Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
TEORIYa_MIRI_TA_INTEGRALU_chast1.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
23.03.2015
Размер:
1.24 Mб
Скачать

прообразом елемент b. Множина {b :b =ϕ(a), a D A}

називається

образом множини D і позначається символом ϕ(D). Якщо при перетворенні

ϕ кожен елемент

b B є образом деякого елементу a A то кажуть, що ϕ

перетворює А на В і це позначають так

на

B =ϕ(A). Множина

A B , або

{a :ϕ(a) S B}

називається прообразом

множини

S і

позначається

символом ϕ1 (S).

 

 

 

 

Поряд з термінами «функція» і «відображення» будемо використовувати рівнозначні ім у деяких сітуаціях терміни «перетворення», «оператор», «відповідність».

Означення 1.2.2. Взаємно однозначною відповідністю множин А і В називається відображення ϕ множини А на В, яке різним елементам

множини А ставить у відповідність різні елементи множини В .

В цьому випадку прообразϕ1 (b) кожної одно елементної множини {b} є відображення множини В на А, яке теж є взаємно однозначною

відповідністю. Відображення b =ϕ(a) і a =ϕ1 (b) називаються взаємно оберненими.

Задачі.

1. Нехай f : X Y , A X іB X . Доведіть наступні співвідношення: f (A B) = f (A) f (B),

f (A B) f (A) f (B), f (A \ B) f (A) \ f (B).

2. Нехай f : X Y , V Y і W Y . Доведіть наступні співвідношення:

f 1(V W ) = f 1(V W ) = f 1(V \ W ) =

f 1(V ) f 1(W ), f 1(V ) f 1(W ), f 1(V ) \ f 1(W ).

Означення 1.2.3. Якщо для множин А і В можливо указати взаємно однозначну відповідність, то множини А і В називається еквівалентними.

Еквівалентність множин А і В позначається символом:

А В.

Властивості еквівалентних множин:

 

1.

А А .

 

2.

Якщо А В, то В А .

 

4

Ця властивість називається транзитивністю.

 

 

 

 

3.

Якщо

множини

Ai , i I попарно

не перетинаються,

множини

Bi , i I

теж попарно не перетинаються і для будь якого i I : Ai Bi , то

 

 

 

 

 

 

 

 

Ai Bi .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i I

i I

 

 

 

 

 

4. Нехай А В, b =ϕ(a) деяке перетворення ϕ , що здійснює взаємно

однозначну

відповідність,

то B =ϕ(A).

Якщо A1 довільна підмножина

множини А, то A1 ~ ϕ(A1 ) B .

 

 

 

 

 

 

5.

Якщо А В,

A1,

A2 довільні підмножини множини А ,

такі що

A1 A2 = , b =ϕ(a)

 

деяке перетворення ϕ , що здійснює

взаємно

однозначну відповідність, то ϕ(A1 ) ϕ(A2 ) = і ϕ(A1 A2 ) =ϕ(A1 ) ϕ(A2 ).

З

останньої

рівності випливає

що ϕ(A \ A1 ) =ϕ(A) \ ϕ(A1 ), якщо

A1 A,

тобто

 

A \

A1

ϕ(A) \ ϕ(A1 ).

Дійсно,

A = (A \ A1 ) A1

і

ϕ(A) =ϕ(A \ A1 ) ϕ(A1 ). Отже ϕ(A \ A1 ) =ϕ(A) \ ϕ(A1 ).

 

 

 

6. Теорема 1.2.1 (Теорема Кантора-Бернштейна). Нехай підмножина

A1 множини

A

еквівалентна множині

B (A A1 ~ B), а підмножина

B1

множини B еквівалентна множині A (B B1 ~ A). Тоді A ~ B .

 

 

Перед доведенням

теореми Кантора-Бернштейна розглянемо лему, яка

цікава сама по собі.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лема 1. 2.1. Якщо

A0 A1 A2 і

A0 ~ A2 . Тоді

A0 ~ A1 .

 

 

Доведення.

Нехай

ϕ(a), a A0 ,взаємно однозначне перетворення

множини

A0 на

A2 .

Покладемо

A3 =ϕ(A1 ),...,Ak+2 =ϕ(Ak ),...,k = 2,3,... .

