
прообразом елемент b. Множина {b :b =ϕ(a), a D A} |
називається |
|||
образом множини D і позначається символом ϕ(D). Якщо при перетворенні |
||||
ϕ кожен елемент |
b B є образом деякого елементу a A то кажуть, що ϕ |
|||
перетворює А на В і це позначають так |
на |
B =ϕ(A). Множина |
||
A →B , або |
||||
{a :ϕ(a) S B} |
називається прообразом |
множини |
S і |
позначається |
символом ϕ−1 (S). |
|
|
|
|
Поряд з термінами «функція» і «відображення» будемо використовувати рівнозначні ім у деяких сітуаціях терміни «перетворення», «оператор», «відповідність».
Означення 1.2.2. Взаємно однозначною відповідністю множин А і В називається відображення ϕ множини А на В, яке різним елементам
множини А ставить у відповідність різні елементи множини В .
В цьому випадку прообразϕ−1 (b) кожної одно елементної множини {b} є відображення множини В на А, яке теж є взаємно однозначною
відповідністю. Відображення b =ϕ(a) і a =ϕ−1 (b) називаються взаємно оберненими.
Задачі.
1. Нехай f : X →Y , A X іB X . Доведіть наступні співвідношення: f (A B) = f (A) f (B),
f (A B) f (A) f (B), f (A \ B) f (A) \ f (B).
2. Нехай f : X →Y , V Y і W Y . Доведіть наступні співвідношення:
f −1(V W ) = f −1(V W ) = f −1(V \ W ) =
f −1(V ) f −1(W ), f −1(V ) f −1(W ), f −1(V ) \ f −1(W ).
Означення 1.2.3. Якщо для множин А і В можливо указати взаємно однозначну відповідність, то множини А і В називається еквівалентними.
Еквівалентність множин А і В позначається символом: |
А В. |
|
Властивості еквівалентних множин: |
|
|
1. |
А А . |
|
2. |
Якщо А В, то В А . |
|
4
Ця властивість називається транзитивністю. |
|
|
|
|
|||||||||
3. |
Якщо |
множини |
Ai , i I попарно |
не перетинаються, |
множини |
||||||||
Bi , i I |
теж попарно не перетинаються і для будь якого i I : Ai Bi , то |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ai Bi . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
i I |
i I |
|
|
|
|
|
4. Нехай А В, b =ϕ(a) − деяке перетворення ϕ , що здійснює взаємно |
|||||||||||||
однозначну |
відповідність, |
то B =ϕ(A). |
Якщо A1 −довільна підмножина |
||||||||||
множини А, то A1 ~ ϕ(A1 ) B . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
Якщо А В, |
A1, |
A2 −довільні підмножини множини А , |
такі що |
|||||||||
A1 A2 = , b =ϕ(a) |
− |
|
деяке перетворення ϕ , що здійснює |
взаємно |
|||||||||
однозначну відповідність, то ϕ(A1 ) ϕ(A2 ) = і ϕ(A1 A2 ) =ϕ(A1 ) ϕ(A2 ). |
|||||||||||||
З |
останньої |
рівності випливає |
що ϕ(A \ A1 ) =ϕ(A) \ ϕ(A1 ), якщо |
||||||||||
A1 A, |
тобто |
|
A \ |
A1 |
ϕ(A) \ ϕ(A1 ). |
Дійсно, |
A = (A \ A1 ) A1 |
і |
|||||
ϕ(A) =ϕ(A \ A1 ) ϕ(A1 ). Отже ϕ(A \ A1 ) =ϕ(A) \ ϕ(A1 ). |
|
|
|
||||||||||
