прообразом елемент b. Множина {b :b =ϕ(a), a D A}

називається

образом множини D і позначається символом ϕ(D). Якщо при перетворенні

ϕ кожен елемент

b B є образом деякого елементу a A то кажуть, що ϕ

перетворює А на В і це позначають так

на

B =ϕ(A). Множина

A →B , або

{a :ϕ(a) S B}

називається прообразом

множини

S і

позначається

символом ϕ−1 (S).

Еквівалентність множин А і В позначається символом:

А В.

Властивості еквівалентних множин:

1.

А А .

2.

Якщо А В, то В А .

Ця властивість називається транзитивністю.

3.

Якщо

множини

Ai , i I попарно

не перетинаються,

множини

Bi , i I

теж попарно не перетинаються і для будь якого i I : Ai Bi , то

Ai Bi .

i I

i I

4. Нехай А В, b =ϕ(a) − деяке перетворення ϕ , що здійснює взаємно

однозначну

відповідність,

то B =ϕ(A).

Якщо A1 −довільна підмножина

множини А, то A1 ~ ϕ(A1 ) B .

5.

Якщо А В,

A1,

A2 −довільні підмножини множини А ,

такі що

A1 A2 = , b =ϕ(a)

−

деяке перетворення ϕ , що здійснює

взаємно

однозначну відповідність, то ϕ(A1 ) ϕ(A2 ) = і ϕ(A1 A2 ) =ϕ(A1 ) ϕ(A2 ).

З

останньої

рівності випливає

що ϕ(A \ A1 ) =ϕ(A) \ ϕ(A1 ), якщо

A1 A,

тобто

A \

A1

ϕ(A) \ ϕ(A1 ).

Дійсно,

A = (A \ A1 ) A1

і

ϕ(A) =ϕ(A \ A1 ) ϕ(A1 ). Отже ϕ(A \ A1 ) =ϕ(A) \ ϕ(A1 ).

6. Теорема 1.2.1 (Теорема Кантора-Бернштейна). Нехай підмножина

A1 множини

A

еквівалентна множині

B (A A1 ~ B), а підмножина

B1

множини B еквівалентна множині A (B B1 ~ A). Тоді A ~ B .

Перед доведенням

теореми Кантора-Бернштейна розглянемо лему, яка

цікава сама по собі.

Лема 1. 2.1. Якщо

A0 A1 A2 і

A0 ~ A2 . Тоді

A0 ~ A1 .

Доведення.

Нехай

ϕ(a), a A0 ,−взаємно однозначне перетворення

множини

A0 на

A2 .

Покладемо

A3 =ϕ(A1 ),...,Ak+2 =ϕ(Ak ),...,k = 2,3,... .

З

умови леми і означення множин

Ak випливає їх монотонність:

Ak+1 Ak .

Дійсно,

для

k = 0,

k =1 це умова леми. Припустимо,

що Am−1 Am Am+1 ,

якщо m ≥1. Тоді

ϕ(Am−1 ) ϕ(Am ) ϕ(Am+1 ), тобто Am+1 Am+2 Am+3 .

Далі, внаслідок властивості 5 еквівалентних множин,

A0 \ A1 ~ ϕ(A0 \ A1 ) =ϕ(A0 ) \ ϕ(A1 ) = A2 \ A3

і в загальному випадку:

Ak \ Ak+1 ~ ϕ(Ak \ Ak+1 ) =ϕ(Ak ) \ ϕ(Ak+1 ) = Ak+2 \ Ak+3 , k =1,2,....

Нехай

P =

∞

. Оскільки Ak+1 Ak , то

Ak

k=0

A0 = P (A0

\ A1 ) (A1 \

A2 ) (A2

\ A3 ) (A3 \ A4 )...

(1.1.1)

і

A1 = P (A1 \ A2 ) (A2 \

A3 ) (A3

\ A4 ) (A4 \

A5 )....

(1.1.2)

Тепер зауважимо, що

A2k \ A2k+1 ~ A2k+2 \ A2k+3 , k = 0,1,...,

і доданки

у

правих частинах рівностей (1.1.1) − (1.1.2)

попарно не перетинаються. Окрім

того

A2k+1 \ A2k+2 = A2k+1 \ A2k+2 , k = 0,1,....