З

умови леми і означення множин

Ak випливає їх монотонність:

Ak+1 Ak .

Дійсно,

для

k = 0,

k =1 це умова леми. Припустимо,

що Am1 Am Am+1 ,

якщо m 1. Тоді

ϕ(Am1 ) ϕ(Am ) ϕ(Am+1 ), тобто Am+1 Am+2 Am+3 .

 

Далі, внаслідок властивості 5 еквівалентних множин,

 

 

 

 

A0 \ A1 ~ ϕ(A0 \ A1 ) =ϕ(A0 ) \ ϕ(A1 ) = A2 \ A3

 

 

 

і в загальному випадку:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ak \ Ak+1 ~ ϕ(Ak \ Ak+1 ) =ϕ(Ak ) \ ϕ(Ak+1 ) = Ak+2 \ Ak+3 , k =1,2,....

 

Нехай

P =

. Оскільки Ak+1 Ak , то

 

 

 

 

 

Ak

 

 

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0 = P (A0

\ A1 ) (A1 \

A2 ) (A2

\ A3 ) (A3 \ A4 )...

(1.1.1)

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 = P (A1 \ A2 ) (A2 \

A3 ) (A3

\ A4 ) (A4 \

A5 )....

(1.1.2)

5

Тепер зауважимо, що

A2k \ A2k+1 ~ A2k+2 \ A2k+3 , k = 0,1,...,

і доданки

у

правих частинах рівностей (1.1.1) (1.1.2)

попарно не перетинаються. Окрім

того

A2k+1 \ A2k+2 = A2k+1 \ A2k+2 , k = 0,1,....

Отже, внаслідок

властивості

3

еквівалентних множин,

A0 ~ A1 .

 

 

 

 

 

Доведення теореми Кантора-Бернштейна.

 

 

 

 

Нехай ϕ(a), a A,взаємно однозначне перетворення множини A на

B1 .

Покладемо B2 =ϕ(A1 ). Отже B2 ~ A1 і, внаслідок

умови теореми

і

транзитивності еквівалентності, B2 ~ B . Так як В В1 В2 , то виконуються

умови леми 2.1. Отже B ~ B1 і за умовою теореми A ~ B .

 

 

 

 

Означення 1.2.4.

Множини А і В називається

однієї потужності,

якщо вони еквівалентні.

 

 

 

 

 

Означення 1.2.5. Потужністю скінченної множини А називається число елементів в множині А . Потужність множини А будемо позначати

символом А. Отже, якщо множина містить n елементів, то А = n.

Так як скінченні множини А і В еквівалентні тоді і тільки тоді, коли число елементів у множинах А і В збігається, то всі множини, що мають однакову кількість елементів, однієї потужності.

Означення 1.2.6. Будемо вважати, що потужність множини А не менша потужності множини В, якщо існує підмножина A1 множини А , яка

еквівалентна множині В. Цей факт будемо позначати таким чином A B .

Означення 1.2.7. Будемо вважати, що потужність множини А більша потужності множини В, якщо існує підмножина A1 множини А , яка

еквівалентна множині В, проте множина А не еквівалентна множині В. Те, що множина А має потужність більшу потужності множини В

будемо позначати через A > B .

3.1.Зчислені множини та їх властивості

Означення 1.3.1. Множини А називається зчисленною, або множиною зчисленної потужності, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел N . Зчисленну потужність множини будемо позначати літерою a . Тобто

запис A = a означає, що множини А зчисленна.

Теорема 1.3.1 (Критерій зчисленості множини). Щоб множина А була зчисленною, необхідно і досить, щоб її можно було зображити у вигляді послідовності: А={а1,a2 ,…,an...}.

6

Доведення. Необхідність. Нехай

A N . Елемент множини

A,

що

відповідає натуральному числу n N

позначимо через an . Тим

самим

визначено загальний член послідовності. Отже : А={а1,a2 ,…,an...}.

 

 

Достатність. Нехай

А={а1,a2 ,…,an...},

де всі елементи послідовності

різні. Кожному елементу

an поставимо у

відповідність його номер

n .

