движение, начнется горизонтальный участок 2—2'. При температурах, соответствующих этому участку, ε еще значительно меньше, чем расстояние между дозволенными уровнями колебательной энергии, вследствие чего колебания молекул практически будут отсутствовать. При дальнейшем повышении температуры молекулы начнут во все большем количестве вовлекаться в колебательное движение, чему соответствует переходный участок 2'—3. на кривой теплоемкости. Наконец, при достаточно высокой температуре все молекулы окажутся

вовлеченными в колебательное движение, в связи с чем теплоемкость станет равной 72 R .

Возвращаясь к развитой нами классической теории теплоемкости, можно сказать, что ее результаты приблизительно верны для отдельных температурных интервалов, причем каждому интервалу соответствует свое число степеней свободы молекулы.

§103. Уравнение адиабаты идеального газа

Адиабатическим называется процесс, протекающий без теплообмена с внешней средой. Найдем уравнение, связывающее параметры идеального газа при адиабатическом процессе.

Подставим в уравнение (96.4) первого начала термодинамики выражение dU для идеального газа:

Теперь выразим р через V и Т в соответствии с уравнением состояния идеального газа: p = mμ RTV ,

и подставим это выражение в (103.1). В результате, сокращая на отличный от нуля множитель m / μ , получим:

где γ = Cp / CV . Произведя в (103.2) такую замену и пропотенцировав полученное выражение, мы придем к уравнению

Полученное соотношение представляет собой уравнение адиабаты идеального газа в переменных Т и V. От этого уравнения можно перейти к уравнению в пере

256

точках различны). поведение газа в пределах каждого, до статочно малого объема вполне удовлетворительно описывается уравнением адиабаты (103.4).

§104. Политропические процессы

Все рассмотренные нами ранее процессы являются частными случаями политропического процесса. Политропическим называется такой процесс, при котором давление и объем идеального газа связаны Таблица 6

где n может принимать значение от −∞ до +∞ . В таблице 6 указаны значения n, при которых политропический процесс оказывается тождественным с одним из уже известных нам процессов. Первые три строки таблицы очевидны. Чтобы убедиться в справедливости четвертой строки, напишем уравнение политропы (104.1) в следующем виде:

где индексы 1 и 2 относятся к двум произвольно взятым состояниям. Извлечем из (104.2) корень степени n:

1 = 1 . p1nV1 p2nV2

Устремив теперь к n +∞ или −∞ , мы придем к условию

V1 = V2 ,

которое характеризует изохорический процесс.

Из уравнения состояния идеального газа, написанного для одного киломоля, следует, что

Подставив это значение р в уравнение (104.1) и учтя, что R—постоянная величина, получим уравнение политропы в переменных Т и V:

Найдем теплоемкость киломоля идеального газа при политропическом процессе. Согласно

(96.4) и (102.8)

d′Q = CV dT + pdV.

Чтобы найти dVdT , будем исходить из уравнения политропы в виде (104.4).

Дифференцирование этого уравнения дает:

258

V n−1dT + T (n −1)V n−2dV = 0,

откуда

киломоля идеального газа при политропическом процессе следующее выражение:

Это выражение не содержит параметров состояния р, V и Т. Таким образом, теплоемкость (104.6) есть величина постоянная, В соответствии с этим политропические процессы можно определить как такие процессы, при которых теплоемкость остается постоянной. Такое определение является более общим, чем определение (104.1),— оно применимо к телам и системам тел любой природы, в то время как определение (104.1) справедливо только для идеального газа.

Исходя из предположения, что C = Cп = const. можно показать, что идеальный газ при этих условиях следует уравнению (104,1), где

Рекомендуем проделать этот вывод в порядке упражнения.

§105. Работа, совершаемая идеальным газом при различных процессах

Работа, которая совершается при переходе из состояния 1 в состояние 2 каким-либо телом над внешними телами, равна, как известно (см. (96.3)):

Чтобы произвести интегрирование, нужно выразить р через V. Для этого воспользуемся связью между р и V при различных процессах.

Уравнение политропы идеального газа (104.1) можно написать следующим образом: pV n = p1V1n = p2V2n ,

где p1 , p2 , V1 и V2 —значения давления и объема газа соответственно в первом (начальном) и втором (конечном) состояниях, р и V — давление и объем в любом промежуточном состоянии.

Выразим в соответствии с этим соотношением давление газа через его объем и значения параметров в начальном состоянии1:

Рассмотрим сначала случай n ≠ 1; тогда интеграл в (105.3) равен

1 С таким же успехом можно выразить давление через параметры конечного состояния.

259

Подставив это значение интеграла в (105.3) и произведя несложные преобразования, получаем:

Полученное выражение можно преобразовать, воспользовавшись тем, что, какой бы процесс ни происходил с идеальным газом, его параметры связаны уравнением состояния (98.14). В частности, это справедливо и для начального состояния:

Выражения (105,4) и (105.6) дают работу, совершаемую идеальным газом при любом политропическом процессе, кроме изотермического (соответствующего n = 1)1. В частности, при адиабатическом процессе

или

Чтобы вычислить работу идеального газа при изотермическом процессе, заменим давление в формуле (105.1) его выражением через другие величины в соответствии с уравнением состояния. В результате получим (Т можно вынести за знак интеграла, поскольку она постоянна):

При изобарическом процессе работа, совершаемая любым телом, в том числе и идеальным газом, равна, как следует из (105.1),

Тог же результат получается, если положить в (105.4) п равным нулю. В заключение отметим, что при изохорическом процессе работа равна нулю, что справедливо для любых тел.

1 Отметим, что при n=1 выражения (105.4) и (105.6) становятся неопределенными.

260