Отже, внаслідок

властивості

3

еквівалентних множин,

A0 ~ A1 .

Доведення теореми Кантора-Бернштейна.

Нехай ϕ(a), a A,−взаємно однозначне перетворення множини A на

B1 .

Покладемо B2 =ϕ(A1 ). Отже B2 ~ A1 і, внаслідок

умови теореми

і

транзитивності еквівалентності, B2 ~ B . Так як В В1 В2 , то виконуються

умови леми 2.1. Отже B ~ B1 і за умовою теореми A ~ B .

Означення 1.2.4.

Множини А і В називається

однієї потужності,

якщо вони еквівалентні.

Доведення. Необхідність. Нехай

A N . Елемент множини

A,

що

відповідає натуральному числу n N

позначимо через an . Тим

самим

визначено загальний член послідовності. Отже : А={а1,a2 ,…,an...}.

Достатність. Нехай

А={а1,a2 ,…,an...},

де всі елементи послідовності

різні. Кожному елементу

an поставимо у

відповідність його номер

n .

1. Будь яка нескінченна

множина А має потужність не меншу

зчисленної потужності, тобто

≥ a .

A

Доведення. Виберемо будь який елемент в множині

А і позначимо

його через а1 . Оскільки різниця

А\ {а1} теж нескінченна,

виберемо із неї

з множини А виділина підмножина

А1 ={а1,a2 ,…,an...}

зчисленної

потужності. А це означає, що

≥ a .

A

2. Об’єднання зчисленної множини

А={а1,a2 ,…,an...}

і скінченної

– різниця множин B і А . Тоді A = (A \ A1 ) A1 і

A B = (A \ A1 ) (A1 D).

Оскільки (A \ A1 ) (A \ A1 ) і

A1 A1 D , то в

наслідок властивості 3

еквівалентних множин A B A.

4. Якщо різниця множини

A і скінченної або зчисленної множини В –

Доведення. Кожну множину

Ai зобразимо у вигляді послідовності

A

={ai

,ai

,...,ai

,...},

j =1,2,...,m ,

а

потім

будемо

виписувати

елементи

i

1

2

n

множин Ai в

рядок спочатку з нижнім індексом равним

одиниці,

потім

равним 2 і так далі, пропускаючи ті елементи, що уже вибрані.

7. Об’єднання

зчисленної

множини

зчисленних множин

Ai ,i N −

зчисленна множина.

Доведення.

Множину

Ai

зобразимо у

вигляді

послідовності

A ={ai

,ai

,...,ai

,...}.

Першим в

рядок поставимо

елементa1 ,

а

потім

i

1

2

n

1

A ,

пропускаючи ті

елементи, що уже вибрані.

Множина

∞

A буде

i

i=1

i

зображена у вигляді послідовності, отже вона зчисленна.

8. Якщо елементи множини А

визначаються

m значками, тобто

A ={ax ,x

,...,x },

кожен з яких

приймає зчисленну

кількість

значень

1 2

m

x j

={x1j ,x2j,,...,xnj ,...},

j =1,2,...,m,

то А − зчисленна.

Доведення. Застосуємо метод математично індукції. Якщо елементи

множини

A ={ax }

визначаються

одним значком, значення якого

{x1

,x2 ,...,xn ,...},

1

то

множину

А

можливо

зобразити

у

вигляді

1

1

1

A ={ax11 ,ax12 ,...,ax1n ,...}. Отже А

− зчисленна. Нехай властивість 8 має місце

для k індексів (k ≥1). Розглянемо множину A ={ax

,x

,...,x

,x

k +1

} і її підмножину

An ={ax1 ,x2 ,...,xk , xkn+1

1

2

k

} елементів,

у яких k+1 індекс має фіксоване довільне

значення xn

+1

. В силу припущення, кожна множина

A

− зчисленна, а тоді

k

n

можливо зобразити у вигляді

∞

Ak , де Ak −

множина раціональних

Q+ =

k=1

то завдяки властивості 7

множина Q+ є зчисленною.

4. Множина Q− −

усіх від’ємних раціональних чисел зчисленна,

оскільки Q− ~ Q+ .

властивості 8, множина A − зчисленна.

7. Множина Pn

всіх алгебраїчних многочленів степеня не вище n з

раціональними коефіцієнтами зчисленна.

