§82. Энергия упругой волны

Выделим в среде, в которой распространяется плоская продольная волна, элементарный объем V, настолько малый, чтобы деформации и скорости движения во всех точках этого

dξ dξ

объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно, dx и dt

Согласно формуле (46.15) выделенный нами объем будет обладать потенциальной энергией упругой деформации

где ε = ddxξ — относительное удлинение, а E — модуль Юнга.

Заменим в соответствии с (81.6) модуль Юнга Е через ρυ 2 ( ρ — плотность среды, υ — фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии объема V примет вид

Дифференцирование уравнения плоской волны (78.2) по t и x дает:

Подставив эти выражения в формулу (82.3), получим:

В случае поперечной волны или плотности энергии получается такое же выражении.

Как следует из (82.4), плотность энергии б каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Поскольку среднее значение квадрата синуса равно половине, среднее (по времени) значение плотности энергии в каждой точке среды будет равно

205

Плотность энергии (82.4) и ее среднее значение (82.5) пропорциональны плотности среды ρ , квадрату частоты ω и квадрату амплитуды волны а. Подобная зависимость имеет место не

только для плоской волны с постоянной амплитудой, но и для других видов волн.

Итак, среда, в которой возникает волна, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебании в различные точки среды самой волной, следовательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной

через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии Φ через поверхность. Поток энергии — скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. совпадает с размерностью мощности. В

соответствии с этимΦ можно измерять в эрг/сек, ваттах и т. д.

Поток энергии в разных точках среды может обладать различной интенсивностью. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.

Пусть через площадку S , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время t энергия E. Тогда плотность потока энергии j по определению равна

206

Зная j в любой точке произвольной поверхности S, можно вычислить поток энергия Ф через эту поверхности. С этой целью разобьем поверхность на элементарные участки S, столь малые, чтобы каждый из них можно было считать плоским, а вектор j в пределах каждого S можно было считать постоянным как по величине, так и по направлению. Тогда элементарный поток Ф через каждый участок S можно вычислить по формуле (82.12), беря для каждой S свое значение jn, которое зависит от величины вектора j в том месте, где расположена площадка

который должен быть взят по всем поверхности S, Формула (82.14) дает связь между плотностью потока энергии в различных точках поверхности и потоком энергии через эту поверхность.

Вычислим поток энергии через волновую поверхность сферической волны. Нормальная составляющая вектора плотности потока энергии во всех точках волновой поверхности одинакова и имеет среднее значение

jn = 12 ρ ar2 w2v

(ar — амплитуда волны на расстоянии r от источника). Вынося в (82.14) постоянное значение jn за знак интеграла, получим:

Фсреди = jn S = 12 ρar2 w2v4π r2.

Если энергия волны не поглощается средой, средний поток энергии через сферу любого радиуса должен иметь одинаковое значение:

Фсреди = jn S = 2πρ w2var2r2 = const.

Отсюда следует, что амплитуда ar сферической волны обратно пропорциональна расстоянию r от источника волны [см. (78.9)].

В §78 мы отмечали, что амплитуда плоской волны может быть постоянной лишь при условии, что энергия волны не поглощается средой. В противном случае интенсивность волны с удалением от источника постепенно уменьшается — наблюдается затухание волны. Как показывает опыт, такое затухание происходит по экспоненциальному закону. Это означает, что

амплитуда волны убывает с расстоянием x по закону a = a0e−γ x так что уравнение плоской волны имеет вид:

Величина γ называется коэффициентом затухания волны (или коэффициентом поглощения1

волны). Она имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что величина, обратная γ , равна расстоянию, на котором амплитуда волны уменьшается в с раз (ср. с

коэффициентом затухания колебаний β , §73).

В соответствии с (82.10) интенсивность волны (82.15) убивает с расстоянием x по закону

1 Правильнее называть коэффициентом поглощения величину, характеризующую убывание не амплитуды, а интенсивности волны.

208