§85. Колебания струны

Частоты vn называются собственными частотами колебаний струны. Собственные частоты оказываются кратными частоте

v1 = 2vl ,

которая называется основ ной частотой.

Рис. 206.

Частоты, отвечающие n=2, 3, ..., носят название обертонов (первый обертон соответствует n=2, второй n=3 и т. д.). В общем случае колебания струны могут представлять собой наложение нескольких стоячих волн с различными собственными частотами.

§86. Эффект Допплера

Пусть в упругой среде на некотором расстоянии от источника волн располагается воспринимающее колебания среды устройство, которое мы будем называть приемником. Когда источник и приемник волн неподвижны относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний, воспринимаемых приемником, будет равна частоте v0 колебаний источника. Если же источник или приемник либо оба они движутся относительно среды, то частота v, воспринимаемая приемником, может оказаться отличной от v0. Это явление называется эффектом Допплера.

Для простоты предположим, что приемник и источник движутся вдоль соединяющей их прямой. Скорость источника vист будем считать положительной, если источник движется по

направлению к приемнику, и отрицательной, если источник удаляется от приемника. Аналогично скорость приемника vпр будем считать положительной, если приемник

приближается к источнику и отрицательной, если приемник удаляется от источника.

Если источник неподвижен и колеблется с частотой v0, то к моменту, когда источник будет завершать v0-e колебание, порожденный первым колебанием «гребень» волны успеет пройти в среде путь v (v — скорость распространения волны относительно среды). Следовательно, порождаемые источником за секунду v0 «гребней» и «впадин» волны уложатся на длине v. Если же источник движется относительно среды со скоростью vист, то в момент, когда источник будет завершать v0-e колебание, «гребень», порожденный первым колебанием, будет находиться от источника на расстоянии v — vист (рис. 207).

214

меньшей 20 гц, называют инфразвуком; волны с частотами, превышающими 20000 гц, называют ультразвуком. Инфра- и ультразвуки человеческое ухо не слышит.

Звуковая волна в газах и жидкостях может быть только продольной и состоит из чередующихся сжатий и разрежений среды. В твердых телах могут распространяться как продольные, так и поперечные волны.

Воспринимаемые звуки люди различают по высоте, тембру и громкости. Каждой из этих субъективных оценок соответствует определенная физическая характеристика звуковой волны.

Всякий реальный звук представляет собой не простое гармоническое колебание, а является наложением гармонических колебаний с определенным набором частот.

Набор частот колебаний, присутствующих в данном звуке, называется его акустическим спектром. Если в звуке присутствуют колебания всех частот в некотором интервале от v' до v", то спектр называется сплошным. Если звук состоит из колебаний дискретных (т.е. отделенных друг от друга конечными интервалами) частот v1 , v2 , v8 и т. д., то спектр называется линейчатым. На рис. 209 показан сплошной (вверху) и линейчатый (внизу) спектр. По оси абсцисс отложена частота колебания v, по оси ординат — его интенсивность I.

Рис.209.

Сплошным акустическим спектром обладают шумы. Колебания с линейчатым спектром вызывают ощущение звука с более или менее определенной высотой. Такой звук называется тональным.

Высота тонального звука определяется основной (наименьшей) частотой (см. частоту v1 на рис. 209). Относительная интенсивность обертонов (т.е. колебаний с частотами v2, v3 и т. д.) определяет окраску, или тембр, звука. Различный спектральный состав звуков, возбуждаемых разными музыкальными инструментами» позволяет отличить на слух, например, флейту от скрипки или рояля.

§88. Скорость звуковых волн в газах

Упругая волна в газе представляет собой распространяющуюся в пространстве последовательность чередующихся областей сжатия и разрежения газа. Следовательно, давление в каждой точке пространства испытывает периодически изменяющееся отклонение ρ от среднего значения ρ совпадающего с давлением, которое существует в газе в отсутствие

216

волн. Таким образом, мгновенное значение давления в некоторой точке пространства можно представить в виде1

p ' = p + p.