6. Теорема 1.2.1 (Теорема Кантора-Бернштейна). Нехай підмножина |
|||||||||||||
A1 множини |
A |
еквівалентна множині |
B (A A1 ~ B), а підмножина |
B1 |
|||||||||
множини B еквівалентна множині A (B B1 ~ A). Тоді A ~ B . |
|
|
|||||||||||
Перед доведенням |
теореми Кантора-Бернштейна розглянемо лему, яка |
||||||||||||
цікава сама по собі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Лема 1. 2.1. Якщо |
A0 A1 A2 і |
A0 ~ A2 . Тоді |
A0 ~ A1 . |
|
|
||||||||
Доведення. |
Нехай |
ϕ(a), a A0 ,−взаємно однозначне перетворення |
|||||||||||
множини |
A0 на |
A2 . |
Покладемо |
A3 =ϕ(A1 ),...,Ak+2 =ϕ(Ak ),...,k = 2,3,... . |
З |
||||||||
умови леми і означення множин |
Ak випливає їх монотонність: |
Ak+1 Ak . |
|||||||||||
Дійсно, |
для |
k = 0, |
k =1 це умова леми. Припустимо, |
що Am−1 Am Am+1 , |
|||||||||
якщо m ≥1. Тоді |
ϕ(Am−1 ) ϕ(Am ) ϕ(Am+1 ), тобто Am+1 Am+2 Am+3 . |
|
|||||||||||
Далі, внаслідок властивості 5 еквівалентних множин, |
|
|
|||||||||||
|
|
A0 \ A1 ~ ϕ(A0 \ A1 ) =ϕ(A0 ) \ ϕ(A1 ) = A2 \ A3 |
|
|
|
||||||||
і в загальному випадку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ak \ Ak+1 ~ ϕ(Ak \ Ak+1 ) =ϕ(Ak ) \ ϕ(Ak+1 ) = Ak+2 \ Ak+3 , k =1,2,.... |
|
|||||||||||
Нехай |
P = |
∞ |
. Оскільки Ak+1 Ak , то |
|
|
|
|
|
|||||
Ak |
|
|
|
|
|
||||||||
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 = P (A0 |
\ A1 ) (A1 \ |
A2 ) (A2 |
\ A3 ) (A3 \ A4 )... |
(1.1.1) |
||||||||
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 = P (A1 \ A2 ) (A2 \ |
A3 ) (A3 |
\ A4 ) (A4 \ |
A5 ).... |
(1.1.2) |
5

Тепер зауважимо, що |
A2k \ A2k+1 ~ A2k+2 \ A2k+3 , k = 0,1,..., |
і доданки |
у |
|||
правих частинах рівностей (1.1.1) − (1.1.2) |
попарно не перетинаються. Окрім |
|||||
того |
A2k+1 \ A2k+2 = A2k+1 \ A2k+2 , k = 0,1,.... |
Отже, внаслідок |
властивості |
3 |
||
еквівалентних множин, |
A0 ~ A1 . |
|
|
|
|
|
|
Доведення теореми Кантора-Бернштейна. |
|
|
|
||
|
Нехай ϕ(a), a A,−взаємно однозначне перетворення множини A на |
|||||
B1 . |
Покладемо B2 =ϕ(A1 ). Отже B2 ~ A1 і, внаслідок |
умови теореми |
і |
|||
транзитивності еквівалентності, B2 ~ B . Так як В В1 В2 , то виконуються |
||||||
умови леми 2.1. Отже B ~ B1 і за умовою теореми A ~ B . |
|
|
|
|||
|
Означення 1.2.4. |
Множини А і В називається |
однієї потужності, |
|||
якщо вони еквівалентні. |
|
|
|
|
|
Означення 1.2.5. Потужністю скінченної множини А називається число елементів в множині А . Потужність множини А будемо позначати
символом А. Отже, якщо множина містить n елементів, то А = n.
Так як скінченні множини А і В еквівалентні тоді і тільки тоді, коли число елементів у множинах А і В збігається, то всі множини, що мають однакову кількість елементів, однієї потужності.
