ∫| f (x)| dx

−∞

і An − довільна вичерпна послідовність множин. Для довільного числа ε > 0 знайдеться число λ > 0 таке, що

		λ
		∫\| f (x)\|dx > I −ε / 2 .	(5.5.3)
		−λ
Введемо множини Bn = An (−λ;λ). Послідовність множин			Bn не спадає і
∞	B	. На підставі властивості 11 вимірних множин	2λ = lim	µ(B ).
(−λ;λ) =	B	. На підставі властивості 11 вимірних множин	2λ = lim	µ(B ).
т=1	n		n→∞	n

Тоді знайдеться натуральне число m таке, що для усіх n ≥ m виконується

нерівність		µ(Bn ) > 2λ −δ ,		де число δ > 0 ,		у відповідності з абсолютно
неперервністю інтеграла Лебега, вибрано так,						для що E (−λ;λ),	міра якої
µ(E)<δ , має місце нерівність
				∫\| f (x)\| dx <ε / 2 .			(5.5.4)
				E
Із (5.5.3)	– (5.5.4) для усіх n ≥ m випливають нерівності
					λ
	∫\| f (x)\| dµ ≥ ∫\|		f (x)\| dµ ≥= ∫\| f (x)\| dx −ε / 2 > I −ε .				(5.5.5)
	An	Bn			−λ
З іншого боку, нехай				\| f (x)\|,x (−k;k) An ,
З іншого боку, нехай			fk (x) =		0, x (−k;k), x A .
					0, x (−k;k), x A .
						n
Послідовність функцій fk (x)				монотонна, збігається у кожній точці			x An до

функції | f (x)|, отже на підставі теореми Лебега про граничний перехід під знаком інтеграла, маємо

∫| f (x)| dµ = lim

∫ fk (x)dµ = lim

∫| f (x)| dµ ≤

k→∞ A

k→∞

(−k;k ) A

∫ | f (x)| dµ = lim

(5.5.6)

≤ lim

∫| f (x)| dx = I

k→∞

(−k;k )

k→∞

−k

Із нерівностей

(5.5.5) – (5.5.6)

слідує існування

скінченної границі (5.5.1) і

∞

рівність

∫| f (x)| dµ = ∫| f (x)|dx .

−∞

Нехай

A+ = A( f > 0), A− = A( f

≤ 0), A+

= A+ A

,A− =

A− A ,

де A −

довільна вичерпна послідовність. Очевидно, що існують

скінченні границі

lim

∫ f (x)dµ, lim

∫ f (x)dµ

n→∞

A+

n→∞

A−

і тоді

∫ f (x)dµ =lim

∫

f (x)dµ = lim

∫

f (x)dµ +

lim

∫ f (x)dµ.

n→∞

A+

n→∞

A−

Теорема доведена.

Зауваження 5.5.1. Із доведення теореми 5.5.1 випливає, що в означенні 5.5.2, у випадку інтегрованості функції на осі, або проміні, достатньо брати вичерпну послідовність множин (−n;n).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.201587.46 Кб17Temy_kontrolnykh_IU (1).docx
#
23.03.201583.58 Кб9Temy_kontrolnykh_IU.docx
#
01.07.2025131.07 Кб1teoretichesk_grammat_22_05_2014.doc
#
13.09.2019502.78 Кб13Teoria.doc
#
01.04.20252.63 Mб0Teoria_veroyatnosti.doc
#
23.03.20151.24 Mб14TEORIYa_MIRI_TA_INTEGRALU_chast1.pdf
#
23.03.2015625.85 Кб24TEORIYa_MIRI_TA_INTEGRALU_chast2.pdf
#
01.03.202553.08 Кб1teor_shpory.docx
#
16.08.201961.44 Кб3Ter_spory_prog.doc
#
23.03.201559.9 Кб15test-TsZ-1.doc
#
01.03.20258.43 Mб0testi_fah.doc