Пусть звуковая волна распространяется вдоль оси x. Подобно тому, как мы поступили в §81 при нахождении скорости упругих волн в твердой среде, рассмотрим объем газа в виде цилиндра высоты х с площадью основания S (рис. 210). Масса газа, заключенного в этом объеме, равна ρ S x , где ρ — плотность невозмущенного волной газа. Ввиду малости х

ускорение во всех точках цилиндра можно считать одинаковым и равным d 2ξ . dt2

Рис.210.

Для нахождения силы f действующей на рассматриваемый объем газа, нужно взять произведение площади основания цилиндра S на разность давлений в сечении(x + ξ ) и в

сечении(x + x + ξ + ξ ) . Повторив рассуждения, приведшие нас к формуле (81.5), получим: f = − dpdx' S x

[напомним, что при выводе формулы (81.5) использовалось предположение: ξ << x ]. Итак,

мы нашли массу выделенного объема газа, его ускорение и действующую на него силу. Теперь напишем для этого объема газа уравнение второго закона Ньютона:

Вполученном нами дифференциальном уравнении содержатся две неизвестные функции:

ξи ρ ' . Для того чтобы уравнение можно было решать нужно выразить одну из этих функции

1 К этому параграфу следует вернуться после того, как будут изучены §102 и §103

217

через другую. Для этого найдем связь между давлением газа p ' и относительным изменением его объема ddxξ . Эта связь зависит от характера процесса сжатия (или расширения) газа. В

звуковой волне сжатия и разрежения газа следуют друг за другом так часто, что смежные участки среды не успевают обмениваться теплом, и процесс можно считать адиабатическим. При адиабатическом процессе связь между давлением и объемом данной массы газа дается уравнением (103.4). Поэтому можно написать, что

гдеγ - отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме. Сократив на (S x)γ ,получим:

p = p '(1+ ddxξ )γ .

Воспользовавшись тем, что по предположению ddxξ << 1разложим выражение (1+ ddxξ )γ в ряд

по степеням ddxξ и пренебрежем членами высших порядков малости. В результате мы придем к формуле:

условие ddxξ << 1 физически означает, что отклонение давления от среднего значения много

меньше самого давления. Это действительно так: для самых громких звуков амплитуда колебаний давления воздуха не превышает 1 мм рт. ст., в то время как атмосферное давление p имеет величину порядка 103 мм рт, ст.

Продифференцировав выражение (88.2) по x, найдем, что

dp ' = −λ p d 2ξ . dx dx2

Наконец, подставив найденное значение dpdx' в формулу (88.1), получим дифференциальное уравнение

1 Мы воспользовались формулой 1+1 x ≈ 1− x , справедливой для x<<1.

218

Сопоставление (88.4) с волновым уравнением (80.4) дает для скорости звуковых волн в газе следующее выражение:

(напомним, что p и ρ - давление и плотность невозмущенного волной газа).

На первый взгляд может показаться, что скорость звука в газе зависит от давления. Однако это не так, потому что изменение давления сопровождается изменением плотности газа.

(m — масса газа, заключенного в объеме V; μ —масса моля, численно равная молекулярному весу газа). Разделив массу газа m на его объем V, можно получить плотностьρ . Разрешив уравнение (88.6) относительно m/V, находим;

ρ = Vm = RTpμ .

Подставив это выражение для плотности в (88.5), получим для скорости звука в газе следующую формулу:

Отсюда следует, что скорость звука в газе зависит от температуры и от значений характеризующих газ величин γ и μ .От давления скорость звука в газе не зависит.

Средняя скорость теплового движения молекул определяется по формуле

vмол = 8RT

πμ

[см.(106.17)]. Сравнение этой формулы с (88.7) дает, что скорость звука в газе v связана со средней скоростью молекул соотношением

в газе оказывается того же порядка, что и средняя скорость теплового движения молекул, но

всегда несколько меньше, чем vмол

Оценим величину скорости звука в воздухе при комнатной температуре (при абсолютной температуре порядка 290° К). Для воздуха γ =1,40, μ =29. Универсальная газовая постоянная

равна 8,31*103 дж/кмоль*град. Подставим эти значения в формулу (88.7):

Найденное нами значение v хорошо согласуется с величиной, полученной опытным путем. Измерив скорость звука в газе с известным молекулярным весом, можно по формуле (88.7)

219