среду. В результате, получая от нагревателя то же количество тепла Q1, что и прежде машина будет совершать работу, меньшую A, а следовательно» и к.п.д. после появления необратимости станет меньше.

Итак, мы доказали следующие утверждения:

1)к.п.д. всех обратимых машин, работающих в идентичных условиях (т. е. при одной и той же температуре нагревателя и холодильника), одинаков;

2)к.п.д. необратимой машины всегда меньше, чем обратимой, работающей в тех же условиях.

§129. К.п.д. цикла Карно для идеального газа

В предыдущем параграфе было выяснено, что к.п.д. обратимой машины не зависит от ее устройства и свойств рабочего вещества и определяется только температурой нагревателя и холодильника. Однако, вид зависимости к.п.д. от температуры нагревателя T1 и температуры холодильника Т2 остался невыясненным. Чтобы найти эту зависимость, естественно рассмотреть машину с рабочим веществом, свойства которого отличаются наибольшей простотой. Такими свойствами обладает идеальный газ. При достаточно большой теплоемкости нагревателя и холодильника единственным обратимым циклом будет, как мы знаем (см. § 127), цикл Карно.

Итак, рассмотрим цикл Карно для идеального газа. Если нам удастся найти к.п.д. такого цикла как функцию температур T1 и T2, то тем самым мы найдем выражение для к.п.д. всех обратимых машин.

Рис. 293

К.п.д. тепловой машины по определению равен

где Q1 — тепло, получаемое за цикл от нагревателя, Q′ — тепло, отдаваемое за цикл

2

холодильнику.

При изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа остается постоянной. Поэтому количество полученного газом тепла Q1 равно работе A12, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2 (рис. 293). Эта работа согласно (105.9) равна

321

Аналогично, поскольку состояния 2 и 3 лежат на одной и той же адиабате, выполняется условие

Как уже отмечалось, выражение (129.7) дает значение к.п.д. любой обратимой машины.

§130. Термодинамическая шкала температур

Доказанная в §128 теорема о независимости к.п.д. обратимых машин от свойств рабочего вещества позволяет установить температурную шкалу, не зависящую от выбора термометрического тела. В соответствии с указанной теоремой величина

где f( ϑ1 , ϑ2 ) — универсальная (т. е. одинаковая для всех циклов Карно) функция температур нагревателя и холодильника.

Соотношение (130.1) дает возможность определять температуру тел через количества тепла, получаемые и отдаваемые при циклах Карно.

322

θ(ϑ1 )

где θ(ϑ) есть опять-таки универсальная функция температуры.

Рассмотрим две обратимые машины (рис 294), холодильник одной из которых служит одновременно нагревателем для другой.

Рис. 294.

Предположим, что вторая машина отбирает от резервуара с температурой ϑ2 такое же

количество тепла, какое отдает ему первая машина, т. е. что Q − Q′ . В соответствии с (130.1)

2 2

для каждой из машин можно написать:

Рассматривая обе машины и резервуар с температурой ϑ2 как единую обратимую машину1,

следующему соотношению:

1 Это допустимо, поскольку Q′ = Q

2 2

323

температура ϑ1 третьего тела. Условившись раз навсегда о выборе этого тела, т. е. сделав ϑ1 неизменной, мы сведем функцию f( ϑ1 , ϑ ), стоящую в числителе и знаменателе формулы

(130.6), к функции одной переменной ϑ . Обозначая эту функцию через θ( ϑ ), можно написать формулу (130.6) в виде

f (ϑ2 ,ϑ3 ) = θ(ϑ3 )

θ(ϑ2 )

или, меняя индексы,

что совпадает с (130.2).

Функция θ( ϑ ) зависит только от температуры. Поэтому ее значения можно использовать для характеристики температуры соответствующего тела, т. е. полагать температуру тела равной θ, где θ=θ( ϑ ). Тогда выражение (130.1) примет следующий вид:

Соотношение (130.8) положено в основу так называемой термодинамической шкалы температур. Преимущество этой шкалы заключается в том, что она не зависит от выбора тела (рабочего вещества в цикле Карно), используемого для измерения температуры.

В соответствии с (130.8) для сопоставления температур двух тел нужно осуществить цикл Карно, используя эти тела в качестве нагревателя и холодильника. Отношение количества тепла, отданного телу – «холодильнику», к количеству тепла, отобранного от тела - «нагревателя», даст отношение температур рассматриваемых тел.

Для однозначного определения численного значения θ необходимо условиться о выборе единицы температуры, т. е. градуса. За абсолютный градус принимается одна сотая разности температур кипящей при атмосферном давлении воды и тающего льда. Таким образом, градус абсолютной термодинамической шкалы равен градусу идеальной газовой шкалы.

Легко видеть, что термодинамическая шкала температур совпадает с идеальной газовой шкалой. Действительно, в соответствии с (129.7)

Сопоставляя (130.8) и (130.9), получим:

θ2 = T2 .

θ1 T1

Следовательно, θ пропорциональна Т и, поскольку градус обеих шкал одинаков, то θ = T.

§131. Приведенное количество тепла. Неравенство Клаузиуса

Всякая тепловая машина представляет собой некую систему тел, многократно повторяющую один и тот же цикл. В §128 мы показали, что к.п.д. всех обратимых машин одинаков, а к.п.д. необратимой машины всегда меньше, чем обратимой. Это утверждение можно записать аналитически следующим образом:

324

Слева стоит общее определение к.п.д., пригодное для всякой машины, справа - найденное в §129 выражение к.п.д. обратимой машины. Знак равенства соответствует обратимой, а знак неравенства — необратимой машине.

Соотношение (131.1), очевидно, справедливо также для любой системы тел, совершающей обратимый (знак равенства) или необратимый (знак неравенства) цикл, независимо от того, сколько раз этот цикл повторяется, а следовательно, независимо от того, используется данная система как тепловая машина или нет. В дальнейшем при рассмотрении соотношений вида (131.1) мы будем иметь в виду цикл, совершаемый некоторой системой тел.

Из выражения (131.1) вытекает следующее соотношение:

Q′

Наконец, вычитая из левой и правой частей 2 приходим к выражению

T2

В соотношение (131.2) входит как тепло, получаемое системой (Q1), так и тепло, отдаваемое

ею ( Q′ ). Для целей обобщения, которым мы займемся в дальнейшем, удобно видоизменить

2

(131.2) так, чтобы оно содержало только количества теплоты Qi, получаемые системой от других тел, причем эти теплоты мы будем рассматривать как алгебраические величины: если получаемое Q положительно, тепло передается от какого-то внешнего тела системе; если Q отрицательно, тепло отдается системой внешнему телу. Итак, вместо отдаваемого телу с

Это соотношение носит название неравенства Клаузиуса.

Отношение количества тепла, полученного системой от какого-либо тела, к температуре этого тела Клаузиус назвал приведенным количеством тепла. Используя терминологию Клаузиуса, (131.3) можно прочесть следующим образом: если какая-то система совершает цикл, в ходе которого вступает в теплообмен

325