Означення 1.2.6. Будемо вважати, що потужність множини А не менша потужності множини В, якщо існує підмножина A1 множини А , яка
еквівалентна множині В. Цей факт будемо позначати таким чином A ≥ B .
Означення 1.2.7. Будемо вважати, що потужність множини А більша потужності множини В, якщо існує підмножина A1 множини А , яка
еквівалентна множині В, проте множина А не еквівалентна множині В. Те, що множина А має потужність більшу потужності множини В
будемо позначати через A > B .
3.1.Зчислені множини та їх властивості
Означення 1.3.1. Множини А називається зчисленною, або множиною зчисленної потужності, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел N . Зчисленну потужність множини будемо позначати літерою a . Тобто
запис A = a означає, що множини А зчисленна.
Теорема 1.3.1 (Критерій зчисленості множини). Щоб множина А була зчисленною, необхідно і досить, щоб її можно було зображити у вигляді послідовності: А={а1,a2 ,…,an...}.
6
Доведення. Необхідність. Нехай |
A N . Елемент множини |
A, |
що |
||
відповідає натуральному числу n N |
позначимо через an . Тим |
самим |
|||
визначено загальний член послідовності. Отже : А={а1,a2 ,…,an...}. |
|
|
|||
Достатність. Нехай |
А={а1,a2 ,…,an...}, |
де всі елементи послідовності |
|||
різні. Кожному елементу |
an поставимо у |
відповідність його номер |
n . |
Оскільки різні елементи мають різні номери і кожне натуральне число n відповідає елементу an , то множина A N .
Загальні властивості потужності множин.
1. Будь яка нескінченна |
множина А має потужність не меншу |
||
зчисленної потужності, тобто |
|
≥ a . |
|
A |
|
||
Доведення. Виберемо будь який елемент в множині |
А і позначимо |
||
його через а1 . Оскільки різниця |
А\ {а1} теж нескінченна, |
виберемо із неї |
будь який елемент і позначимо його через а2 . Припустимо, що вже вибрано елементи а1 , а2 , …, аm . Різниця А\ {а1,a2 ,…,a m } − нескінченна. Тому із неї можливо вибрати елемент аm+1 , де m − довільне натуральне число. Отже
з множини А виділина підмножина |
А1 ={а1,a2 ,…,an...} |
зчисленної |
||
потужності. А це означає, що |
|
≥ a . |
|
|
A |
|
|
||
2. Об’єднання зчисленної множини |
А={а1,a2 ,…,an...} |
і скінченної |
множини B =b1,b2 ,...,bm еквівалентно множині А, отже A B − зчисленна множина.
Доведення. Спочатку в рядок запишемо елементи множини B , а потім будемо виписувати елементи множини А , пропускаючи ті елементи, що належать також множині B . Множина A B буде зображена у вигляді
послідовності, отже вона скінченна.
3. Об’єднання нескінченної множини А і скінченної або зчисленної множини В еквівалентно множині А.
Доведення. Виділимо з множини A зчислену підмножину A1 і нехай D
– різниця множин B і А . Тоді A = (A \ A1 ) A1 і |
A B = (A \ A1 ) (A1 D). |
|
Оскільки (A \ A1 ) (A \ A1 ) і |
A1 A1 D , то в |
наслідок властивості 3 |
еквівалентних множин A B A. |
|
|
4. Якщо різниця множини |
A і скінченної або зчисленної множини В – |
нескінченна, то різниця А \ В еквівалентна множині А.
Доведення. Перетин А В скінченна або зчисленна множина. Отже, за попередньої властивістю внаслідок рівності A = (A \ B) (A B) одержимо властивість 4.
7
5. Об’єднання зчисленної множини скінченних множин Ai ,i N − зчисленна або скінченна множина.
Доведення. Спочатку в рядок запишемо елементи множини A1 , а потім будемо виписувати елементи множин A2 ,A3 ,...,Am ,..., пропускаючи ті
елементи, що уже вибрані. Множина ∞i=1 Ai буде зображена у вигляді рядка або послідовності, отже вона скінченна або зчисленна.