Оскільки різні елементи мають різні номери і кожне натуральне число n відповідає елементу an , то множина A N .

Загальні властивості потужності множин.

1. Будь яка нескінченна

множина А має потужність не меншу

зчисленної потужності, тобто

 

a .

 

A

 

Доведення. Виберемо будь який елемент в множині

А і позначимо

його через а1 . Оскільки різниця

А\ {а1} теж нескінченна,

виберемо із неї

будь який елемент і позначимо його через а2 . Припустимо, що вже вибрано елементи а1 , а2 , …, аm . Різниця А\ {а1,a2 ,…,a m } нескінченна. Тому із неї можливо вибрати елемент аm+1 , де m довільне натуральне число. Отже

з множини А виділина підмножина

А1 ={а1,a2 ,…,an...}

зчисленної

потужності. А це означає, що

 

a .

 

 

A

 

 

2. Об’єднання зчисленної множини

А={а1,a2 ,…,an...}

і скінченної

множини B =b1,b2 ,...,bm еквівалентно множині А, отже A B зчисленна множина.

Доведення. Спочатку в рядок запишемо елементи множини B , а потім будемо виписувати елементи множини А , пропускаючи ті елементи, що належать також множині B . Множина A B буде зображена у вигляді

послідовності, отже вона скінченна.

3. Об’єднання нескінченної множини А і скінченної або зчисленної множини В еквівалентно множині А.

Доведення. Виділимо з множини A зчислену підмножину A1 і нехай D

– різниця множин B і А . Тоді A = (A \ A1 ) A1 і

A B = (A \ A1 ) (A1 D).

Оскільки (A \ A1 ) (A \ A1 ) і

A1 A1 D , то в

наслідок властивості 3

еквівалентних множин A B A.

 

4. Якщо різниця множини

A і скінченної або зчисленної множини В –

нескінченна, то різниця А \ В еквівалентна множині А.

Доведення. Перетин А В скінченна або зчисленна множина. Отже, за попередньої властивістю внаслідок рівності A = (A \ B) (A B) одержимо властивість 4.

7

5. Об’єднання зчисленної множини скінченних множин Ai ,i N зчисленна або скінченна множина.

Доведення. Спочатку в рядок запишемо елементи множини A1 , а потім будемо виписувати елементи множин A2 ,A3 ,...,Am ,..., пропускаючи ті

елементи, що уже вибрані. Множина i=1 Ai буде зображена у вигляді рядка або послідовності, отже вона скінченна або зчисленна.

6. Об’єднання скінченної множини зчисленних множин Ai ,i =1,2,...,m зчисленна множина.

 

Доведення. Кожну множину

Ai зобразимо у вигляді послідовності

A

={ai

,ai

,...,ai

,...},

j =1,2,...,m ,

а

потім

будемо

виписувати

елементи

i

1

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

множин Ai в

рядок спочатку з нижнім індексом равним

одиниці,

потім

равним 2 і так далі, пропускаючи ті елементи, що уже вибрані.

 

 

 

 

7. Об’єднання

зчисленної

множини

зчисленних множин

Ai ,i N

зчисленна множина.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення.

Множину

Ai

зобразимо у

вигляді

послідовності

A ={ai

,ai

,...,ai

,...}.

Першим в

рядок поставимо

елементa1 ,

а

потім

i

1

2

n

 

 

 

 

 

 

1

 

 

запишемо елементи у яких сума верхнього і нижнього індексів дорівнює трьом, чотирьом і так далі. При цьому будемо виписувати елементи множин

A ,

пропускаючи ті

елементи, що уже вибрані.

Множина

A буде

i

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

i

зображена у вигляді послідовності, отже вона зчисленна.

 

 

 

8. Якщо елементи множини А

визначаються

m значками, тобто

A ={ax ,x

,...,x },

кожен з яких

приймає зчисленну

кількість

значень

 

1 2

m

 

 

 

 

 

 

 

 

x j

={x1j ,x2j,,...,xnj ,...},

j =1,2,...,m,

то А зчисленна.