Дійсно

кожен

елемент pn (t)

множини

Pn

визначається

n +1

раціональними коефіцієнтами: p

n

(t) = a

0

tn

+ a tn−1

+...+ a

n

.

Отже, завдяки

1

властивості 8, множина Pn − зчисленна.

8. Множина P всіх алгебраїчних многочленів з раціональними

коефіцієнтами зчисленна.

Множину P можливо зобразити у вигляді

P =

∞

Pn . Тому, завдяки

властивості 7, множина P − зчисленна.

n=0

9. Множина AP всіх алгебраїчних чисел − зчисленна.

Позначимо через

Apn

множину алгебраїчних чисел,

що відповідають

алгебраїчному многочлену

pn (t) з раціональними коефіцієнтами,

тобто

множину

розв’язків

рівняння pn (t)=

0.

Множина

Apn

для кожного

многочлена

pn (t) має не

більше

n елементів. Оскільки

AP = Apn ,

то

pn P

внаслідок

властивості 5, AP − скінченна або зчисленна. Але множина AP

не

може бути скінченною, бо вона містить усі раціональні числа.

множина: [0;1] ={а1,a2 ,…,an...} . Поділимо

сегмент[0;1] на три частини

рівної довжини: [0;1/ 3], [1/ 3; 2 / 3] і [2 / 3;1]

і позначимо через ∆1 той з них,

що не містить елемент а1

(якщо таких сегментів два, беремо будь-який з

них). Поділимо сегмент ∆1

на три частини рівної довжини і позначимо через

вкладені

сегменти, довжини яких прямують до нуля, існує елемент

a

спільний

всім сегментам ∆k , тобто a ∆k [0;1]. З

іншого боку

існує

k0 таке, що a = ak0 . Але, завдяки вибору сегментів ∆k ,

елемент ak0

∆k0 .

Одержана суперечність доводить теорему.

1.

Тому що [0;1] [0;1] , сегмент [0;1] має

потужність континууму.

2.

Будь-який сегмент

[a;b] має потужність континууму, оскільки

функція

y = a + (b − a)x встановлює взаємно однозначну відповідність між

множинами [0;1] і [a;b] .

3. Будь-який інтервал (a;b), будь-який півінтервал [a;b) або (a;b] має

потужність континууму.

Дійсно, завдяки

властивості 4 потужності,

1. Об’єднання скінченної

множини

{Ai

,i =1,2,...,m}

множин

Ai

потужності

континууму,

які

попарно

не

мають

спільних елементів, є

множиною потужності континууму.

Доведення.

Розглянемо

півінтервали

[ j −1; j), j =1,2,...,m.

Вони

попарно не мають спільних елементів і

Aj

[ j −1; j), j =1,2,...,m. Завдяки

властивості

4

еквівалентних

множин,

m

m

j +1) =[1;m +

1).

Aj [ j;

j=1

j=1

Властивість доведена.

2. Об’єднання зчисленної множини множин Aj

,

j N потужності, які

попарно не мають спільних елементів, є

множиною потужності с .

Доведення. Розглянемо півінтервали [ j −1; j),

j N . Вони попарно не

мають

спільних

елементів

і Aj

[ j −1; j),

j N .

Завдяки

властивості

4

∞

∞

еквівалентних множин,

Aj [ j −1; j) =[0; ∞). Властивість доведена.

j =1

j=1

3. Об’єднання не більш ніж зчисленної множини

множин

Ai

потужності континууму є

множиною потужності континууму.

Доведення. Розглянемо випадок зчисленої множини множин Aj ,

j N .

Нехай

ϕj взаємно однозначна відповідність множини Aj

на півінтервал

[ j −1; j), j N , і A'

= A ,

A'

= A

j

\

j −1 A , j

= 2.3,...

. Множини A' попарно

1

1

j

i =1

i

j

не мають спільних елементів і ∞j =1 Aj = ∞j =1 A'j

. Оскільки ϕ(A'j ) [ j −1.j),

∞

∞

. З

то з авдяки властивості 4 еквівалентних множин,

A'j ϕ(A'j ) [0;∞)

j =1

j =1

іншого

боку

A1 ~ [0,1) ~ [0,∞).

За

теоремою

Кантора-Бернштейна

∞j =1 Aj

~ [0,∞).

Властивість доведена.