6. Об’єднання скінченної множини зчисленних множин Ai ,i =1,2,...,m − зчисленна множина.
|
Доведення. Кожну множину |
Ai зобразимо у вигляді послідовності |
||||||||||
A |
={ai |
,ai |
,...,ai |
,...}, |
j =1,2,...,m , |
а |
потім |
будемо |
виписувати |
елементи |
||
i |
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множин Ai в |
рядок спочатку з нижнім індексом равним |
одиниці, |
потім |
|||||||||
равним 2 і так далі, пропускаючи ті елементи, що уже вибрані. |
|
|
|
|||||||||
|
7. Об’єднання |
зчисленної |
множини |
зчисленних множин |
Ai ,i N − |
|||||||
зчисленна множина. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Доведення. |
Множину |
Ai |
зобразимо у |
вигляді |
послідовності |
||||||
A ={ai |
,ai |
,...,ai |
,...}. |
Першим в |
рядок поставимо |
елементa1 , |
а |
потім |
||||
i |
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
запишемо елементи у яких сума верхнього і нижнього індексів дорівнює трьом, чотирьом і так далі. При цьому будемо виписувати елементи множин
A , |
пропускаючи ті |
елементи, що уже вибрані. |
Множина |
∞ |
A буде |
|||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
i |
зображена у вигляді послідовності, отже вона зчисленна. |
|
|
||||||||
|
8. Якщо елементи множини А |
визначаються |
m значками, тобто |
|||||||
A ={ax ,x |
,...,x }, |
кожен з яких |
приймає зчисленну |
кількість |
значень |
|||||
|
1 2 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
x j |
={x1j ,x2j,,...,xnj ,...}, |
j =1,2,...,m, |
то А − зчисленна. |
|
|
|
|
|||
|
Доведення. Застосуємо метод математично індукції. Якщо елементи |
|||||||||
множини |
A ={ax } |
визначаються |
одним значком, значення якого |
|||||||
{x1 |
,x2 ,...,xn ,...}, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
множину |
А |
можливо |
зобразити |
у |
вигляді |
||||
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A ={ax11 ,ax12 ,...,ax1n ,...}. Отже А |
− зчисленна. Нехай властивість 8 має місце |
||||||||
для k індексів (k ≥1). Розглянемо множину A ={ax |
,x |
,...,x |
,x |
k +1 |
} і її підмножину |
||||
An ={ax1 ,x2 ,...,xk , xkn+1 |
|
1 |
2 |
k |
|
|
|||
} елементів, |
у яких k+1 індекс має фіксоване довільне |
||||||||
значення xn |
+1 |
. В силу припущення, кожна множина |
A |
|
− зчисленна, а тоді |
||||
k |
|
|
|
|
n |
|
|
|
∞
зчисленна множина А тому, що A = An . Отже, за принципом математичної
n=1
індукції властивість 8 має місце для будь якого m. Приклади зчисленних множин.
1. Множина − усіх натуральних чисел зчисленна, тому що N N .
8
2. Будь-яка нескінченна підмножина натуральних чисел зчисленна, тому що її можливо зобразити у вигляді {n1,n2 ,...,nk ,...}.
3. Множина Q+ − усіх додатних раціональних чисел зчисленна. Q+
можливо зобразити у вигляді |
∞ |
Ak , де Ak − |
множина раціональних |
Q+ = |
|||
|
k=1 |
|
|
чисел вигляду Ak ={m / k, m N}. Оскільки кожна множина Ak − зчисленна,
то завдяки властивості 7 |
множина Q+ є зчисленною. |
4. Множина Q− − |
усіх від’ємних раціональних чисел зчисленна, |
оскільки Q− ~ Q+ . |
|
5.Множина Q − усіх раціональних чисел зчисленна, завдяки тому, що
Q =Q+ Q− {0}.