 

 

 

 

 

Доведення. Застосуємо метод математично індукції. Якщо елементи

множини

A ={ax }

визначаються

одним значком, значення якого

{x1

,x2 ,...,xn ,...},

1

 

 

 

 

 

 

 

то

множину

А

можливо

зобразити

у

вигляді

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

A ={ax11 ,ax12 ,...,ax1n ,...}. Отже А

зчисленна. Нехай властивість 8 має місце

для k індексів (k 1). Розглянемо множину A ={ax

,x

,...,x

,x

k +1

} і її підмножину

An ={ax1 ,x2 ,...,xk , xkn+1

 

1

2

k

 

 

} елементів,

у яких k+1 індекс має фіксоване довільне

значення xn

+1

. В силу припущення, кожна множина

A

 

зчисленна, а тоді

k

 

 

 

 

n

 

 

 

зчисленна множина А тому, що A = An . Отже, за принципом математичної

n=1

індукції властивість 8 має місце для будь якого m. Приклади зчисленних множин.

1. Множина усіх натуральних чисел зчисленна, тому що N N .

8

2. Будь-яка нескінченна підмножина натуральних чисел зчисленна, тому що її можливо зобразити у вигляді {n1,n2 ,...,nk ,...}.

3. Множина Q+ усіх додатних раціональних чисел зчисленна. Q+

можливо зобразити у вигляді

Ak , де Ak

множина раціональних

Q+ =

 

k=1

 

 

чисел вигляду Ak ={m / k, m N}. Оскільки кожна множина Ak зчисленна,

то завдяки властивості 7

множина Q+ є зчисленною.

4. Множина Q

усіх від’ємних раціональних чисел зчисленна,

оскільки Q~ Q+ .

 

5.Множина Q усіх раціональних чисел зчисленна, завдяки тому, що

Q =Q+ Q{0}.

6.Множина A={(r1,r2 ,...,rk ),rj Q, j =1,2,...,k} усіх точек к-вимірного

евклідового простору Rk , координати яких раціональні числа, зчисленна.

Дійсно елементи множини A визначаються k значками (координатами точки), кожен з яких приймає зчисленну множину значень. Отже, внаслідок

властивості 8, множина A зчисленна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Множина Pn

всіх алгебраїчних многочленів степеня не вище n з

раціональними коефіцієнтами зчисленна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дійсно

кожен

елемент pn (t)

множини

Pn

визначається

n +1

раціональними коефіцієнтами: p

n

(t) = a

0

tn

+ a tn1

+...+ a

n

.

Отже, завдяки

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

властивості 8, множина Pn зчисленна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Множина P всіх алгебраїчних многочленів з раціональними

коефіцієнтами зчисленна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Множину P можливо зобразити у вигляді

P =

Pn . Тому, завдяки

 

властивості 7, множина P зчисленна.

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Множина AP всіх алгебраїчних чисел зчисленна.

 

 

 

Позначимо через

Apn

множину алгебраїчних чисел,

що відповідають

алгебраїчному многочлену

pn (t) з раціональними коефіцієнтами,

тобто

множину

розв’язків

рівняння pn (t)=

 

0.

Множина

Apn

для кожного

многочлена

pn (t) має не

більше

n елементів. Оскільки

AP = Apn ,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pn P

 

 

внаслідок

властивості 5, AP скінченна або зчисленна. Але множина AP

не

може бути скінченною, бо вона містить усі раціональні числа.

 

 

 

9

4.1.Множини потужності континууму

Теорема 1.4.1 (Кантор). Множина точок сегмента [0;1] не є зчисленною.

Доведення. Припустимо, що це ні так, тобто сегмент [0;1] зчисленна

множина: [0;1] ={а1,a2 ,…,an...} . Поділимо

сегмент[0;1] на три частини

рівної довжини: [0;1/ 3], [1/ 3; 2 / 3] і [2 / 3;1]

і позначимо через 1 той з них,

що не містить елемент а1

(якщо таких сегментів два, беремо будь-який з

них). Поділимо сегмент 1

на три частини рівної довжини і позначимо через

2 той з них, що не містить елемент а2 . І так далі, якщо вибрано сегмент

k , поділимо сегмент k на три частини рівної довжини і позначимо через

k+1 той з них, що не містить елемент аk+1 . Тепер зауважимо, що k+1 k і

довжина сегмента k дорівнює 1/3k . Отже, внаслідок відомої теореми про

вкладені

сегменти, довжини яких прямують до нуля, існує елемент

a

спільний

всім сегментам k , тобто a k [0;1]. З

іншого боку

існує

k0 таке, що a = ak0 . Але, завдяки вибору сегментів k ,

елемент ak0

k0 .