6.Множина A={(r1,r2 ,...,rk ),rj Q, j =1,2,...,k} −усіх точек к-вимірного
евклідового простору Rk , координати яких раціональні числа, − зчисленна.
Дійсно елементи множини A визначаються k значками (координатами точки), кожен з яких приймає зчисленну множину значень. Отже, внаслідок
властивості 8, множина A − зчисленна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. Множина Pn |
всіх алгебраїчних многочленів степеня не вище n з |
|||||||||||||||
раціональними коефіцієнтами зчисленна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дійсно |
кожен |
елемент pn (t) |
множини |
Pn |
визначається |
n +1 |
||||||||||
раціональними коефіцієнтами: p |
n |
(t) = a |
0 |
tn |
+ a tn−1 |
+...+ a |
n |
. |
Отже, завдяки |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
властивості 8, множина Pn − зчисленна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. Множина P всіх алгебраїчних многочленів з раціональними |
||||||||||||||||
коефіцієнтами зчисленна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Множину P можливо зобразити у вигляді |
P = |
∞ |
Pn . Тому, завдяки |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
властивості 7, множина P − зчисленна. |
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. Множина AP всіх алгебраїчних чисел − зчисленна. |
|
|
|
|||||||||||||
Позначимо через |
Apn |
множину алгебраїчних чисел, |
що відповідають |
|||||||||||||
алгебраїчному многочлену |
pn (t) з раціональними коефіцієнтами, |
тобто |
||||||||||||||
множину |
розв’язків |
рівняння pn (t)= |
|
0. |
Множина |
Apn |
для кожного |
|||||||||
многочлена |
pn (t) має не |
більше |
n елементів. Оскільки |
AP = Apn , |
то |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pn P |
|
|
внаслідок |
властивості 5, AP − скінченна або зчисленна. Але множина AP |
не |
||||||||||||||
може бути скінченною, бо вона містить усі раціональні числа. |
|
|
|
9
4.1.Множини потужності континууму
Теорема 1.4.1 (Кантор). Множина точок сегмента [0;1] не є зчисленною.
Доведення. Припустимо, що це ні так, тобто сегмент [0;1] − зчисленна
множина: [0;1] ={а1,a2 ,…,an...} . Поділимо |
сегмент[0;1] на три частини |
|
рівної довжини: [0;1/ 3], [1/ 3; 2 / 3] і [2 / 3;1] |
і позначимо через ∆1 той з них, |
|
що не містить елемент а1 |
(якщо таких сегментів два, беремо будь-який з |
|
них). Поділимо сегмент ∆1 |
на три частини рівної довжини і позначимо через |
∆2 той з них, що не містить елемент а2 . І так далі, якщо вибрано сегмент
∆k , поділимо сегмент ∆k на три частини рівної довжини і позначимо через
∆k+1 той з них, що не містить елемент аk+1 . Тепер зауважимо, що ∆k+1 ∆k і
довжина сегмента ∆k дорівнює 1/3k . Отже, внаслідок відомої теореми про
вкладені |
сегменти, довжини яких прямують до нуля, існує елемент |
a |
|
спільний |
всім сегментам ∆k , тобто a ∆k [0;1]. З |
іншого боку |
існує |
k0 таке, що a = ak0 . Але, завдяки вибору сегментів ∆k , |
елемент ak0 |
∆k0 . |
|
Одержана суперечність доводить теорему. |
|
|
Означення 1.4.1. Множина А має потужність континууму, або потужність с, якщо А [0;1] .
Приклади множин потужності континууму.
1. |
Тому що [0;1] [0;1] , сегмент [0;1] має |
потужність континууму. |
|
2. |
Будь-який сегмент |
[a;b] має потужність континууму, оскільки |
|
функція |
y = a + (b − a)x встановлює взаємно однозначну відповідність між |
||
множинами [0;1] і [a;b] . |
|
|
|
3. Будь-який інтервал (a;b), будь-який півінтервал [a;b) або (a;b] має |
|||
потужність континууму. |
Дійсно, завдяки |
властивості 4 потужності, |
вилучення одного або двох елементів з нескінченної множини не міняє потужності.