Одержана суперечність доводить теорему.

 

 

Означення 1.4.1. Множина А має потужність континууму, або потужність с, якщо А [0;1] .

Приклади множин потужності континууму.

1.

Тому що [0;1] [0;1] , сегмент [0;1] має

потужність континууму.

2.

Будь-який сегмент

[a;b] має потужність континууму, оскільки

функція

y = a + (b a)x встановлює взаємно однозначну відповідність між

множинами [0;1] і [a;b] .

 

 

3. Будь-який інтервал (a;b), будь-який півінтервал [a;b) або (a;b] має

потужність континууму.

Дійсно, завдяки

властивості 4 потужності,

вилучення одного або двох елементів з нескінченної множини не міняє потужності.

4. Множина R1 всіх дійсних чисел має потужність континууму, оскільки функція y = tg x встановлює взаємно однозначну відповідність між

множинами (π / 2;π / 2) і R1 .

5. Множина I всіх ірраціональних чисел має потужність континууму,

тому що множину I можливо зобразити як різницю між множиною R1 і множиною Q всіх раціональних чисел. Отже, завдяки властивості 4

потужності, вилучення зчисленної множини не міняє потужності.

6. Множина всіх трансцендентних чисел має потужність континууму, оскільки цю множину можливо зобразити як різницю між множиною R1 і

10

зчисленною множиною усіх алгебраїчних чисел. Отже, завдяки властивості 4 потужності, вилучення зчисленної множини не міняє потужності.

7. Множина R+1 всіх додатних чисел має потужність континууму, тому що функція y =tg x встановлює взаємно однозначну відповідність між

множинами (0;π / 2) і R+1 .

8. Очевидно, що піввісь [0; ) має потужність с.

Властивості множин потужності континууму.

1. Об’єднання скінченної

 

множини

{Ai

,i =1,2,...,m}

множин

Ai

потужності

континууму,

які

 

попарно

не

мають

спільних елементів, є

множиною потужності континууму.

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення.

Розглянемо

 

півінтервали

[ j 1; j), j =1,2,...,m.

Вони

попарно не мають спільних елементів і

Aj

[ j 1; j), j =1,2,...,m. Завдяки

властивості

4

еквівалентних

множин,

m

 

m

j +1) =[1;m +

1).

Aj [ j;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

j=1

 

 

 

Властивість доведена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Об’єднання зчисленної множини множин Aj

,

j N потужності, які

попарно не мають спільних елементів, є

множиною потужності с .

 

 

Доведення. Розглянемо півінтервали [ j 1; j),

j N . Вони попарно не

мають

спільних

елементів

і Aj

[ j 1; j),

j N .

Завдяки

властивості

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

еквівалентних множин,

Aj [ j 1; j) =[0; ). Властивість доведена.

 

 

 

 

 

j =1

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Об’єднання не більш ніж зчисленної множини

множин

Ai

потужності континууму є

множиною потужності континууму.

 

 

Доведення. Розглянемо випадок зчисленої множини множин Aj ,

j N .

Нехай

ϕj взаємно однозначна відповідність множини Aj

на півінтервал

[ j 1; j), j N , і A'

= A ,

A'

= A

j

\

j 1 A , j

= 2.3,...

. Множини A' попарно

 

 

 

1

1

j

 

 

i =1

i

 

 

 

 

j

 

 

не мають спільних елементів і j =1 Aj = j =1 A'j

. Оскільки ϕ(A'j ) [ j 1.j),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. З

то з авдяки властивості 4 еквівалентних множин,

A'j ϕ(A'j ) [0;)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j =1

j =1

 

 

 

іншого

боку

 

A1 ~ [0,1) ~ [0,).

За

теоремою

Кантора-Бернштейна

j =1 Aj

~ [0,).

Властивість доведена.

 

 

 

 

 

 

 

 

11

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]