4. Множина R1 − всіх дійсних чисел має потужність континууму, оскільки функція y = tg x встановлює взаємно однозначну відповідність між
множинами (−π / 2;π / 2) і R1 .
5. Множина I − всіх ірраціональних чисел має потужність континууму,
тому що множину I можливо зобразити як різницю між множиною R1 і множиною Q − всіх раціональних чисел. Отже, завдяки властивості 4
потужності, вилучення зчисленної множини не міняє потужності.
6. Множина всіх трансцендентних чисел має потужність континууму, оскільки цю множину можливо зобразити як різницю між множиною R1 і
10
зчисленною множиною усіх алгебраїчних чисел. Отже, завдяки властивості 4 потужності, вилучення зчисленної множини не міняє потужності.
7. Множина R+1 − всіх додатних чисел має потужність континууму, тому що функція y =tg x встановлює взаємно однозначну відповідність між
множинами (0;π / 2) і R+1 .
8. Очевидно, що піввісь [0; ∞) має потужність с.
Властивості множин потужності континууму.
1. Об’єднання скінченної |
|
множини |
{Ai |
,i =1,2,...,m} |
множин |
Ai |
|||||||||||
потужності |
континууму, |
які |
|
попарно |
не |
мають |
спільних елементів, є |
||||||||||
множиною потужності континууму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Доведення. |
Розглянемо |
|
півінтервали |
[ j −1; j), j =1,2,...,m. |
Вони |
||||||||||||
попарно не мають спільних елементів і |
Aj |
[ j −1; j), j =1,2,...,m. Завдяки |
|||||||||||||||
властивості |
4 |
еквівалентних |
множин, |
m |
|
m |
j +1) =[1;m + |
1). |
|||||||||
Aj [ j; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
j=1 |
|
|
|
Властивість доведена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Об’єднання зчисленної множини множин Aj |
, |
j N потужності, які |
|||||||||||||||
попарно не мають спільних елементів, є |
множиною потужності с . |
|
|
||||||||||||||
Доведення. Розглянемо півінтервали [ j −1; j), |
j N . Вони попарно не |
||||||||||||||||
мають |
спільних |
елементів |
і Aj |
[ j −1; j), |
j N . |
Завдяки |
властивості |
4 |
|||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
еквівалентних множин, |
Aj [ j −1; j) =[0; ∞). Властивість доведена. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
j =1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Об’єднання не більш ніж зчисленної множини |
множин |
Ai |
|||||||||||||||
потужності континууму є |
множиною потужності континууму. |
|
|
||||||||||||||
Доведення. Розглянемо випадок зчисленої множини множин Aj , |
j N . |
||||||||||||||||
Нехай |
ϕj взаємно однозначна відповідність множини Aj |
на півінтервал |
|||||||||||||||
[ j −1; j), j N , і A' |
= A , |
A' |
= A |
j |
\ |
j −1 A , j |
= 2.3,... |
. Множини A' попарно |
|||||||||
|
|
|
1 |
1 |
j |
|
|
i =1 |
i |
|
|
|
|
j |
|
|
|
не мають спільних елементів і ∞j =1 Aj = ∞j =1 A'j |
. Оскільки ϕ(A'j ) [ j −1.j), |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
. З |
то з авдяки властивості 4 еквівалентних множин, |
A'j ϕ(A'j ) [0;∞) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
j =1 |
|
|
|
|
іншого |
боку |
|
A1 ~ [0,1) ~ [0,∞). |
За |
теоремою |
Кантора-Бернштейна |
|||||||||||
∞j =1 Aj |
~ [0,∞). |
Властивість доведена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
11